Проєктивний модуль — важливий тип модулів, що є узагальненням вільних модулів. З точки зору теорії категорій, проєктивні модулі є окремим випадком проєктивних об'єктів.
Визначення
Проєктивний модуль можна визначити кількома еквівалентними способами.
- Модуль
над кільцем
(як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом), називається проєктивним, якщо для будь-якого гомоморфізма
і епіморфізма
існує такий гомоморфізм
, що
, тобто дана діаграма є комутативною:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekJrTDFCeWIycGxZM1JwZG1WZmJXOWtkV3hsTG5CdVp5OHhOVEJ3ZUMxUWNtOXFaV04wYVhabFgyMXZaSFZzWlM1d2JtYz0ucG5n.png)
- Модуль
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує такий модуль
, що пряма сума
є вільним модулем.
- Справді, нехай
є компонентою прямої суми
, яка є вільним модулем, і
— гомоморфізм, a
— епіморфізм. Тоді
теж є гомоморфізмом (
— проєкція прямої суми
на перший доданок
), а так як вільні модулі є проєктивними, то існує гомоморфізм
, такий, що
, звідси
, де
— гомоморфізм включення
, звідси
- Справді, нехай
- Навпаки, нехай
— проєктивний модуль. Кожен модуль є гомоморфним образом вільного. Нехай
— відповідний епіморфізм. Тоді тотожний ізоморфізм
буде рівним
для деякого
, так як
є проєктивним. Будь-який елемент
тоді можна записати як
,
- де
є ізоморфним
.
- Навпаки, нехай
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого епіморфізма
індукований гомоморфізм
теж є епіморфізмом.
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли він переводить будь-яку коротку точну послідовність
в точну послідовність
.
- Модуль
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли кожна коротка точна послідовність модулів виду
- розщеплюється. Тобто для відображення f : B ↠ P на діаграмі існує відображення h : P → B, таке що f ∘ h = idP. У цьому випадку h(P) є прямим доданком модуля B, h є ізоморфізмом із P на h(P), а h ∘ f є проєкцією на h(P). Це також можна записати як
- Модуль
над кільцем
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує множина
і множина гомоморфізмів
таких що для кожного
виконується рівність
і fi(x) не рівне нулю лише для скінченної кількості індексів i.
- Модуль
над кільцем
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для всіх R-модулів T функтор Ext задовольняє умову
(і тому
)
Властивості
- Пряма сума модулів є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли кожен доданок є проєктивним.
- Будь-який проєктивний модуль над кільцем головних ідеалів або локальним комутативним кільцем є вільним модулем.
- Будь-який проєктивний модуль є плоским.
- Локалізація проєктивного модуля над комутативним кільцем є проєктивним модулем над локалізованим кільцем. Оскільки проєктивний модуль над локальним кільцем є вільним то локалізація кільця модуля по всіх простих ідеалах є вільним модулем. Також ця властивість описується так, що проєктивний модуль є локально вільним.
Приклади
- Найпростіший приклад проєктивного модуля — вільний модуль
.
- Справді, нехай
— елементи базису модуля
і
. Оскільки
— епіморфізм, можна знайти такі
, що
. Тоді
можна визначити, задавши його значення на векторах базису як
.
- Для кілець многочленів від кількох змінних над полем будь-який проєктивний модуль є вільним.
- У кільці Дедекінда кожен ідеал, що не є головним є проєктивним модулем і не є вільним модулем.
- Абелева група є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли вона є вільною.
Див. також
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет