Правильний багатокутник | |
---|---|
![]() Правильний дванадцятикутник (приклад) | |
Тип | Багатокутник |
Властивості | Опуклий, рівносторонній, ізогональний (вершинно-транзитивний), ізотоксальний (реберно-транзитивний), конциклічний (вписаний в коло) |
Елементи | n ребер n вершин |
Позначення | |
Символ Шлефлі | {n} |
Діаграма Коксетера-Динкіна |
|
Група симетрії | Dn, порядок 2n (Діедральна група) |
Двоїстий | Самодвоїстий |
В евклідовій геометрії пра́вильний багатоку́тник (многоку́тник, n-ку́тник, поліго́н) — многокутник, у якого всі кути рівні і всі сторони рівні (мають однакову довжину).
Правильні багатокутники можуть бути опуклими, зірчатими або просторовими.
Якщо n прямує до нескінченності, то правильний багатокутник наближається за формою до кола, якщо зробити сталим значення периметру чи площі, або до апейрогона (пряма лінія), якщо зробити сталою довжину сторони.
Опуклий правильний багатокутник
Всі опуклі правильні багатокутники є простими багатокутниками. Всі правильні n-кутники подібні між собою.
Центром правильного багатокутника називають точку, рівновіддалену від усіх його вершин і всіх його сторін.
Відрізок (а також його довжина) перпендикуляра, проведеного з центру правильного багатокутника до його сторони, називається апотемою правильного багатокутника. Апотема дорівнює радіусу вписаного в даний багатокутник кола.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
Кути
Центральним кутом правильного n-кутника (кут α) називають кут, під яким сторону n-кутника видно з його центру.
градусів
радіан.
Сума центральних кутів: рад.
Внутрішній кут правильного n-кутника — кут між сусідніми сторонами:
градусів
радіан.
Зовнівнішній кут — кут, суміжний з внутрішнім кутом.
градусів
радіан.
Сума зовнішніх кутів багатокутника, взятих по одному біля кожної вершини, дорівнює 360⁰
Сторона правильного n-кутника | ||||
---|---|---|---|---|
n | через радіус описаного кола R
| через радіус вписаного кола r
| ||
3 | ≈ 1.7320508∙R | ≈ 3.4641016∙r | ||
4 | ≈ 1.4142136∙R | = 2∙r | ||
5 | ≈ 1.1755705∙R | ≈ 1.4530851∙r | ||
6 | = 1∙R | ≈ 1.1547005∙r | ||
7 | ≈ 0.8677674∙R | ≈ 0.9631492∙r | ||
8 | ≈ 0.7653669∙R | ≈ 0.8284271∙r | ||
9 | ≈ 0.6840403∙R | ≈ 0.7279405∙r | ||
≈ 0.6180339∙R | ≈ 0.6498393∙r | |||
11 | ≈ 0.5634651∙R | ≈ 0.5872529∙r | ||
≈ 0.5176381∙R | ≈ 0.5358984∙r |
Формули
Нехай ‒ сторона правильного n-кутника,
R ‒ радіус описаного кола,
r ‒ радіус вписаного кола,
P ‒ периметр, ‒ апотема правильного n-кутника.
Довжина сторони та периметр
Довжина сторони правильного n-кутника дорівнює:
Периметр ‒ сума всіх довжин сторін правильного n-кутника:
Периметри двох правильних n-кутників відносяться як їх відповідні лінійні елементи (сторони, радіуси вписаних чи описаних кіл).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekF6TDBGdWJuVnNhVjkzYVhSb1gzTmhiV1ZmWVhKbFlWOWhjbTkxYm1SZmRXNXBkRjl5WldkMWJHRnlYM0J2YkhsbmIyNXpMbk4yWnk4eU5UZHdlQzFCYm01MWJHbGZkMmwwYUY5ellXMWxYMkZ5WldGZllYSnZkVzVrWDNWdWFYUmZjbVZuZFd4aGNsOXdiMng1WjI5dWN5NXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Вписане та описане коло
Навколо кожного правильного n-кутника можна описати коло, і в кожен правильний n-кутник можна вписати коло. Тобто правильний багатокутник є біцентричним. Центри вписаного і опиваного кіл співпадають і знаходяться в центрі правильного n-кутника.
Радіус вписаного кола правильного n-кутника (дорівнює апофемі правильного n-кутника) ‒ дотичний до всіх його ребер:
Радіус описаного кола правильного n-кутника ‒ проходить через всі його вершини:
Площа кільця, утвореного вписаним та описаним колом залежить тільки від довжини сторони:
Площа
Площу правильного многокутника з числом сторін можна обчислити за формулами:
де P , p ‒ периметр та півпериметр правильного n-кутника; r, R — радіуси вписаного та описаного кіл/ апофема. |
Правильний n-кутник можна розбит на n рівних рівнобічних трикутників з вершинами в центрі багатокутника. У кожного із цих трикутників основа дорівнює стороні многокутника, а висота — його апотемі. Застосовуємо формулу площі трикутника:
де S — площа, b — основа, h — висота. Отримуємо формулу для обчислення площі правильного многокутника :
де a — сторона правильного n-кутника, — апофема, P — периметр.
Площі двох правильних n-кутників відносяться як квадрати їх відповідних лінійних елементів (сторін, радіусів вписаних чи описаних кіл, діагоналей).
Формули для правильного багатокутника з подвоєним числом сторін
Нехай навколо даного кола радіуса R описано правильний n-кутник зі стороною An , периметром Pn і площею Sn, і в це ж коло вписано правильний n-кутник зі стороною an , периметром pn і площею sn. Тоді
, :Для вписаного (в це ж коло) 2n-кутника з подвоєною кількістю сторін: | Для описаного (навколо цього ж кола) 2n-кутника з подвоєною кількістю сторін: | У коло радіуса R вписано правильний 2n-кутник зі стороною |
---|---|---|
Сторона:
| Сторона:
| Сторона правильного n-кутника, вписаного в це ж коло:
|
Периметр:
| Периметр:
| |
Площа:
| Площа:
| Площа правильного n-кутника:
|
Нехай навколо даного кола радіуса R описано правильний n-кутник зі стороною An , і в це ж коло вписано правильний n-кутник зі стороною an. Тоді:
Діагоналі
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
Діагоналлю багатокутника називають відрізок, що з'єднує дві несусідні вершини багатокутника. Діагоналі, що виходять з однієї вершини опуклого n–кутника, ділять його на n — 2 трикутники.
Кількість діагоналей правильного n–кутника:
Кут між будь-якими сусідніми діагоналями, що виходять із однієї вершини (включно зі сторонами, що виходять із цієї вершини):
При парному n, діагоналей правильного багатокутника, що мають найбільшу довжину, перетинаються в одній точці — в центрі правильного багатокутника;
При непарному n, діагоналей, що мають найбільшу довжину, при перетині, утворюють всередині n–кутника такий же n–кутник меншого розміру.
Довжини діагоналей правильного n–кутника можна обчислити за формулою:
, при
Кути n-кутника:
- Внутрішній кут:
- Кут
- Кут
, і т.д.
Діагональ знаходимо, застосовуючи теорему синусів:
Аналогічно, діагональ :
...
Остання діагональ :
Узагальнюючи знайдені значення, отримаємо:
, при
; (k\in\mathbb{N})
Всі діагоналі правильного n-кутника при перетині ділять його на 1, 4, 11, 24, 50, 80, 154, 220, 375, 444… частин (відповідно для n = 3, 4, 5, …) A007678.
Кількість точок перетину діагоналей усередині правильного багатокутника: 0, 1, 5, 13, 35, 49, 126, 161, 330, 301,… (відповідно для n = 3, 4, 5, …) A006561.
- Найбільша кількість діагоналей правильного
-кутника, що перетинаються в одній точці, яка не є його вершиною або центром, дорівнює:
- Для цих значень існує три виключення: ця кількість = 0 в трикутнику, 2 в шестикутнику та 4 в дванадцятикутнику..
Нехай існує наступна функція . Тоді:
- Кількість точок перетину діагоналей правильного n-кутника дорівнює
- Де
— число сполук із
по
.
- Кількість частин, на які діагоналі при перетині ділять правильный n-кутник дорівнює:
- .
Для правильного n-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса, добуток відстаней від даної вершини до всіх інших вершин (включно із суміжними вершинами та вершинами, з'єднані діагоналями) дорівнює n.[1]
Сума квадратів всіх сторін та всіх діагоналей правильного n-кутника, вписаного в коло радіуса R дорівнює n2R2
Координати вершин
Нехай та
— координати центра, а
— радіус описаного навколо правильного многокутника кола,
— кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного многокутника визначаються формулами
,
,
де .
Симетрія
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemd6TDBobGVHRm5iMjVmY21WbWJHVmpkR2x2Ym5NdWMzWm5Mekl5TUhCNExVaGxlR0ZuYjI1ZmNtVm1iR1ZqZEdsdmJuTXVjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Групою симетрії правильного n-кутника є діедральна група Dn (порядку 2n): D2, D3, D4, … Вона складається з n обертових симетрій і n осьових симетрій.
Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, що проходять через дві протилежні вершини, а інша половина через середини протилежних сторін.
Якщо n непарне, то всі осі проходять через вершину та середину протилежної сторони.
Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями.
Властивості
- Всі бісектриси кутів між сторонами рівні і проходять через центр правильного многокутника.
- Всі серединні перпендикуляри проходять через центр правильного многокутника. Щоб знайти центр правильного n-кутника, достатньо знайти точку перетину двох серединних перпендикулярів, проведених до сусідніх сторін.
- Центр мас правильного n-кутника лежить у його геометричному центрі
- Правильний n-кутник можна побудувати за допомогою циркуля й лінійки тоді і тільки тоді, коли
, де — різні прості числа Ферма.
- Зокрема, правильний n-кутник є таким, що будується, якщо n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, … послідовність
A003401
- Зокрема, правильний n-кутник є таким, що будується, якщо n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, … послідовність
- Правильними n-кутниками можна замостити площину без проміжків та накладень тільки при n = 3, 4 та 6 , тобто тільки правильними трикутниками, квадратами та правильними шестикутниками.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
Теорема Вівіані для правильного n-кутника
У своєму виданні п'ятої книги «Конічні перетини» Аполлонія Вівіані надає таку теорему:
У правильному опуклому n-кутнику сума відстаней від будь-якої точки всередині багатокутника до його сторін (або їх продовжень) постійна і не залежить від розташування точки. |
Зокрема, якщо ‒ відстані від деякої точки Р, що лежить всередині правильного n-кутника, до його сторін,
‒ апотема цього n-кутника, то виконується рівність
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
Сума довжин перпендикулярів, опущених з вершин правильного n-кутника на будь-яку пряму, дотичну до описаного кола, дорівнює радіусу описаного кола, помноженому на n:
Сума квадратів відстаней від вершин правильного n-кутника до будь-якої точки на описаному колі дорівнює,
де R — радіус описаного кола.
Сума квадратів відстаней від середин сторін правильного n-кутника до будь-якої точки описаного кола дорівнює
де — довжина сторони правильного n-кутника
Якщо — відстані від вершин правильного
-кутника до будь-якої точки на описаному колі, то:
.
Точка в площині правильного n-кутника
Нехай — відстані від довільної точки площини до вершин правильного n-кутника, а R — радіус описаного кола. Тоді виконується рівність:
Існують формули для більших показників степеня відстаней . Якщо:
,
то:
,
а також
,
де — додатне ціле число менше ніж
.
Якщо — відстань від довільної точки на площині до центра правильного n-кутника з радіусом описаного кола
, то:
,
де = 1, 2, …,
.
Застосування
Правильними многокутниками за визначенням є грані правильних многогранників.
Давньогрецькі математики (Антіфон, , Архімед та ін.) використовували правильні многокутники для обчислення числа . Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього многокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.
Історія
Побудова правильного многокутника (n-кутника) за допомогою циркуля та лінійки залишалась проблемою для математиків до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» описав побудову правильних многокутників у Книзі IV і вирішив задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Він визначив певний критерій можливості побудувати многокутник, хоча цей критерій і не було описано в «Началах». Давньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже побудований многокутник із кількістю сторін 2m — 1: поділом дуги на дві частини. Таким чином із двох півкіл можна побудувати квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в тій же книзі Евклід вказав і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, де r та s — взаємно прості числа, то можна побудувати і многокутник із r × s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна дійти висновку, що стародавні математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число,
— числа 3 та 5, а
приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась у цьому питанні. Лише 1796 року Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що коли кількість сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, належать 17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, із цього випливає, що правильний многокутник можливо побудувати, якщо кількість його сторін дорівнює , де
— ціле невід'ємне число,
набувають значення 0 або 1, а
— прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але й необхідною, але вперше це довів П'єр Лоран Ванцель 1836 року.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставила побудова правильних 17-, 257- та 65537-кутників. Першу винайшов 1825 року, другу — 1832 року, третю — 1894 року.
Відтоді проблема вважається повністю вирішеною.
Розбиття
Гарольд Коксетер стверджує, що кожен зоногон (2m-кутник, протилежні сторони якого паралельні й мають однакову довжину) можна розрізати на
паралелограмів. Ці мозаїки містяться як підмножини вершин, ребер і граней в ортогональних проекціях m-кубів.
Зокрема, це справедливо для будь-якого правильного багатокутника з парною кількістю сторін, у цьому випадку всі паралелограми є ромбами.
Послідовність A006245 містить кількість ромбів у розбитті правильного 2m-кутника.
2m | (8) | 40 | 50 | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Зображення | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Ромби | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 66 | 105 | 190 | 300 |
Див. також
Примітки
- Істер О.С., 2017.
- Harris, John W.; Stöcker, Horst (23 липня 1998). Handbook of Mathematics and Computational Science (англ.). Springer Science & Business Media. ISBN .
- Zwillinger, Daniel (2003). CRC Standard Mathematical Tables (PDF) (англ.) (вид. 31th ed.). Boca Raton, FL: CRC Press LLC. с. 840: стор. 332.
- Bjorn Poonen and Michael Rubinstein. "The number of intersection points made by thediagonals of a regular polygon" (англ) . doi:10.48550/arXiv.math/9508209.
- Johnson, Roger A. (2007 (orig. 1929)). Advanced Euclidean Geometry (PDF) (англ.) . Dover Publ. с. 319:стор.72-73.
- Apolonio de Pérgamo; Vincenzo, Viviani (1659). De maximis et minimis geometrica… (італ.) . Appendice. с. 146.
- Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). The converse of Viviani's theorem. The College Mathematics Journal. 37 (5): 390—391. doi:10.2307/27646392. JSTOR 27646392.
- Meskhishvili, Mamuka Meskhishvili, Mamuka (2020). Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids. Communications in Mathematics and Applications. 11: 335—355.
- Park, Poo-Sung (2016). "Regular polytope distances" (PDF). Forum Geometricorum. 16: 227—232.
- Жуков А. В. Про число
. — М.: МЦНМО, 2002. .
- Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, стор.141
Література
- Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Геометрія: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — Харків : Гімназія, 1966. — С. 240 : стор. 51-61. — .
- Істер О.С. Геометрія: 9 клас. — Київ : Генеза, 2017. — С. 243 : стор. 203. — .
Посилання
- Regular Polygons and Other Two Dimensional Shapes
- Weisstein, Eric W. RegularPolygon. From MathWorld
