Проблеми Гільберта — список з 23 кардинальних проблем математики, представлений Давидом Гільбертом на II Міжнародному Конгресі математиків у Парижі в 1900 році. Повний список з 23 проблем був опублікований пізніше в 1902 році в англійському перекладі у Бюлетені Американського математичного товариства (Bulletin of the American Mathematical Society) Тоді ці проблеми (які охоплювали основи математики, алгебру, теорію чисел, геометрію, топологію, алгебраїчну геометрію, групи Лі, дійсний і комплексний аналіз, диференціальні рівняння, математичну фізику і теорію імовірностей, а також варіаційне числення) не були розв'язані. В наші часи розв'язані 16 проблем з 23. Ще 2 не є коректними математичними проблемами (одна сформульована занадто розпливчасто, щоб зрозуміти, розв'язана вона чи ні, інша, далека від розв'язання, — фізична, а не математична). З 5 проблем, що залишилися, дві не розв'язані ніяк, а три розв'язані тільки для часткових випадків.
Список проблем
1 | розв'язана | Проблема Кантора про потужність континууму (Континуум-гіпотеза) |
2 | нема консенсусу | Несуперечливість аксіом арифметики. |
3 | розв'язана | Третя проблема Гільберта — рівноскладеність рівновеликих многогранників |
4 | занадто розпливчаста | Перерахувати метрики, у яких прямі є геодезичними |
5 | розв'язана | Чи всі неперервні групи є групами Лі? |
6 | не математична | Математичний виклад аксіом фізики |
7 | розв'язана | Довести, що число |
8 | відкрита | Проблема простих чисел (гіпотеза Рімана і проблема Гольдбаха) |
9 | частково розв'язана | Доведення найзагальнішого закону взаємності в будь-якому числовому полі |
10 | розв'язана | Задача про можливість розв'язання діофантових рівнянь |
11 | розв'язана | Вивчення квадратичних форм із довільними алгебраїчними числовими коефіцієнтами |
12 | відкрита | Поширення теореми Кронекера про абелеві поля на довільну алгебраїчну область раціональності |
13 | розв'язана | Неможливість розв'язання загального рівняння сьомого степеня за допомогою функцій, що залежать тільки від двох змінних |
14 | розв'язана | Доведення скінченнопородженості алгебри інваріантів алгебраїчної групи |
15 | частково розв'язана | Строге обґрунтування обчислювальної геометрії Шуберта |
16 | частково розв'язана | Топологія алгебраїчних кривих і поверхонь |
17 | розв'язана | Представлення визначених форм у вигляді суми квадратів |
18 | розв'язана | Скінченність числа кристалографічних груп; нерегулярні заповнення простору конгруентними багатогранниками; найщільніше пакування куль |
19 | розв'язана | Чи завжди розв'язки регулярної варіаційної задачі Лагранжа є аналітичними? |
20 | розв'язана | Загальна задача про граничні умови (?) |
21 | розв'язана | Доведення існування лінійних диференціальних рівнянь із заданою групою монодромії |
22 | розв'язана | Уніформізація аналітичних залежностей за допомогою автоморфних функцій |
23 | не розв'язана | Розвиток методів варіаційного числення |
Примітки
- David Hilbert, Mathematical Problems. Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 8, no. 10 (1902), pp. 437–479. Earlier publications (in the original German) appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, pp. 253–297, and Archiv der Mathematik und Physik, 3rd series, vol. 1 (1901), pp. 44–63, 213–237.
- Результати Геделя і Коена (Cohen) показують, що ні континуум-гіпотеза, ні її заперечення не суперечить системі аксіом Цермело-Френкеля (стандартній системі аксіом теорії множин). Таким чином, континуум-гіпотезу в цій системі аксіом неможливо ні довести, ні спростувати. Ведуться суперечки про те, чи є результат Коена повним розв'язком задачі
- Курт Гедель довів, що несуперечність аксіом арифметики не можна довести, виходячи із самих аксіом арифметики
- Згідно з Ровом (Rowe) і Греєм (Gray) (див. далі), більшість проблем були розв'язані. Деякі з них не були досить точно сформульовані, однак досягнуті результати дозволяють розглядати їхній як «розв'язані». Ров і Грей говорять про четверту проблему як про таку, яка занадто нечітко поставлена, щоб судити про те, розв'язана вона, чи ні.
- Розв'язана Зігелем і Гельфондом (і незалежно Шнайдером) у загальнішому вигляді: якщо а ≠ 0, 1 — алгебраїчне число, і b — алгебраїчне, але ірраціональне, то ab — трансцендентне число
- Проблема № 8 містить дві відомі проблеми, обидві з яких залишаються нерозв'язаними. Перша з них, Гіпотеза Рімана, є однією із семи проблем тисячоліття, що були позначені як «Проблеми Гільберта» 21-го століття
- Проблема № 9 була розв'язана для абелевого випадку; неабелів випадок залишається нерозв'язаним
- Юрій Матіясевич у 1970 році довів алгоритмічну нерозв'язність задачі про побудову універсального алгоритму, що визначає, чи є довільне діофантове рівняння розв'язним
- Твердження про скінченнопородженість алгебри інваріантів доведено для редуктивних груп. Нагата в 1958 році побудував приклад уніпотентної групи, у якої алгебра інваріантів не є скінченнопородженою. В. Л. Попов довів, що якщо алгебра інваріантів будь-якої дії алгебраїчної групи G на афінному алгебраїчному многовиді скінченнопороджена, то група G редуктивна.
- Перша (алгебраїчна) частина проблеми № 16 більш точно формулюється так. Харнаком доведено, що максимальне число овалів дорівнює M=(n-1)(n-2)/2+1, і що такі криві існують — їх називають M-кривими. Як можуть бути розташовані овали M-кривої? Ця задача зроблена до степеня n=6 включно, а для ступеня n=8 досить багато відомо (хоча її ще не добили). Крім того, є загальні твердження, що обмежують те, як овали M-кривих можуть бути розташовані — див. роботи Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гільберта (втім, варто враховувати, що в доведенні Гільберта для n=6 є помилка: один з випадків, який він вважав неможливим, виявився можливим і був побудований Гудковим). Друга (диференціальна) частина залишається відкритою навіть для квадратичних векторних полів — невідомо навіть, скільки їх може бути, і що оцінка зверху існує. Навіть індивідуальна теорема скінченності (те, що в кожного поліноміального векторного поля є скінченне число граничних циклів) була доведена зовсім недавно. Вона вважалася доведеною Дюлаком, але в його доведенні була виявлена помилка, і остаточно ця теорема була доведена Ілляшенко і Екалем — для чого кожному з них довелося написати по книзі
- Наведений переклад початкової назви проблеми, даний Гільбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flachen» [ 2012-02-05 у Wayback Machine.](нім.). Однак, більш точно її зміст (як це розглядається сьогодні) можна було б передати наступною назвою: «Число і розташування овалів дійсної алгебраїчної кривої даного степеня на площині; число і розташування граничних циклів поліноміального векторного поля даного степеня на площині». Ймовірно (як можна побачити з англійського перекладу тексту анонсу(англ.)), Гільберт вважав, що диференціальна частина (яка в реальності виявилася значно складнішою за алгебраїчною) буде піддаватися розв'язанню тими ж методами, що й алгебраїчна, і тому не включив її в назву.
- Bieberbach L. Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.
- Рів і Грій також називають проблему № 18 «відкритою» у своїй книзі за 2000 рік, тому що задача упакування куль (відома також як гіпотеза Кеплера) не була розв'язана на той час, однак на сьогоднішній день є відомості про те, що вона уже розв'язана (див. далі). Просування в розв'язанні проблеми № 16 були зроблені в недавній час, а також в 1990-х.
24-а проблема
Спочатку список містив 24 проблеми, але в процесі підготовки до доповіді Гільберт відмовився від однієї з них. Ця 24-а проблема була пов'язана з теорією доведень критерію простоти і загальних методів. Дана проблема була виявлена завдяки Rudiger Thiele..
Див. також
Література
- Оригінальний текст на німецькій доповіді Гільберта
- (вступна частина і висновок)
- Проблеми Гільберта, Збірник за редакцією П. С. Александрова, М., Наука, 1969 р., 240 с.
- А. А. Болибрух, «Проблеми Гільберта (100 років потому)»
- Ляшко С.І., Номіровский Д.А., Петунін Ю.І., Семенов В.В. Двадцята проблема Гільберта. Узагальнені рішення операторних рівнянь. — М. : , 2009. — С. 192. — .
Примітки
- Thiele, Rüdiger (January 2003). Hilbert’s twenty-fourth problem (PDF). American Mathematical Monthly. (англ.)
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
В іншому мовному розділі є повніша стаття Hilbert's problems(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської.
|
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Problemi Gilberta spisok z 23 kardinalnih problem matematiki predstavlenij Davidom Gilbertom na II Mizhnarodnomu Kongresi matematikiv u Parizhi v 1900 roci Povnij spisok z 23 problem buv opublikovanij piznishe v 1902 roci v anglijskomu perekladi u Byuleteni Amerikanskogo matematichnogo tovaristva Bulletin of the American Mathematical Society Todi ci problemi yaki ohoplyuvali osnovi matematiki algebru teoriyu chisel geometriyu topologiyu algebrayichnu geometriyu grupi Li dijsnij i kompleksnij analiz diferencialni rivnyannya matematichnu fiziku i teoriyu imovirnostej a takozh variacijne chislennya ne buli rozv yazani V nashi chasi rozv yazani 16 problem z 23 She 2 ne ye korektnimi matematichnimi problemami odna sformulovana zanadto rozplivchasto shob zrozumiti rozv yazana vona chi ni insha daleka vid rozv yazannya fizichna a ne matematichna Z 5 problem sho zalishilisya dvi ne rozv yazani niyak a tri rozv yazani tilki dlya chastkovih vipadkiv Spisok problem1 rozv yazana Problema Kantora pro potuzhnist kontinuumu Kontinuum gipoteza 2 nema konsensusu Nesuperechlivist aksiom arifmetiki 3 rozv yazana Tretya problema Gilberta rivnoskladenist rivnovelikih mnogogrannikiv4 zanadto rozplivchasta Pererahuvati metriki u yakih pryami ye geodezichnimi5 rozv yazana Chi vsi neperervni grupi ye grupami Li 6 ne matematichna Matematichnij viklad aksiom fiziki7 rozv yazana Dovesti sho chislo 22 displaystyle 2 sqrt 2 ye transcendentnim abo hocha bi irracionalnim 8 vidkrita Problema prostih chisel gipoteza Rimana i problema Goldbaha 9 chastkovo rozv yazana Dovedennya najzagalnishogo zakonu vzayemnosti v bud yakomu chislovomu poli10 rozv yazana Zadacha pro mozhlivist rozv yazannya diofantovih rivnyan11 rozv yazana Vivchennya kvadratichnih form iz dovilnimi algebrayichnimi chislovimi koeficiyentami12 vidkrita Poshirennya teoremi Kronekera pro abelevi polya na dovilnu algebrayichnu oblast racionalnosti13 rozv yazana Nemozhlivist rozv yazannya zagalnogo rivnyannya somogo stepenya za dopomogoyu funkcij sho zalezhat tilki vid dvoh zminnih14 rozv yazana Dovedennya skinchennoporodzhenosti algebri invariantiv algebrayichnoyi grupi15 chastkovo rozv yazana Stroge obgruntuvannya obchislyuvalnoyi geometriyi Shuberta16 chastkovo rozv yazana Topologiya algebrayichnih krivih i poverhon17 rozv yazana Predstavlennya viznachenih form u viglyadi sumi kvadrativ18 rozv yazana Skinchennist chisla kristalografichnih grup neregulyarni zapovnennya prostoru kongruentnimi bagatogrannikami najshilnishe pakuvannya kul19 rozv yazana Chi zavzhdi rozv yazki regulyarnoyi variacijnoyi zadachi Lagranzha ye analitichnimi 20 rozv yazana Zagalna zadacha pro granichni umovi 21 rozv yazana Dovedennya isnuvannya linijnih diferencialnih rivnyan iz zadanoyu grupoyu monodromiyi22 rozv yazana Uniformizaciya analitichnih zalezhnostej za dopomogoyu avtomorfnih funkcij23 ne rozv yazana Rozvitok metodiv variacijnogo chislennyaPrimitkiDavid Hilbert Mathematical Problems Bulletin of the American Mathematical Society vol 8 no 10 1902 pp 437 479 Earlier publications in the original German appeared in Gottinger Nachrichten 1900 pp 253 297 and Archiv der Mathematik und Physik 3rd series vol 1 1901 pp 44 63 213 237 Rezultati Gedelya i Koena Cohen pokazuyut sho ni kontinuum gipoteza ni yiyi zaperechennya ne superechit sistemi aksiom Cermelo Frenkelya standartnij sistemi aksiom teoriyi mnozhin Takim chinom kontinuum gipotezu v cij sistemi aksiom nemozhlivo ni dovesti ni sprostuvati Vedutsya superechki pro te chi ye rezultat Koena povnim rozv yazkom zadachi Kurt Gedel doviv sho nesuperechnist aksiom arifmetiki ne mozhna dovesti vihodyachi iz samih aksiom arifmetiki Zgidno z Rovom Rowe i Greyem Gray div dali bilshist problem buli rozv yazani Deyaki z nih ne buli dosit tochno sformulovani odnak dosyagnuti rezultati dozvolyayut rozglyadati yihnij yak rozv yazani Rov i Grej govoryat pro chetvertu problemu yak pro taku yaka zanadto nechitko postavlena shob suditi pro te rozv yazana vona chi ni Rozv yazana Zigelem i Gelfondom i nezalezhno Shnajderom u zagalnishomu viglyadi yaksho a 0 1 algebrayichne chislo i b algebrayichne ale irracionalne to ab transcendentne chislo Problema 8 mistit dvi vidomi problemi obidvi z yakih zalishayutsya nerozv yazanimi Persha z nih Gipoteza Rimana ye odniyeyu iz semi problem tisyacholittya sho buli poznacheni yak Problemi Gilberta 21 go stolittya Problema 9 bula rozv yazana dlya abelevogo vipadku neabeliv vipadok zalishayetsya nerozv yazanim Yurij Matiyasevich u 1970 roci doviv algoritmichnu nerozv yaznist zadachi pro pobudovu universalnogo algoritmu sho viznachaye chi ye dovilne diofantove rivnyannya rozv yaznim Tverdzhennya pro skinchennoporodzhenist algebri invariantiv dovedeno dlya reduktivnih grup Nagata v 1958 roci pobuduvav priklad unipotentnoyi grupi u yakoyi algebra invariantiv ne ye skinchennoporodzhenoyu V L Popov doviv sho yaksho algebra invariantiv bud yakoyi diyi algebrayichnoyi grupi G na afinnomu algebrayichnomu mnogovidi skinchennoporodzhena to grupa G reduktivna Persha algebrayichna chastina problemi 16 bilsh tochno formulyuyetsya tak Harnakom dovedeno sho maksimalne chislo ovaliv dorivnyuye M n 1 n 2 2 1 i sho taki krivi isnuyut yih nazivayut M krivimi Yak mozhut buti roztashovani ovali M krivoyi Cya zadacha zroblena do stepenya n 6 vklyuchno a dlya stupenya n 8 dosit bagato vidomo hocha yiyi she ne dobili Krim togo ye zagalni tverdzhennya sho obmezhuyut te yak ovali M krivih mozhut buti roztashovani div roboti Gudkova Arnolda Roona samogo Gilberta vtim varto vrahovuvati sho v dovedenni Gilberta dlya n 6 ye pomilka odin z vipadkiv yakij vin vvazhav nemozhlivim viyavivsya mozhlivim i buv pobudovanij Gudkovim Druga diferencialna chastina zalishayetsya vidkritoyu navit dlya kvadratichnih vektornih poliv nevidomo navit skilki yih mozhe buti i sho ocinka zverhu isnuye Navit individualna teorema skinchennosti te sho v kozhnogo polinomialnogo vektornogo polya ye skinchenne chislo granichnih cikliv bula dovedena zovsim nedavno Vona vvazhalasya dovedenoyu Dyulakom ale v jogo dovedenni bula viyavlena pomilka i ostatochno cya teorema bula dovedena Illyashenko i Ekalem dlya chogo kozhnomu z nih dovelosya napisati po knizi Navedenij pereklad pochatkovoyi nazvi problemi danij Gilbertom 16 Problem der Topologie algebraischer Curven und Flachen 2012 02 05 u Wayback Machine nim Odnak bilsh tochno yiyi zmist yak ce rozglyadayetsya sogodni mozhna bulo b peredati nastupnoyu nazvoyu Chislo i roztashuvannya ovaliv dijsnoyi algebrayichnoyi krivoyi danogo stepenya na ploshini chislo i roztashuvannya granichnih cikliv polinomialnogo vektornogo polya danogo stepenya na ploshini Jmovirno yak mozhna pobachiti z anglijskogo perekladu tekstu anonsu angl Gilbert vvazhav sho diferencialna chastina yaka v realnosti viyavilasya znachno skladnishoyu za algebrayichnoyu bude piddavatisya rozv yazannyu timi zh metodami sho j algebrayichna i tomu ne vklyuchiv yiyi v nazvu Bieberbach L Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I Math Ann 1911 70 S 297 336 1912 72 S 400 412 Riv i Grij takozh nazivayut problemu 18 vidkritoyu u svoyij knizi za 2000 rik tomu sho zadacha upakuvannya kul vidoma takozh yak gipoteza Keplera ne bula rozv yazana na toj chas odnak na sogodnishnij den ye vidomosti pro te sho vona uzhe rozv yazana div dali Prosuvannya v rozv yazanni problemi 16 buli zrobleni v nedavnij chas a takozh v 1990 h 24 a problemaSpochatku spisok mistiv 24 problemi ale v procesi pidgotovki do dopovidi Gilbert vidmovivsya vid odniyeyi z nih Cya 24 a problema bula pov yazana z teoriyeyu doveden kriteriyu prostoti i zagalnih metodiv Dana problema bula viyavlena zavdyaki Rudiger Thiele Div takozhGipoteza Rimana Kontinuum gipoteza Problema Goldbaha Diofantovi rivnyannya Problemi tisyacholittya Problemi Landau Vidkriti matematichni problemiLiteraturaOriginalnij tekst na nimeckij dopovidi Gilberta vstupna chastina i visnovok Problemi Gilberta Zbirnik za redakciyeyu P S Aleksandrova M Nauka 1969 r 240 s A A Bolibruh Problemi Gilberta 100 rokiv potomu Lyashko S I Nomirovskij D A Petunin Yu I Semenov V V Dvadcyata problema Gilberta Uzagalneni rishennya operatornih rivnyan M 2009 S 192 ISBN 978 5 8459 1524 5 PrimitkiThiele Rudiger January 2003 Hilbert s twenty fourth problem PDF American Mathematical Monthly angl Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Hilbert s problems angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad