Тре́тя пробле́ма Гі́льберта — третя з проблем, які Давид Гільберт описав у його знаменитій доповіді на II Міжнародному Конгресі математиків у Парижі 1900 року. Ця проблема присвячена питанням рівноскладненості многогранників: можливості розрізання двох многогранників рівного об'єму на скінченне число частин таким чином, щоб обидва набори частин були однаковими.
Інакше кажучи, чи завжди можливо розрізати многогранник на частини так, щоб із цих частин скласти многогранник (того ж об'єму) іншої заданої форми.
Постановка питання пов'язана з тим, що, з одного боку, на площині будь-які два многокутники рівної площі рівноскладені (теорема Бояї — Гервіна). З іншого боку, способи виведення формули для об'єму тетраедра (1/3 добутку висоти на площу основи) так чи інакше були пов'язані з граничними переходами, і, таким чином, з аксіомою Архімеда. Хоча буквально в формулюванні Гільберта йшлося про рівноскладеність тетраедрів (а, точніше, про доведення неможливості такого розбиття в загальному випадку), воно природно розширюється до питання про рівноскладеність довільних многогранників однакового об'єму (а, точніше, про необхідні й достатні для цього умови).
Проблема виявилася найпростішою з проблем Гільберта: уже через рік Макс Ден (учень Гільберта) навів приклад нерівноскладених тетраедрів однакового об'єму. Він побудував величину — інваріант Дена — яка набуває значень у деякій абстрактній групі й значення якої на рівноскладених многогранниках однакові. А далі навів приклад тетраедрів рівного об'єму, для яких значення інваріанту Дена відрізняються.
1965 року [en] показав, що збіг об'єму й інваріанту Дена є не тільки необхідними, а й достатніми умовами рівноскладеності многогранників. Таким чином він повністю вирішив і розширену проблему.
Формулювання проблеми
Третя проблема Гільберта формулюється так:
Гаус у двох своїх листах до Герлінга висловлює жаль з приводу того, що деякі відомі положення стереометрії залежать від методу вичерпування, тобто, кажучи сучасною мовою, від аксіоми неперервності (або від аксіоми Архімеда). Гаус спеціально відзначає теорему Евкліда, за якою об'єми трикутних пірамід, що мають рівні висоти, відносяться як площі їх основ. Аналогічну задачу планіметрії нині повністю розв'язано. Герлінгу вдалося також довести рівність об'ємів симетричних многогранників за допомогою розбиття їх на конгруентні частини. Проте, на мою думку, в загальному випадку доведення згаданої теореми Евкліда цим способом провести неможливо і це, мабуть, можна підтвердити строгим доведеням неможливості. Таке доведення можна було б отримати, якби вдалося вказати такі два тетраедри з рівними основами та рівними висотами, які жодним способом не можна розкласти на конгруентні тетраедри та які також не можна доповнити конгруентними тетраедрами до таких многогранників, для яких розклад на конгруентні тетраедри можливий. Оригінальний текст (рос.) Гаусс в двух своих письмах к Герлингу выражает сожаление по поводу того, что некоторые известные положения стереометрии зависят от метода исчерпывания, то есть, говоря современным языком, от аксиомы непрерывности (или от аксиомы Архимеда). Гаусс специально отмечает теорему Евклида, согласно которой объёмы треугольных пирамид, имеющих равные высоты, относятся как площади их оснований. Аналогичная задача планиметрии ныне полностью решена. Герлингу удалось также доказать равенство объёмов симметричных многогранников при помощи разбиения их на части. Тем не менее, как мне кажется, в общем случае доказательство упомянутой теоремы Евклида этим способом провести невозможно и это, по-видимому, может быть подтверждено строгим доказательством невозможности. Такое доказательство можно было бы получить, если бы удалось указать такие два тетраэдра с равными основаниями и равными высотами, которые никаким способом не могут быть разложены на конгруэнтные тетраэдры и которые также не могут быть дополнены конгруэнтными тетраэдрами до таких многогранников, для которых разложение на конгруэнтные тетраэдры возможно. | ||||
— Давид Гільберт (цитується за книгою В. Г. Болтянського) |
Інваріант Дена
Інваріант Дена набуває значень в абстрактній групі (точніше — у векторному просторі над )
А саме, для многогранника P з довжинами ребер та відповідними їм двогранними кутами інваріант Дена D(P) вважається рівним
При розрізанні многогранника на частини значення суми «довжина ребра прилеглий кут» може змінюватися тільки при виникненні/зникненні нових ребер, що утворюються всередині або на межі. Але в таких ребер сума прилеглих до них двогранних кутів дорівнює або відповідно, тому як елемент фактору V інваріант Дена не змінюється.
Приклад
Прикладом застосування інваріанту Дена є нерівноскладеність куба й правильного тетраедра такого ж об'єму: для куба з ребром l інваріант Дена дорівнює , а для правильного тетраедра з ребром a —
оскільки
Примітки
- Сборник под редакцией П. С. Александрова. Редакторы С.С.Демидов и В.В.Донченко, ред. (1969). . М.: Наука. с. 240. Архів оригіналу за 17 жовтня 2011. Процитовано 25 березня 2010.
{{}}
: Недійсний|deadurl=unfit
() - . Архів оригіналу за 17 жовтня 2011. Процитовано 25 березня 2010.
{{}}
: Недійсний|deadurl=unfit
() - Max Dehn: «Über den Rauminhalt», Mathematische Annalen 55 (1901), no. 3, pages 465—478.
- Sydler, J.-P. «Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions.» Comment. Math. Helv. 40, 43-80, 1965.
- Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта. — М. : Наука, 1977. — С. 46. — 208 с.
Посилання
- Weisstein, Eric W. Інваріант Дена(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Література
- / под ред. П. С. Александрова. — М. : Наука, 1969. — 240 с. — 10700 прим. Архівовано жовтень 17, 2011 на сайті Wayback Machine.
- Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта. — М. : Наука, 1977. — С. 46. — 208 с.
- Dehn, M. «Über raumgleiche Polyeder.» Nachr. Königl. Ges. der Wiss. zu Göttingen f. d. Jahr 1900, 345—354, 1900.
- Dehn, M. «Über den Rauminhalt.» Math. Ann. 55, 465—478, 1902.
- Sydler, J.-P. «Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions.» Comment. Math. Helv. 40, 43-80, 1965.
- P. Cartier, Décomposition des polyèdres: le point sur le troisième problème de Hilbert, Séminaire Bourbaki, 1984-85, n° 646, p. 261—288.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Tre tya proble ma Gi lberta tretya z problem yaki David Gilbert opisav u jogo znamenitij dopovidi na II Mizhnarodnomu Kongresi matematikiv u Parizhi 1900 roku Cya problema prisvyachena pitannyam rivnoskladnenosti mnogogrannikiv mozhlivosti rozrizannya dvoh mnogogrannikiv rivnogo ob yemu na skinchenne chislo chastin takim chinom shob obidva nabori chastin buli odnakovimi Inakshe kazhuchi chi zavzhdi mozhlivo rozrizati mnogogrannik na chastini tak shob iz cih chastin sklasti mnogogrannik togo zh ob yemu inshoyi zadanoyi formi Postanovka pitannya pov yazana z tim sho z odnogo boku na ploshini bud yaki dva mnogokutniki rivnoyi ploshi rivnoskladeni teorema Boyayi Gervina Z inshogo boku sposobi vivedennya formuli dlya ob yemu tetraedra 1 3 dobutku visoti na ploshu osnovi tak chi inakshe buli pov yazani z granichnimi perehodami i takim chinom z aksiomoyu Arhimeda Hocha bukvalno v formulyuvanni Gilberta jshlosya pro rivnoskladenist tetraedriv a tochnishe pro dovedennya nemozhlivosti takogo rozbittya v zagalnomu vipadku vono prirodno rozshiryuyetsya do pitannya pro rivnoskladenist dovilnih mnogogrannikiv odnakovogo ob yemu a tochnishe pro neobhidni j dostatni dlya cogo umovi Problema viyavilasya najprostishoyu z problem Gilberta uzhe cherez rik Maks Den uchen Gilberta naviv priklad nerivnoskladenih tetraedriv odnakovogo ob yemu Vin pobuduvav velichinu invariant Dena yaka nabuvaye znachen u deyakij abstraktnij grupi j znachennya yakoyi na rivnoskladenih mnogogrannikah odnakovi A dali naviv priklad tetraedriv rivnogo ob yemu dlya yakih znachennya invariantu Dena vidriznyayutsya 1965 roku en pokazav sho zbig ob yemu j invariantu Dena ye ne tilki neobhidnimi a j dostatnimi umovami rivnoskladenosti mnogogrannikiv Takim chinom vin povnistyu virishiv i rozshirenu problemu Formulyuvannya problemiTretya problema Gilberta formulyuyetsya tak Gaus u dvoh svoyih listah do Gerlinga vislovlyuye zhal z privodu togo sho deyaki vidomi polozhennya stereometriyi zalezhat vid metodu vicherpuvannya tobto kazhuchi suchasnoyu movoyu vid aksiomi neperervnosti abo vid aksiomi Arhimeda Gaus specialno vidznachaye teoremu Evklida za yakoyu ob yemi trikutnih piramid sho mayut rivni visoti vidnosyatsya yak ploshi yih osnov Analogichnu zadachu planimetriyi nini povnistyu rozv yazano Gerlingu vdalosya takozh dovesti rivnist ob yemiv simetrichnih mnogogrannikiv za dopomogoyu rozbittya yih na kongruentni chastini Prote na moyu dumku v zagalnomu vipadku dovedennya zgadanoyi teoremi Evklida cim sposobom provesti nemozhlivo i ce mabut mozhna pidtverditi strogim dovedenyam nemozhlivosti Take dovedennya mozhna bulo b otrimati yakbi vdalosya vkazati taki dva tetraedri z rivnimi osnovami ta rivnimi visotami yaki zhodnim sposobom ne mozhna rozklasti na kongruentni tetraedri ta yaki takozh ne mozhna dopovniti kongruentnimi tetraedrami do takih mnogogrannikiv dlya yakih rozklad na kongruentni tetraedri mozhlivij Originalnij tekst ros Gauss v dvuh svoih pismah k Gerlingu vyrazhaet sozhalenie po povodu togo chto nekotorye izvestnye polozheniya stereometrii zavisyat ot metoda ischerpyvaniya to est govorya sovremennym yazykom ot aksiomy nepreryvnosti ili ot aksiomy Arhimeda Gauss specialno otmechaet teoremu Evklida soglasno kotoroj obyomy treugolnyh piramid imeyushih ravnye vysoty otnosyatsya kak ploshadi ih osnovanij Analogichnaya zadacha planimetrii nyne polnostyu reshena Gerlingu udalos takzhe dokazat ravenstvo obyomov simmetrichnyh mnogogrannikov pri pomoshi razbieniya ih na chasti Tem ne menee kak mne kazhetsya v obshem sluchae dokazatelstvo upomyanutoj teoremy Evklida etim sposobom provesti nevozmozhno i eto po vidimomu mozhet byt podtverzhdeno strogim dokazatelstvom nevozmozhnosti Takoe dokazatelstvo mozhno bylo by poluchit esli by udalos ukazat takie dva tetraedra s ravnymi osnovaniyami i ravnymi vysotami kotorye nikakim sposobom ne mogut byt razlozheny na kongruentnye tetraedry i kotorye takzhe ne mogut byt dopolneny kongruentnymi tetraedrami do takih mnogogrannikov dlya kotoryh razlozhenie na kongruentnye tetraedry vozmozhno David Gilbert cituyetsya za knigoyu V G Boltyanskogo Invariant DenaInvariant Dena nabuvaye znachen v abstraktnij grupi tochnishe u vektornomu prostori nad Q displaystyle mathbb Q V R Q R l p l R displaystyle V mathbb R otimes mathbb Q mathbb R langle l otimes pi mid l in mathbb R rangle A same dlya mnogogrannika P z dovzhinami reber l 1 l n displaystyle l 1 dots l n ta vidpovidnimi yim dvogrannimi kutami a 1 a n displaystyle alpha 1 dots alpha n invariant Dena D P vvazhayetsya rivnim D P i l i a i V displaystyle D P sum i l i otimes alpha i in V Pri rozrizanni mnogogrannika na chastini znachennya sumi dovzhina rebra displaystyle otimes prileglij kut mozhe zminyuvatisya tilki pri viniknenni zniknenni novih reber sho utvoryuyutsya vseredini abo na mezhi Ale v takih reber suma prileglih do nih dvogrannih kutiv dorivnyuye 2 p displaystyle 2 pi abo p displaystyle pi vidpovidno tomu yak element faktoru V invariant Dena ne zminyuyetsya Priklad Prikladom zastosuvannya invariantu Dena ye nerivnoskladenist kuba j pravilnogo tetraedra takogo zh ob yemu dlya kuba z rebrom l invariant Dena dorivnyuye 12 l p 2 6 l p 0 displaystyle 12l otimes frac pi 2 6l otimes pi 0 a dlya pravilnogo tetraedra z rebrom a 6 a 2 arctan 1 2 0 displaystyle 6a otimes 2 arctan frac 1 sqrt 2 neq 0 oskilki arctan 1 2 Q p displaystyle arctan frac 1 sqrt 2 notin mathbb Q pi PrimitkiSbornik pod redakciej P S Aleksandrova Redaktory S S Demidov i V V Donchenko red 1969 M Nauka s 240 Arhiv originalu za 17 zhovtnya 2011 Procitovano 25 bereznya 2010 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite web title Shablon Cite web cite web a Nedijsnij deadurl unfit dovidka Arhiv originalu za 17 zhovtnya 2011 Procitovano 25 bereznya 2010 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite web title Shablon Cite web cite web a Nedijsnij deadurl unfit dovidka Max Dehn Uber den Rauminhalt Mathematische Annalen 55 1901 no 3 pages 465 478 Sydler J P Conditions necessaires et suffisantes pour l equivalence des polyedres de l espace euclidean a trois dimensions Comment Math Helv 40 43 80 1965 Boltyanskij V G Tretya problema Gilberta M Nauka 1977 S 46 208 s PosilannyaWeisstein Eric W Invariant Dena angl na sajti Wolfram MathWorld Literatura pod red P S Aleksandrova M Nauka 1969 240 s 10700 prim Arhivovano zhovten 17 2011 na sajti Wayback Machine Boltyanskij V G Tretya problema Gilberta M Nauka 1977 S 46 208 s Dehn M Uber raumgleiche Polyeder Nachr Konigl Ges der Wiss zu Gottingen f d Jahr 1900 345 354 1900 Dehn M Uber den Rauminhalt Math Ann 55 465 478 1902 Sydler J P Conditions necessaires et suffisantes pour l equivalence des polyedres de l espace euclidean a trois dimensions Comment Math Helv 40 43 80 1965 P Cartier Decomposition des polyedres le point sur le troisieme probleme de Hilbert Seminaire Bourbaki 1984 85 n 646 p 261 288