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Pravilnij bagatokutnikPravilnij dvanadcyatikutnik priklad Tip BagatokutnikVlastivosti Opuklij rivnostoronnij izogonalnij vershinno tranzitivnij izotoksalnij reberno tranzitivnij konciklichnij vpisanij v kolo Elementi n reber n vershinPoznachennyaSimvol Shlefli n Diagrama Koksetera Dinkina abo x n o Grupa simetriyi Dn poryadok 2n Diedralna grupa Dvoyistij Samodvoyistij V evklidovij geometriyi pra vilnij bagatoku tnik mnogoku tnik n ku tnik poligo n mnogokutnik u yakogo vsi kuti rivni i vsi storoni rivni mayut odnakovu dovzhinu Pravilni bagatokutniki mozhut buti opuklimi zirchatimi abo prostorovimi Yaksho n pryamuye do neskinchennosti to pravilnij bagatokutnik nablizhayetsya za formoyu do kola yaksho zrobiti stalim znachennya perimetru chi ploshi abo do apejrogona pryama liniya yaksho zrobiti staloyu dovzhinu storoni Opuklij pravilnij bagatokutnikVsi opukli pravilni bagatokutniki ye prostimi bagatokutnikami Vsi pravilni n kutniki podibni mizh soboyu Centrom pravilnogo bagatokutnika nazivayut tochku rivnoviddalenu vid usih jogo vershin i vsih jogo storin Vidrizok a takozh jogo dovzhina perpendikulyara provedenogo z centru pravilnogo bagatokutnika do jogo storoni nazivayetsya apotemoyu pravilnogo bagatokutnika Apotema dorivnyuye radiusu vpisanogo v danij bagatokutnik kola Kuti Centralnim kutom pravilnogo n kutnika kut a nazivayut kut pid yakim storonu n kutnika vidno z jogo centru a 3600n displaystyle alpha frac 360 0 n gradusiv 2pn displaystyle frac 2 pi n radian Suma centralnih kutiv a 3600 2p displaystyle sum alpha 360 0 2 pi rad Vnutrishnij kut pravilnogo n kutnika kut mizh susidnimi storonami b 1800 n 2 n displaystyle beta frac 180 0 n 2 n gradusiv n 2 pn displaystyle frac n 2 cdot pi n radian Suma vnutrishnih kutiv b 1800 n 2 displaystyle sum beta 180 0 n 2 Zovnivnishnij kut kut sumizhnij z vnutrishnim kutom g 1800 b a displaystyle gamma 180 0 beta alpha g 3600n displaystyle gamma frac 360 0 n gradusiv 2pn displaystyle frac 2 pi n radian Suma zovnishnih kutiv bagatokutnika vzyatih po odnomu bilya kozhnoyi vershini dorivnyuye 360 Storona pravilnogo n kutnika n cherez radius opisanogo kola R a 2 sin pn R displaystyle a 2 cdot sin left frac pi n right cdot R cherez radius vpisanogo kola r a 2 tg pn r displaystyle a 2 cdot mathop mathrm tg left frac pi n right cdot r 3 3 R displaystyle sqrt 3 cdot R 1 7320508 R 23 r displaystyle 2 sqrt 3 cdot r 3 4641016 r4 2 R displaystyle sqrt 2 cdot R 1 4142136 R 2 r displaystyle 2 cdot r 2 r5 5 52 R displaystyle sqrt frac 5 sqrt 5 2 cdot R 1 1755705 R 25 25 r displaystyle 2 sqrt 5 2 sqrt 5 cdot r 1 4530851 r6 R displaystyle R 1 R 233 r displaystyle frac 2 sqrt 3 3 cdot r 1 1547005 r7 0 8677674 R 0 9631492 r8 2 2 R displaystyle sqrt 2 sqrt 2 cdot R 0 7653669 R 2 2 1 r displaystyle 2 sqrt 2 1 cdot r 0 8284271 r9 0 6840403 R 0 7279405 r5 12 R displaystyle frac sqrt 5 1 2 cdot R 0 6180339 R 25 255 r displaystyle 2 sqrt frac 5 2 sqrt 5 5 cdot r 0 6498393 r11 0 5634651 R 0 5872529 r2 3 R displaystyle sqrt 2 sqrt 3 cdot R 0 5176381 R 2 2 3 r displaystyle 2 2 sqrt 3 cdot r 0 5358984 rFormuli Nehaj a displaystyle a storona pravilnogo n kutnika R radius opisanogo kola r radius vpisanogo kola P perimetr ap displaystyle a p apotema pravilnogo n kutnika Dovzhina storoni ta perimetr Dovzhina storoni pravilnogo n kutnika dorivnyuye a 2 sin pn R 2 tg pn r 2 R2 r2 displaystyle a 2 cdot sin left frac pi n right cdot R 2 cdot mathop mathrm tg left frac pi n right cdot r 2 cdot sqrt R 2 r 2 Perimetr suma vsih dovzhin storin pravilnogo n kutnika P n a 2n sin pn R 2n tg pn r 2n R2 r2 displaystyle P n cdot a 2n cdot sin left frac pi n right cdot R 2n cdot mathop mathrm tg left frac pi n right cdot r 2n cdot sqrt R 2 r 2 Perimetri dvoh pravilnih n kutnikiv vidnosyatsya yak yih vidpovidni linijni elementi storoni radiusi vpisanih chi opisanih kil P1P2 ab r1r2 R2R2 displaystyle frac P 1 P 2 frac a b frac r 1 r 2 frac R 2 R 2 Plosha kilcya obmezhenogo vpisanim ta opisanim kolami bagatokutnikaVpisane ta opisane kolo Navkolo kozhnogo pravilnogo n kutnika mozhna opisati kolo i v kozhen pravilnij n kutnik mozhna vpisati kolo Tobto pravilnij bagatokutnik ye bicentrichnim Centri vpisanogo i opivanogo kil spivpadayut i znahodyatsya v centri pravilnogo n kutnika Radius vpisanogo kola pravilnogo n kutnika dorivnyuye apofemi pravilnogo n kutnika dotichnij do vsih jogo reber r 12ctg pn a cos pn R R2 a24 displaystyle r frac 1 2 mathop mathrm ctg left frac pi n right cdot a cos left frac pi n right cdot R sqrt R 2 frac a 2 4 Radius opisanogo kola pravilnogo n kutnika prohodit cherez vsi jogo vershini R 12 sin pn a sec pn r r2 a24 displaystyle R frac 1 2 cdot sin left frac pi n right cdot a sec left frac pi n right cdot r sqrt r 2 frac a 2 4 Plosha kilcya utvorenogo vpisanim ta opisanim kolom zalezhit tilki vid dovzhini storoni S p4 a2 displaystyle S frac pi 4 cdot a 2 Plosha Ploshu pravilnogo mnogokutnika z chislom storin n displaystyle n mozhna obchisliti za formulami S n4ctg pn a2 displaystyle S frac n 4 mathop mathrm ctg left frac pi n right cdot a 2 S n2sin 2pn R2 displaystyle S frac n 2 sin left frac 2 pi n right cdot R 2 S n tg pn r2 displaystyle S n cdot mathop mathrm tg left frac pi n right cdot r 2 S a n2R2 a24 a n r2 12P r p ap displaystyle S frac a cdot n 2 sqrt R 2 frac a 2 4 frac a cdot n cdot r 2 frac 1 2 P cdot r p cdot a p de P p perimetr ta pivperimetr pravilnogo n kutnika ap displaystyle a p apotema pravilnogo n kutnika r R radiusi vpisanogo ta opisanogo kil apofema Pravilnij n kutnik mozhna rozbit na n rivnih rivnobichnih trikutnikiv z vershinami v centri bagatokutnika U kozhnogo iz cih trikutnikiv osnova dorivnyuye storoni mnogokutnika a visota jogo apotemi Zastosovuyemo formulu ploshi trikutnika S 12bh displaystyle S frac 1 2 bh de S plosha b osnova h visota Otrimuyemo formulu dlya obchislennya ploshi pravilnogo mnogokutnika S 12a ap n 12P ap displaystyle S frac 1 2 a cdot a p cdot n frac 1 2 P cdot a p de a storona pravilnogo n kutnika ap displaystyle a p apofema P perimetr Ploshi dvoh pravilnih n kutnikiv vidnosyatsya yak kvadrati yih vidpovidnih linijnih elementiv storin radiusiv vpisanih chi opisanih kil diagonalej stor 203 S1S2 a2b2 r12r22 R12R22 displaystyle frac S 1 S 2 frac a 2 b 2 frac r 1 2 r 2 2 frac R 1 2 R 2 2 Formuli dlya pravilnogo bagatokutnika z podvoyenim chislom storin Nehaj navkolo danogo kola radiusa R opisano pravilnij n kutnik zi storonoyu An perimetrom Pn i plosheyu Sn i v ce zh kolo vpisano pravilnij n kutnik zi storonoyu an perimetrom pn i plosheyu sn Todi stor 87 stor 332 Dlya vpisanogo v ce zh kolo 2n kutnika z podvoyenoyu kilkistyu storin Dlya opisanogo navkolo cogo zh kola 2n kutnika z podvoyenoyu kilkistyu storin U kolo radiusa R vpisano pravilnij 2n kutnik zi storonoyu a2n displaystyle a 2n i plosheyu s2n displaystyle s 2n Storona a2n R 2 2 1 an2 R 2 displaystyle a 2n R cdot sqrt 2 2 cdot sqrt 1 left frac a n 2 cdot R right 2 a2n 2R2 R 4R2 an2 an A2n2 displaystyle a 2n sqrt 2R 2 R cdot sqrt 4R 2 a n 2 sqrt frac a n cdot A 2n 2 Storona A2n 2R An2R 4R2 An2 an Anan An displaystyle A 2n frac 2R cdot A n 2R sqrt 4R 2 A n 2 frac a n cdot A n a n A n Storona pravilnogo n kutnika vpisanogo v ce zh kolo an a2n 4 a2nR 2 displaystyle a n a 2n cdot sqrt 4 left frac a 2n R right 2 Perimetr p2n pn P2n displaystyle p 2n sqrt p n cdot P 2n p2n gt pn displaystyle p 2n gt p n Perimetr P2n 2pn Pnpn Pn displaystyle P 2n frac 2p n cdot P n p n P n Pn gt P2n displaystyle P n gt P 2n Plosha s2n n R22 1 1 2snn R2 2 displaystyle s 2n frac n cdot R 2 sqrt 2 cdot sqrt 1 sqrt 1 left frac 2s n n cdot R 2 right 2 Plosha S2n 2s2n Sns2n Sn displaystyle S 2n frac 2s 2n cdot S n s 2n S n Plosha pravilnogo n kutnika sn s2n 1 s2nn R2 2 displaystyle s n s 2n cdot sqrt 1 left frac s 2n n cdot R 2 right 2 Nehaj navkolo danogo kola radiusa R opisano pravilnij n kutnik zi storonoyu An i v ce zh kolo vpisano pravilnij n kutnik zi storonoyu an Todi an 2R An4R2 An2 displaystyle a n frac 2R cdot A n sqrt 4R 2 A n 2 An 2R an4R2 an2 displaystyle A n frac 2R cdot a n sqrt 4R 2 a n 2 Diagonali Diagonallyu bagatokutnika nazivayut vidrizok sho z yednuye dvi nesusidni vershini bagatokutnika Diagonali sho vihodyat z odniyeyi vershini opuklogo n kutnika dilyat jogo na n 2 trikutniki Kilkist diagonalej pravilnogo n kutnika n n 3 2 displaystyle frac n cdot n 3 2 Kut mizh bud yakimi susidnimi diagonalyami sho vihodyat iz odniyeyi vershini vklyuchno zi storonami sho vihodyat iz ciyeyi vershini f pn displaystyle varphi frac pi n Pri parnomu n n2 displaystyle frac n 2 diagonalej pravilnogo bagatokutnika sho mayut najbilshu dovzhinu peretinayutsya v odnij tochci v centri pravilnogo bagatokutnika Pri neparnomu n n displaystyle n diagonalej sho mayut najbilshu dovzhinu pri peretini utvoryuyut vseredini n kutnika takij zhe n kutnik menshogo rozmiru Dovzhini diagonalej pravilnogo n kutnika mozhna obchisliti za formuloyu dk sin k 1 pn sin pn a displaystyle d k frac sin left frac k 1 cdot pi n right sin left frac pi n right cdot a pri k 1 2 3 n 3 k N displaystyle k 1 2 3 n 3 k in mathbb N Vivid formuli Kuti n kutnika Vnutrishnij kut b n 2 pn p 2pn displaystyle beta frac n 2 cdot pi n pi frac 2 pi n Kut d b f n 2 pn pn p 2pn pn p 3pn displaystyle delta beta varphi frac n 2 cdot pi n frac pi n pi frac 2 pi n frac pi n pi frac 3 pi n Kut ϵ b p d f p 2pn p p 3pn pn p 4pn displaystyle epsilon beta left pi delta varphi right pi frac 2 pi n pi pi frac 3 pi n frac pi n pi frac 4 pi n i t d Diagonal d1 displaystyle d 1 znahodimo zastosovuyuchi teoremu sinusiv asin f d1sin b d1 sin p 2pn sin pn a sin 2pn sin pn a displaystyle frac a sin varphi frac d 1 sin beta Longrightarrow d 1 frac sin left pi frac 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a frac sin left frac 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a Analogichno diagonal d2 displaystyle d 2 asin f d2sin d d2 sin p 3pn sin pn a sin 3pn sin pn a displaystyle frac a sin varphi frac d 2 sin delta Longrightarrow d 2 frac sin left pi frac 3 pi n right sin left frac pi n right cdot a frac sin left frac 3 pi n right sin left frac pi n right cdot a Ostannya diagonal dn 3 displaystyle d n 3 dn 3 sin p n 2 pn sin pn a sin n 2 pn sin pn a sin 2pn sin pn a displaystyle d n 3 frac sin left pi frac n 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a frac sin left frac n 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a frac sin left frac 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a Uzagalnyuyuchi znajdeni znachennya otrimayemo dk sin k 1 pn sin pn a displaystyle d k frac sin left frac k 1 cdot pi n right sin left frac pi n right cdot a pri k 1 2 3 n 3 displaystyle k 1 2 3 n 3 k in mathbb N Vsi diagonali pravilnogo n kutnika pri peretini dilyat jogo na 1 4 11 24 50 80 154 220 375 444 chastin vidpovidno dlya n 3 4 5 A007678 Kilkist tochok peretinu diagonalej useredini pravilnogo bagatokutnika 0 1 5 13 35 49 126 161 330 301 vidpovidno dlya n 3 4 5 A006561 Najbilsha kilkist diagonalej pravilnogo n displaystyle n kutnika sho peretinayutsya v odnij tochci yaka ne ye jogo vershinoyu abo centrom dorivnyuye 2 yaksho n neparne 3 yaksho n parne ale ne dilitsya na 6 5 yaksho n dilitsya na 6 ale ne dilitsya na 30 7 yaksho n dilitsya na 30Dlya cih znachen isnuye tri viklyuchennya cya kilkist 0 v trikutniku 2 v shestikutniku ta 4 v dvanadcyatikutniku Nehaj isnuye nastupna funkciya dm n 1 yaksho n dilitsya nam0 yaksho n ne dilitsya na m displaystyle delta m n begin cases 1 amp text yaksho n text dilitsya na m 0 amp text yaksho n text ne dilitsya na m end cases Todi Kilkist tochok peretinu diagonalej pravilnogo n kutnika dorivnyuyeCn4 5n3 45n2 70n 2424 d2 n 3n2 d4 n 45n2 262n6 d6 n 42n d12 n 60n d18 n 35n d24 n 38n d30 n 82n d42 n 330n d60 n 144n d84 n 96n d90 n 144n d120 n 96n d210 n displaystyle begin array l C n 4 frac 5n 3 45n 2 70n 24 24 cdot delta 2 n frac 3n 2 cdot delta 4 n frac 45n 2 262n 6 cdot delta 6 n 42n cdot delta 12 n 60n cdot delta 18 n 35n cdot delta 24 n 38n cdot delta 30 n 82n cdot delta 42 n 330n cdot delta 60 n 144n cdot delta 84 n 96n cdot delta 90 n 144n cdot delta 120 n 96n cdot delta 210 n end array De Cn4 displaystyle C n 4 chislo spoluk iz n displaystyle n po 4 displaystyle 4 Kilkist chastin na yaki diagonali pri peretini dilyat pravilnyj n kutnik dorivnyuye n4 6n3 23n2 42n 2424 5n3 42n2 40n 4848 d2 n 3n4 d4 n 53n2 310n12 d6 n 49n2 d12 n 32n d18 n 19n d24 n 36n d30 n 50n d42 n 190n d60 n 78n d84 n 48n d90 n 78n d120 n 48n d210 n displaystyle begin array l frac n 4 6n 3 23n 2 42n 24 24 frac 5n 3 42n 2 40n 48 48 cdot delta 2 n frac 3n 4 cdot delta 4 n frac 53n 2 310n 12 cdot delta 6 n frac 49n 2 cdot delta 12 n 32n cdot delta 18 n 19n cdot delta 24 n 36n cdot delta 30 n 50n cdot delta 42 n 190n cdot delta 60 n 78n cdot delta 84 n 48n cdot delta 90 n 78n cdot delta 120 n 48n cdot delta 210 n end array Dlya pravilnogo n kutnika vpisanogo v kolo odinichnogo radiusa dobutok vidstanej vid danoyi vershini do vsih inshih vershin vklyuchno iz sumizhnimi vershinami ta vershinami z yednani diagonalyami dorivnyuye n 1 Suma kvadrativ vsih storin ta vsih diagonalej pravilnogo n kutnika vpisanogo v kolo radiusa R dorivnyuye n2R2 stor 73 naslidok Koordinati vershin Nehaj x0 displaystyle x 0 ta y0 displaystyle y 0 koordinati centra a R displaystyle R radius opisanogo navkolo pravilnogo mnogokutnika kola ϕ0 displaystyle phi 0 kutova koordinata pershoyi vershini todi dekartovi koordinati vershin pravilnogo mnogokutnika viznachayutsya formulami xi x0 Rcos ϕ0 2pin displaystyle x i x 0 R cos left phi 0 frac 2 pi i n right yi y0 Rsin ϕ0 2pin displaystyle y i y 0 R sin left phi 0 frac 2 pi i n right de i 0 n 1 displaystyle i 0 dots n 1 Simetriya Shist osovih simetrij pravilnogo shestikutnika Grupoyu simetriyi pravilnogo n kutnika ye diedralna grupa Dn poryadku 2n D2 D3 D4 Vona skladayetsya z n obertovih simetrij i n osovih simetrij Yaksho n parne todi isnuye n 2 osej simetrij sho prohodyat cherez dvi protilezhni vershini a insha polovina cherez seredini protilezhnih storin Yaksho n neparne to vsi osi prohodyat cherez vershinu ta seredinu protilezhnoyi storoni Tak chi inakshe isnuye n osej simetriyi i 2n elementiv u grupi simetrij Vidbittya vidnosno odniyeyi z osej simetriyi iz nastupnim vidbittyam vidnosno inshoyi osi rivnocinno obertannyu na podvoyenij kut mizh osyami VlastivostiVsi bisektrisi kutiv mizh storonami rivni i prohodyat cherez centr pravilnogo mnogokutnika Vsi seredinni perpendikulyari prohodyat cherez centr pravilnogo mnogokutnika Shob znajti centr pravilnogo n kutnika dostatno znajti tochku peretinu dvoh seredinnih perpendikulyariv provedenih do susidnih storin Centr mas pravilnogo n kutnika lezhit u jogo geometrichnomu centri Pravilnij n kutnik mozhna pobuduvati za dopomogoyu cirkulya j linijki todi i tilki todi koli n 2k p1 pm displaystyle n 2 k cdot p 1 cdot ldots cdot p m de rizni prosti chisla Ferma Zokrema pravilnij n kutnik ye takim sho buduyetsya yaksho n 3 4 5 6 8 10 12 15 16 17 20 24 30 32 34 40 48 51 60 64 68 80 85 96 102 120 poslidovnist A003401 Pravilnimi n kutnikami mozhna zamostiti ploshinu bez promizhkiv ta nakladen tilki pri n 3 4 ta 6 tobto tilki pravilnimi trikutnikami kvadratami ta pravilnimi shestikutnikami Teorema Viviani dlya pravilnogo semikutnika Teorema Viviani dlya pravilnogo n kutnika U svoyemu vidanni p yatoyi knigi Konichni peretini Apolloniya Viviani nadaye taku teoremu U pravilnomu opuklomu n kutniku suma vidstanej vid bud yakoyi tochki vseredini bagatokutnika do jogo storin abo yih prodovzhen postijna i ne zalezhit vid roztashuvannya tochki Zokrema yaksho hi displaystyle h i vidstani vid deyakoyi tochki R sho lezhit vseredini pravilnogo n kutnika do jogo storin ap displaystyle a p apotema cogo n kutnika to vikonuyetsya rivnist stor 72 i 1nhi ap n displaystyle textstyle sum i 1 n displaystyle h i a p cdot n Ilyustraciya teorem pov yazanih z opisanim kolom pravilnogo bagatokutnika Suma dovzhin perpendikulyariv opushenih z vershin pravilnogo n kutnika na bud yaku pryamu dotichnu do opisanogo kola dorivnyuye radiusu opisanogo kola pomnozhenomu na n stor 73 i 1nℓi n R displaystyle textstyle sum i 1 n displaystyle ell i n cdot R Suma kvadrativ vidstanej vid vershin pravilnogo n kutnika do bud yakoyi tochki na opisanomu koli dorivnyuye stor 73 i 1ndi2 2n R2 displaystyle textstyle sum i 1 n displaystyle d i 2 2n cdot R 2 de R radius opisanogo kola Suma kvadrativ vidstanej vid seredin storin pravilnogo n kutnika do bud yakoyi tochki opisanogo kola dorivnyuye stor 73 i 1nmi2 2n R2 14n a2 displaystyle textstyle sum i 1 n displaystyle m i 2 2n cdot R 2 frac 1 4 n cdot a 2 de a displaystyle a dovzhina storoni pravilnogo n kutnika Yaksho di displaystyle d i vidstani vid vershin pravilnogo n displaystyle n kutnika do bud yakoyi tochki na opisanomu koli to 3 i 1ndi2 2 2n i 1ndi4 displaystyle 3 left sum i 1 n d i 2 right 2 2n sum i 1 n d i 4 Tochka v ploshini pravilnogo n kutnika Nehaj di displaystyle d i vidstani vid dovilnoyi tochki ploshini do vershin pravilnogo n kutnika a R radius opisanogo kola Todi vikonuyetsya rivnist 1n i 1ndi4 3R4 1n i 1ndi2 R2 2 displaystyle frac 1 n sum i 1 n d i 4 3R 4 left frac 1 n sum i 1 n d i 2 R 2 right 2 Isnuyut formuli dlya bilshih pokaznikiv stepenya vidstanej di displaystyle d i Yaksho Sn 2m 1n i 1ndi2m displaystyle S n 2m frac 1 n sum i 1 n d i 2m to Sn 2m Sn 2 m k 1 m2 m2k 2kk R2k Sn 2 R2 k Sn 2 m 2k displaystyle S n 2m left S n 2 right m sum k 1 left lfloor frac m 2 right rfloor binom m 2k binom 2k k R 2k left S n 2 R 2 right k left S n 2 right m 2k a takozh Sn 2m Sn 2 m k 1 m2 12k m2k 2kk Sn 4 Sn 2 2 k Sn 2 m 2k displaystyle S n 2m left S n 2 right m sum k 1 left lfloor frac m 2 right rfloor frac 1 2 k binom m 2k binom 2k k left S n 4 left S n 2 right 2 right k left S n 2 right m 2k de m displaystyle m dodatne cile chislo menshe nizh n displaystyle n Yaksho L displaystyle L vidstan vid dovilnoyi tochki na ploshini do centra pravilnogo n kutnika z radiusom opisanogo kola R displaystyle R to i 1ndi2m n R2 L2 m k 1 m2 m2k 2kk R2kL2k R2 L2 m 2k displaystyle sum i 1 n d i 2m n left left R 2 L 2 right m sum k 1 left lfloor frac m 2 right rfloor binom m 2k binom 2k k R 2k L 2k left R 2 L 2 right m 2k right de m displaystyle m 1 2 n 1 displaystyle n 1 ZastosuvannyaPravilnimi mnogokutnikami za viznachennyam ye grani pravilnih mnogogrannikiv Davnogrecki matematiki Antifon Arhimed ta in vikoristovuvali pravilni mnogokutniki dlya obchislennya chisla p displaystyle pi Voni obchislyuvali ploshi vpisanih v kolo i opisanih navkolo nogo mnogokutnikiv postupovo zbilshuyuchi chislo yih storin i otrimuyuchi takim chinom ocinku ploshi kola IstoriyaPobudova pravilnogo mnogokutnika n kutnika za dopomogoyu cirkulya ta linijki zalishalas problemoyu dlya matematikiv do XIX stolittya Taka pobudova identichna rozdilennyu kola na n rivnih chastin oskilki z yednavshi mizh soboyu tochki sho dilyat kolo na rivni chastini mozhna otrimati shukanij mnogokutnik Evklid u svoyih Nachalah opisav pobudovu pravilnih mnogokutnikiv u Knizi IV i virishiv zadachu dlya n 3 4 5 6 15 Vin viznachiv pevnij kriterij mozhlivosti pobuduvati mnogokutnik hocha cej kriterij i ne bulo opisano v Nachalah Davnogrecki matematiki vmili buduvati mnogokutnik z 2m storonami pri cilomu m gt 1 mayuchi vzhe pobudovanij mnogokutnik iz kilkistyu storin 2m 1 podilom dugi na dvi chastini Takim chinom iz dvoh pivkil mozhna pobuduvati kvadrat potim pravilnij vosmikutnik pravilnij shistnadcyatikutnik i tak dali Okrim cogo v tij zhe knizi Evklid vkazav i drugij kriterij yaksho vidomo yak buduvati mnogokutniki z r ta s storonami de r ta s vzayemno prosti chisla to mozhna pobuduvati i mnogokutnik iz r s storonami Sintezuyuchi ci dva sposobi mozhna dijti visnovku sho starodavni matematiki vmili buduvati pravilni mnogokutniki z 2m p1k1 p2k2 displaystyle 2 m cdot p 1 k 1 cdot p 2 k 2 storonami de m cile nevid yemne chislo p1 p2 displaystyle p 1 p 2 chisla 3 ta 5 a k1 k2 displaystyle k 1 k 2 prijmayut znachennya 0 abo 1 Serednovichna matematika majzhe niyak ne prosunulas u comu pitanni Lishe 1796 roku Karlu Fridrihu Gausu vdalosya dovesti sho koli kilkist storin pravilnogo mnogokutnika dorivnyuye prostomu chislu Ferma do yakih krim 3 ta 5 nalezhat 17 257 i 65537 to jogo mozhna pobuduvati za dopomogoyu cirkulya ta linijki Yaksho brati vzagali iz cogo viplivaye sho pravilnij mnogokutnik mozhlivo pobuduvati yaksho kilkist jogo storin dorivnyuye 2k0p1k1p2k2 psks displaystyle 2 k 0 p 1 k 1 p 2 k 2 cdots p s k s de k0 displaystyle k 0 cile nevid yemne chislo k1 k2 ks displaystyle k 1 k 2 cdots k s nabuvayut znachennya 0 abo 1 a pj displaystyle mathrm p j prosti chisla Ferma Gaus pidozryuvav sho cya umova ye ne tilki dostatnoyu ale j neobhidnoyu ale vpershe ce doviv P yer Loran Vancel 1836 roku Krapku v spravi pobudovi pravilnih mnogokutnikiv postavila pobudova pravilnih 17 257 ta 65537 kutnikiv Pershu vinajshov 1825 roku drugu 1832 roku tretyu 1894 roku Vidtodi problema vvazhayetsya povnistyu virishenoyu RozbittyaGarold Kokseter stverdzhuye sho kozhen zonogon 2m kutnik protilezhni storoni yakogo paralelni j mayut odnakovu dovzhinu mozhna rozrizati na m2 m m 1 2 displaystyle binom m 2 frac m cdot m 1 2 paralelogramiv Ci mozayiki mistyatsya yak pidmnozhini vershin reber i granej v ortogonalnih proekciyah m kubiv Zokrema ce spravedlivo dlya bud yakogo pravilnogo bagatokutnika z parnoyu kilkistyu storin u comu vipadku vsi paralelogrami ye rombami Poslidovnist A006245 mistit kilkist rombiv u rozbitti pravilnogo 2m kutnika Prikladi rozbittya na rombi pravilnih 2m kutnikiv 2m 8 40 50ZobrazhennyaRombi 3 6 10 15 21 28 36 45 66 105 190 300Div takozhTeorema Gaussa Vancelya Najbilshij mnogokutnik odinichnogo diametra Figurni chislaPrimitkiIster O S 2017 Harris John W Stocker Horst 23 lipnya 1998 Handbook of Mathematics and Computational Science angl Springer Science amp Business Media ISBN 978 0 387 94746 4 Zwillinger Daniel 2003 CRC Standard Mathematical Tables PDF angl vid 31th ed Boca Raton FL CRC Press LLC s 840 stor 332 Bjorn Poonen and Michael Rubinstein The number of intersection points made by thediagonals of a regular polygon angl doi 10 48550 arXiv math 9508209 Johnson Roger A 2007 orig 1929 Advanced Euclidean Geometry PDF angl Dover Publ s 319 stor 72 73 Apolonio de Pergamo Vincenzo Viviani 1659 De maximis et minimis geometrica ital Appendice s 146 Chen Zhibo Liang Tian 2006 The converse of Viviani s theorem The College Mathematics Journal 37 5 390 391 doi 10 2307 27646392 JSTOR 27646392 Meskhishvili Mamuka Meskhishvili Mamuka 2020 Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids Communications in Mathematics and Applications 11 335 355 Park Poo Sung 2016 Regular polytope distances PDF Forum Geometricorum 16 227 232 Zhukov A V Pro chislo p displaystyle pi M MCNMO 2002 ISBN 5 94057 030 5 Coxeter Mathematical recreations and Essays Thirteenth edition stor 141LiteraturaMerzlyak A G Polonskij V B Yakir M S Geometriya pidruch dlya 9 kl zagalnoosvit navch zakladiv Harkiv Gimnaziya 1966 S 240 stor 51 61 ISBN 978 966 474 295 2 Ister O S Geometriya 9 klas Kiyiv Geneza 2017 S 243 stor 203 ISBN 978 966 11 0844 7 PosilannyaRegular Polygons and Other Two Dimensional Shapes Weisstein Eric W RegularPolygon From MathWorld Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi