Клас Ейлера

У математиці, зокрема алгебричній топології, диференціальній геометрії і диференціальній топології, клас Ейлера є прикладом характеристичного класу для орієнтовних дійсних векторних розшарувань. Названий на честь Леонарда Ейлера оскільки у випадку дотичного розшарування многовиду він визначає його характеристику Ейлера.

Клас Ейлера можна задати у кілька еквівалентних способів: як обструкцію до існування перетинів, що не рівні нулю всюди, як обернене відображення орієнтаційної форми при перетині або із використанням пфаффіана і гомоморфізму Чженя — Вейля. Для плоских розшарувань існують і інші еквівалентні означення.

Основна ідея і мотивація

Клас Ейлера є характеристичним класом, зокрема топологічним інваріантом на орієнтовних векторних розшаруваннях: два ізоморфні орієнтовні векторні розшарування мають однакові класи Ейлера. У випадку диференційовних многовидів клас Ейлера дотичних розшарувань визначає характеристику Ейлера многовида.

Клас Ейлера є обструкцією для існування перетинів, що ніде не є рівними нулю. Зокрема характеристика Ейлера замкнутого, орієнтовного, диференційовного многовида характеристика Ейлера є обструкцією для існування векторних полів без сингулярних точок.

Для підмножини базового простору векторного розшарування і перетину, що ніде не є рівним нулю можна ввести відносний клас Ейлера. Він задає обструкцію до продовження перетину без нулів на весь базовий простір.

Означення

Аксіоматичне означення

Клас Ейлера повністю визначається аксіомами.

Для кожного орієнтовного, ${\displaystyle n}$-вимірного дійсного векторного розшарування ${\displaystyle E\to X}$ існує єдиним чином визначений елемент когомологічної групи

${\displaystyle e(E)\in H^{n}(X;\mathbb {Z} )}$

так, що при цьому виконуються умови:

• для кожного неперервного відображення ${\displaystyle f\colon X^{\prime }\to X}$ і обернених відображень векторних розшарувань, перетинів і когомологічних класів:

${\displaystyle e(f^{*}E)=f^{*}(e(E))}$

• ${\displaystyle e(E_{1}\oplus E_{2})=e(E_{1})\cup e(E_{2})}$
• для тавтологічного комплексного лінійного розшарування ${\displaystyle \gamma ^{1}\to \mathbb {C} P^{1}}$, яке розглядається як 2-вимірне дійсне векторне розшарування, елемент ${\displaystyle e(\gamma ^{1})\in H^{2}(\mathbb {C} P^{1};\mathbb {Z} )}$ є генератором групи ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} P^{1};\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} }$.

Когомологічний клас (елемент групи когомологій) ${\displaystyle e(E)\in H^{n}(X;\mathbb {Z} )}$ називається класом Ейлера для розшарування ${\displaystyle E}$.

Означення в термінах теорії обструкцій

Для ${\displaystyle n}$-вимірного орієнтовного векторного розшарування ${\displaystyle E\to \vert K\vert }$ над геометричною реалізацією ${\displaystyle \vert K\vert }$ симпліційного комплексу ${\displaystyle K}$ означення Ейлера можна одержати за допомогою класу обструкції

${\displaystyle o_{n}(E)\in H^{n}(K;\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))}$

для продовження перетину асоційованому векторному розшаруванні на ${\displaystyle n}$-кістяк комплексу ${\displaystyle K}$.

Група коефіцієнтів

${\displaystyle \pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))\simeq \pi _{n-1}(\mathbb {R} ^{n}-0)\simeq H_{n-1}(\mathbb {R} ^{n}-0;\mathbb {Z} )\simeq H_{n}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}-0;\mathbb {Z} )}$

є канонічно ізоморфною до ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ і цей ізоморфізм відображає ${\displaystyle o_{n}(E)}$ на клас Ейлера ${\displaystyle e(E)\in H^{n}(K;\mathbb {Z} )}$.

Означення за допомогою класу орієнтації

Для орієнтовного ${\displaystyle n}$-вимірного векторного розшарування ${\displaystyle p\colon E\to M}$ і ${\displaystyle E_{0}\subset E}$ — доповнення нульового перетину можна розглянути образ при ${\displaystyle u\mid _{E}}$ класу орієнтації (класу Тома).

${\displaystyle u\in H^{n}(E,E_{0};\mathbb {Z} )}$

у ${\displaystyle H^{n}(E;\mathbb {Z} )}$. Оскільки ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ є стягуваним простором, то ${\displaystyle p\colon E\to M}$ є гомотопною еквівалентністю і

${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(M;\mathbb {Z} )\to H^{*}(E;\mathbb {Z} )}$

є ізоморфізмом. Клас Ейлера за означенням є

${\displaystyle e(E):=(p^{*})^{-1}u\mid _{E}\in H^{n}(M;\mathbb {Z} )}$.

Еквівалентно ${\displaystyle e(E)}$ є рівним

${\displaystyle e(E):=s^{*}u\mid _{E}}$

для довільного перетину ${\displaystyle s\colon M\to E}$ (наприклад нульового).

Якщо для розшарування ${\displaystyle E\to M}$ існує перетин, що ніде не є рівним нулю, тобто ${\displaystyle s(M)\subset E_{0},}$ то ${\displaystyle e(E)=0}$.

Означення у теорії Чженя — Вейля

Якщо розглядати векторні розшарування над диференційовним многовидом ${\displaystyle M}$ то побудову варіанта класу Ейлера можна здійснити за допомогою теорії Чженя — Вейля. У цьому випадку клас Ейлера приймає значення у гомологічних групах із дійсними коефіцієнтами, тобто ${\displaystyle H^{*}(M;\mathbb {R} )}$. Зокрема для векторних розшарувань непарної розмірності клас Ейлера завжди є нульовим.

Для орієнтовного векторного розшарування розмірності ${\displaystyle n=2k}$ можна розглянути асоційоване ${\displaystyle SO(2k)}$-головне розшарування (реперне розшарування) ${\displaystyle P\to M}$.

Для ${\displaystyle SO(2k)}$-головного розшарування ${\displaystyle P\to M}$ із формою зв'язності ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,so(2k))}$ клас Ейлера ${\displaystyle e(P)\in H_{dR}^{2k}(M)\simeq H^{2k}(M;\mathbb {R} )}$ задається за допомогою пфаффіана кососиметричного оператора:

${\displaystyle Pf(A)={\frac {1}{2^{k}k!}}\sum _{\sigma \in S_{2k}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\ldots a_{\sigma (2k-1)\sigma (2k)}}$

для якого ${\displaystyle Pf\in I^{n}(so(2k))}$ і гомоморфізма Чженя — Вейля:

${\displaystyle I^{k}(so(2k))\to H_{dR}^{2k}(M)}$.

А саме для форми кривини ${\displaystyle \Omega \in \Omega ^{2}(M)}$, яка є кососиметричною за допомогою пфаффіана одержується диференціальна форма

${\displaystyle {\frac {1}{2^{k}\pi ^{2k}}}Pf(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k}):={\frac {1}{(2\pi )^{2k}}}{\frac {1}{(k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\operatorname {sign} (\sigma )Pf(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))}$

яка є замкнутою і задає клас у когомології де Рама, який і називається класом Ейлера. Клас Ейлера є незалежним від вибору зв'язності у цьому означенні.

Згідно із узагальненою теоремою Гауса — Бонне подібне диференціальне означення є еквівалентним попередньому топологічному, якщо розглядати компактні диференційовні многовиди і перейти до дійсних коефіцієнтів.

Клас Ейлера для SL(n,R)-головних розшарувань

При ізоморфізмах

${\displaystyle I^{k}(so(2k))\simeq H^{2k}(BSO(2k))\simeq H^{2k}(BSL(2k,\mathbb {R} ))}$

пфаффіану відповідає когомологічний клас ${\displaystyle e(\gamma ^{2k})}$ у когомології класифікуючих просторів ${\displaystyle BSL(2k,\mathbb {R} )}$, тобто клас Ейлера універсального розшарування ${\displaystyle \gamma ^{2k}\to BSL(2k,\mathbb {R} )}$. Для кожного ${\displaystyle SL(2k,\mathbb {R} )}$-розшарування ${\displaystyle P\to M}$ можна використати класифікуюче відображення ${\displaystyle f\colon M\to BSL(2k,\mathbb {R} )}$ для визначення класу Ейлера

${\displaystyle e(P):=f^{*}(e(\gamma ^{2k}))\in H^{2k}(M)}$. Він є рівним класу Ейлера асоційованого векторного розшарування.

Клас Ейлера для сферичних розшарувань

Для довільного сферичного розшарування теж можна ввести Клас Ейлера.

У випадку одиничного сферичного розшарування ріманового векторного розшарування при цьому одержується введений вище клас Ейлера для векторного розшарування.

Властивості

• Канонічний гомоморфізм ${\displaystyle H^{n}(X;\mathbb {Z} )\to H^{n}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ відображає клас Ейлера у n-ий клас Штіфеля-Вітні ${\displaystyle w_{n}\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ab.
• Кап добуток ${\displaystyle e(E)\cup e(E)}$ є рівний найвищому класу Понтрягіна ${\displaystyle p_{n}\in H^{2n}(X;\mathbb {Z} )}$.
• Для замкнутого, орієнтовного, диференційовного многовида ${\displaystyle M}$ із дотичним розшаруванням ${\displaystyle TM}$ і фундаментальним класом ${\displaystyle \left[M\right]}$ характеристика Ейлера є рівною ${\displaystyle \langle e(TM),\left[M\right]\rangle =\chi (M)}$.
• Якщо ${\displaystyle {\overline {E}}}$ є векторним розшаруванням рівним ${\displaystyle E}$ але із протилежною орієнтацією, то ${\displaystyle e({\overline {E}})=-e(E)}$.
• Зокрема для векторних розшарувань непарної розмірності ${\displaystyle 2e(E)=0}$. Для замкнутих, орієнтовних, диференційовних многовидів непарної розмірності характеристика Ейлера є рівною 0.
• Для суми Вітні векторних розшарувань:

  ${\displaystyle e(E_{1}\oplus E_{2})=e(E_{1})\cup e(E_{2})}$ де ${\displaystyle \cup }$ позначає кап добуток.

• Для довільного перетину ${\displaystyle s\colon M\to E}$ для ${\displaystyle n}$-вимірного орієнтовного векторного розшарування над ${\displaystyle m}$-вимірним замкнутим орієнтовним многовидом ${\displaystyle M}$ фундаментальний клас ${\displaystyle \left[Z\right]}$ множини нулів ${\displaystyle Z=\left\{x\in X:s(x)=0\right\}}$ у ${\displaystyle H_{m-n}(M;\mathbb {Z} )}$ є двоїстим за Пуанкаре до ${\displaystyle e(E)\in H^{n}(M;\mathbb {Z} )}$. У випадку дотичного розшарування ${\displaystyle E=TM}$ звідси випливає теорема Пуанкаре — Хопфа.
• Якщо ${\displaystyle N_{Y}}$ є нормальним розшаруванням замкнутого орієнтовного підмноговиду ${\displaystyle Y\subset M}$ тоді ${\displaystyle <e(N_{Y}),\left[Y\right]>}$ числу самоперетинів ${\displaystyle Y}$.
• Послідовність Гизіна: Для ${\displaystyle n}$-вимірного орієнтовного векторного розшарування ${\displaystyle E\to B}$ (із множиною ${\displaystyle E_{0}\subset E}$ ненульових векторів) кап добуток і клас Ейлера задають точну послідовність
  ${\displaystyle \ldots \to H^{i}(B;\mathbb {Z} )\to H^{i+n}(B)\to H^{i+n}(E_{0})\to H^{i+1}(B)\to \ldots }$.

Примітки

1. Milnor-Stasheff (op.cit.), Theorem 12.5
2. Shiing-Shen Chern: On the curvatura integra in a Riemannian manifold. In: Annals of Mathematics, 46 (4), 1945, S. 674–684
3. Bott-Tu (op.cit.), Розділ 11

Див. також

• Клас Понтрягіна
• Клас Чженя
• Пфаффіан
• Характеристика Ейлера
• Характеристичний клас

Література

• John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton NJ; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 9)
• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. In: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin / New York 1978,
• Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential forms in algebraic topology. In: Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York / Berlin 1982, (Kapitel 11)
• Riccardo Benedetti, Carlo Petronio: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1992, (Kapitel F.4)
• Tammo tom Dieck: Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich 2008, (Kapitel XI)
• Alberto Candel, Lawrence Conlon: Foliations. II. In: Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence RI 2003, (Kapitel 4)