У математиці, розшаруванням реперів називається головне розшарування F(E) асоційоване із деяким векторним розшаруванням E. Шаром над точкою x у F(E) є множина всіх впорядкованих базисів, або реперів векторного простору Ex. Загальна лінійна група натурально діє на F(E) заміною базисів. Із цією дією розшарування реперів є головним GL(k, R)-розшаруванням (де k є рангом E).
Для гладкого многовиду розшарування реперів розглядають в основному для дотичного розшарування. Воно також називається дотичним розшаруванням реперів.
Означення і побудова
Нехай E → X є дійсним векторним розшаруванням рангу k над топологічним простором X. Репером у точці x ∈ X називається впорядкований базис векторного простору Ex. Еквівалентно репер можна розглядати як лінійний ізоморфізм
Множина всіх реперів у точці x, позначається Fx. На ній задана натуральна дія загальної лінійної групи GL(k, R) невироджених k × k матриць: елемент групи g ∈ GL(k, R) діє на репер p через композицію відображень даючи в результаті репер
Із теорії систем лінійних рівнянь випливає, що дія GL(k, R) на Fx є вільною і транзитивною. Як топологічний простір, Fx є гомеоморфним до GL(k, R) однак на ньому не задається групова структура, оскільки немає однозначного "виділеного репера".
Для розшаруванням реперів для векторного розшарування E (позначається F(E) або FGL(E)) базовим простором є X, а загальним простором — диз'юнктне об'єднання всіх Fx:
Кожна точка у F(E) є парою (x, p) де x є точкою у X, p — репером у x. Проєкція π : F(E) → X розшарування реперів відправляє точку (x, p) у точку x.
На F(E) можна задати дію групи GL(k, R) справа у межах шару як вище. Дія цією групи є вільною, а орбітами є шари розшарування.
На розшаруванні реперів F(E) можна ввести природну топологію і структуру локально тривіального розшарування визначені векторним розшаруванням E. Нехай (Ui, φi) будуть локальними тривіалізаціями для E. Тоді для кожної точки x ∈ Ui існує лінійний ізоморфізм φi,x : Ex → Rk. Звідси також одержується бієкція
задана як
Із цими бієкціями на кожному π−1(Ui) можна ввести топологію простору Ui × GL(k, R) (після чого стануть гомеоморфізмами). Топологія на F(E) є коіндукованою відображеннями включення π−1(Ui) → F(E).
При такій топології F(E) стає головним локально тривіальним розшаруванням над X із структурною групою GL(k, R) і локальними тривіалізаціями ({Ui}, {ψi}).
Усі побудови і означення можна також розглядати у категорії гладких многовидів: якщо E є гладким векторним розшаруванням над гладким многовидом M тоді на розшаруванні реперів E можна ввести структуру головного гладкого розшарування над M.
Асоційоване векторне розшарування
Векторне розшарування E і його розшарування реперів F(E) є асоційованими розшаруваннями. Одне розшарування повністю визначає інше. Розшарування реперів F(E) можна одержати із E як вище.
Для лінійного представлення ρ : GL(k, R) → GL(V,F) існує векторне розшарування
асоційоване із F(E) яке задається як добуток F(E) × V за модулем відношення еквівалентності (pg, v) ~ (p, ρ(g)v) для всіх g у GL(k, R). Нехай класи еквівалентності позначаються як [p, v].
Векторне розшарування E є натурально ізоморфним розшаруванню F(E) ×ρ Rk де ρ є фундаментальним представленням GL(k, R) на Rk. Ізоморфізм задається як
де v є вектором у Rk і p : Rk → Ex є репером у точці x.
Будь-яке векторне розшарування асоційоване із E можна одержати у подібний спосіб. Наприклад, двоїсте розшарування до E задається як F(E) ×ρ* (Rk)* де ρ* є двоїстим фундаментальним представленням.
Дотичні розшарування реперів
Для гладких многовидів M переважно розглядають розшарування реперів асоційоване із дотичним розшаруванням M. Таке розшарування реперів M часто позначається FM або GL(M) замість F(TM). Якщо многовид M є n-вимірним, то дотичне розшарування має ранг n, а розшарування реперів M є головним GL(n, R) розшаруванням над M.
Гладкі репери
Перетин розшарування реперів M називається гладким репером на M. Із загальних результатів для головних розшарувань випливає, що розшарування реперів є тривіальним над будь-якою відкритою множиною U у M для якої існує гладкий репер. Для такого гладкого репера s : U → FU, тривіалізація ψ : FU → U × GL(n, R) задається як
де p є репером у точці x. Як наслідок для многовиду існують векторні поля, що утворюють базис дотичних просторів у всіх точках якщо і тільки якщо для розшарування реперів M існує глобальний перетин.
Оскільки дотичне розшарування M є тривіальним над координатними околами M то і розшарування реперів є над ними тривіальними. Для координатного околу U із координатами (x1,…,xn) координатні векторні поля
задають гладкий репер на U.
Тавтологічна форма
Розшарування реперів многовиду M є окремим випадком головних розшарувань і його геометрія є фундаментально пов'язана із геометрією M. Цей зв'язок можна описати за допомогою векторозначної 1-форми, яка називається тавтологічною 1-формою. Нехай x є точкою многовида M і p — репером у точці x, тобто
є лінійним ізоморфізмом Rn і дотичного простору M у точці x. Тавтологічна форма на FM є Rn-значною 1-формою θ заданою як
де ξ є дотичним вектором до FM у точці (x,p), відображення p−1 : TxM → Rn є оберненим до відображення у означенні репера, а dπ є диференціалом проєкції π : FM → M. Дана форма є горизонтальною тобто її значення є нульовим на векторах дотичних до шарів π і також
де Rg є відображення правої дії елемента g ∈ GL(n, R). Горизонтальні форми, що задовольняють цю рівність називаються базовими або тензорними формами на FM. Такі форми перебувають у бієктивній відповідності із TM-значними 1-формами на M і у бієктивній відповідності із гладкими відображеннями розшарувань TM → TM над M. У цій останній відповідності θ є відповідником тотожного відображення на TM.
Ортонормальне розшарування реперів
Якщо на векторному розшаруванні E задано ріманова метрика розшарування, то кожен шар Ex є не лише векторним простором, а на ньому заданий також скалярний добуток. Тоді можна розглядати множину всіх множина всіх ортонормальних реперів у Ex. Ортонормальним репером для Ex є впорядкований ортонормальний базис для Ex або, еквівалентно, лінійна ізометрія
де на Rk задано стандартний скалярний добуток. Ортогональна група O(k) діє вільно і транзитивно на множині всіх ортонормальних реперів.
Загальним простором ортонормального розшарування реперів для розшарування E (позначається FO(E)) є множина всіх ортонормальних реперів у кожній точці x базового простору X. Ортонормальне розшарування реперів рангу k для ріманового векторного розшарування E → X є головним O(k)-розшаруванням над X. Знову ж всі побудови можна розглядати також у категорії гладких многовидів.
Якщо векторне розшарування E є орієнтовним тоді можна також розглянути орієнтовне ортонормальне розшарування реперів для E, що позначається FSO(E) і є головним SO(k)-розшаруванням всіх додатно орієнтованих ортонормальних реперів.
Якщо M є n-вимірним рімановим многовидом, то ортонормальне розшарування реперів M, позначається FOM або O(M) і є за означенням ортонормальним розшаруванням реперів асоційоване із дотичним розшаруванням M (із відповідною рімановою метрикою). Якщо M є орієнтовним, то подібно дається означення орієнтовного ортонормального розшарування реперів FSOM.
Для ріманового векторного розшарування E, ортонормальне розшарування реперів є головним O(k)-підрозшаруванням загального лінійного розшарування реперів. Іншими словами включення
є головним відображенням розшарування.
G-структури
Якщо на гладкому многовиді M задана деяка додаткова структура часто виникає потреба розглядати підрозшарування розшарування реперів M яке узгоджується із цією структурою. Наприклад, якщо M є ріманів многовид то природно виникає поняття ортонормального розшарування реперів M.
Загалом, якщо M є гладким n-многовидом і G є підгрупою Лі групи GL(n, R) то G-структурою на M називається головне G-розшарування FG(M) над M із G-узгодженим відображенням розшарувань
над M.
Прикладами таких структур є:
- Ріманова метрика на M породжує O(n)-структуру на M.
- Для орієнтовного многовиду існує орієнтовне розшарування реперів яке є GL+(n, R)-структурою на M.
- Форма об'єму на M задає SL(n, R)-структуру на M.
- На 2n-вимірному симплектичному многовиді існує натуральна Sp(2n, R)-структура.
- На 2n-вимірному комплексному або існує натуральна GL(n, C)-структура.
У багатьох із цих випадків G-структура на M однозначно визначає відповідну структуру на M. Наприклад, SL(n, R)-структура на M визначає відповідну форму об'єму на M. Проте в деяких випадках, зокрема для симплектичних і комплексних многовидів, необхідні додаткові умови інтегровності. Sp(2n, R)-структура на M однозначно задає невироджену 2-форму на M але для того щоб M був симплектичним многовидом ця 2-форма має бути замкнутою.
Див. також
Література
- Luis A. Cordero, C. T. J. Dodson, Manuel de León (1988), Differential Geometry of Frame Bundles, Mathematics and Its Applications, т. 47, Springer Netherlands, ISBN
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, т. Vol. 1 (вид. New), Wiley Interscience, ISBN
- Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), (PDF), Springer-Verlag, архів оригіналу (PDF) за 30 березня 2017, процитовано 2 серпня 2008
- Sternberg, S. (1983), Lectures on Differential Geometry (вид. (2nd ed.)), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici rozsharuvannyam reperiv nazivayetsya golovne rozsharuvannya F E asocijovane iz deyakim vektornim rozsharuvannyam E Sharom nad tochkoyu x u F E ye mnozhina vsih vporyadkovanih bazisiv abo reperiv vektornogo prostoru Ex Zagalna linijna grupa naturalno diye na F E zaminoyu bazisiv Iz ciyeyu diyeyu rozsharuvannya reperiv ye golovnim GL k R rozsharuvannyam de k ye rangom E Dlya gladkogo mnogovidu rozsharuvannya reperiv rozglyadayut v osnovnomu dlya dotichnogo rozsharuvannya Vono takozh nazivayetsya dotichnim rozsharuvannyam reperiv Oznachennya i pobudovaNehaj E X ye dijsnim vektornim rozsharuvannyam rangu k nad topologichnim prostorom X Reperom u tochci x X nazivayetsya vporyadkovanij bazis vektornogo prostoru Ex Ekvivalentno reper mozhna rozglyadati yak linijnij izomorfizm p R k E x displaystyle p mathbf R k to E x Mnozhina vsih reperiv u tochci x poznachayetsya Fx Na nij zadana naturalna diya zagalnoyi linijnoyi grupi GL k R nevirodzhenih k k matric element grupi g GL k R diye na reper p cherez kompoziciyu vidobrazhen dayuchi v rezultati reper p g R k E x displaystyle p circ g mathbf R k to E x Iz teoriyi sistem linijnih rivnyan viplivaye sho diya GL k R na Fx ye vilnoyu i tranzitivnoyu Yak topologichnij prostir Fx ye gomeomorfnim do GL k R odnak na nomu ne zadayetsya grupova struktura oskilki nemaye odnoznachnogo vidilenogo repera Dlya rozsharuvannyam reperiv dlya vektornogo rozsharuvannya E poznachayetsya F E abo FGL E bazovim prostorom ye X a zagalnim prostorom diz yunktne ob yednannya vsih Fx F E x X F x displaystyle mathrm F E coprod x in X F x Kozhna tochka u F E ye paroyu x p de x ye tochkoyu u X p reperom u x Proyekciya p F E X rozsharuvannya reperiv vidpravlyaye tochku x p u tochku x Na F E mozhna zadati diyu grupi GL k R sprava u mezhah sharu yak vishe Diya ciyeyu grupi ye vilnoyu a orbitami ye shari rozsharuvannya Na rozsharuvanni reperiv F E mozhna vvesti prirodnu topologiyu i strukturu lokalno trivialnogo rozsharuvannya viznacheni vektornim rozsharuvannyam E Nehaj Ui fi budut lokalnimi trivializaciyami dlya E Todi dlya kozhnoyi tochki x Ui isnuye linijnij izomorfizm fi x Ex Rk Zvidsi takozh oderzhuyetsya biyekciya ps i p 1 U i U i G L k R displaystyle psi i pi 1 U i to U i times mathrm GL k mathbf R zadana yak ps i x p x f i x p displaystyle psi i x p x varphi i x circ p Iz cimi biyekciyami na kozhnomu p 1 Ui mozhna vvesti topologiyu prostoru Ui GL k R pislya chogo ps i displaystyle psi i stanut gomeomorfizmami Topologiya na F E ye koindukovanoyu vidobrazhennyami vklyuchennya p 1 Ui F E Pri takij topologiyi F E staye golovnim lokalno trivialnim rozsharuvannyam nad X iz strukturnoyu grupoyu GL k R i lokalnimi trivializaciyami Ui psi Usi pobudovi i oznachennya mozhna takozh rozglyadati u kategoriyi gladkih mnogovidiv yaksho E ye gladkim vektornim rozsharuvannyam nad gladkim mnogovidom M todi na rozsharuvanni reperiv E mozhna vvesti strukturu golovnogo gladkogo rozsharuvannya nad M Asocijovane vektorne rozsharuvannyaVektorne rozsharuvannya E i jogo rozsharuvannya reperiv F E ye asocijovanimi rozsharuvannyami Odne rozsharuvannya povnistyu viznachaye inshe Rozsharuvannya reperiv F E mozhna oderzhati iz E yak vishe Dlya linijnogo predstavlennya r GL k R GL V F isnuye vektorne rozsharuvannya F E r V displaystyle mathrm F E times rho V asocijovane iz F E yake zadayetsya yak dobutok F E V za modulem vidnoshennya ekvivalentnosti pg v p r g v dlya vsih g u GL k R Nehaj klasi ekvivalentnosti poznachayutsya yak p v Vektorne rozsharuvannya E ye naturalno izomorfnim rozsharuvannyu F E r Rk de r ye fundamentalnim predstavlennyam GL k R na Rk Izomorfizm zadayetsya yak p v p v displaystyle p v mapsto p v de v ye vektorom u Rk i p Rk Ex ye reperom u tochci x Bud yake vektorne rozsharuvannya asocijovane iz E mozhna oderzhati u podibnij sposib Napriklad dvoyiste rozsharuvannya do E zadayetsya yak F E r Rk de r ye dvoyistim fundamentalnim predstavlennyam Dotichni rozsharuvannya reperivDlya gladkih mnogovidiv M perevazhno rozglyadayut rozsharuvannya reperiv asocijovane iz dotichnim rozsharuvannyam M Take rozsharuvannya reperiv M chasto poznachayetsya FM abo GL M zamist F TM Yaksho mnogovid M ye n vimirnim to dotichne rozsharuvannya maye rang n a rozsharuvannya reperiv M ye golovnim GL n R rozsharuvannyam nad M Gladki reperi Peretin rozsharuvannya reperiv M nazivayetsya gladkim reperom na M Iz zagalnih rezultativ dlya golovnih rozsharuvan viplivaye sho rozsharuvannya reperiv ye trivialnim nad bud yakoyu vidkritoyu mnozhinoyu U u M dlya yakoyi isnuye gladkij reper Dlya takogo gladkogo repera s U FU trivializaciya ps FU U GL n R zadayetsya yak ps p x s x 1 p displaystyle psi p x s x 1 circ p de p ye reperom u tochci x Yak naslidok dlya mnogovidu isnuyut vektorni polya sho utvoryuyut bazis dotichnih prostoriv u vsih tochkah yaksho i tilki yaksho dlya rozsharuvannya reperiv M isnuye globalnij peretin Oskilki dotichne rozsharuvannya M ye trivialnim nad koordinatnimi okolami M to i rozsharuvannya reperiv ye nad nimi trivialnimi Dlya koordinatnogo okolu U iz koordinatami x1 xn koordinatni vektorni polya x 1 x n displaystyle left frac partial partial x 1 ldots frac partial partial x n right zadayut gladkij reper na U Tavtologichna forma Rozsharuvannya reperiv mnogovidu M ye okremim vipadkom golovnih rozsharuvan i jogo geometriya ye fundamentalno pov yazana iz geometriyeyu M Cej zv yazok mozhna opisati za dopomogoyu vektoroznachnoyi 1 formi yaka nazivayetsya tavtologichnoyu 1 formoyu Nehaj x ye tochkoyu mnogovida M i p reperom u tochci x tobto p R n T x M displaystyle p mathbf R n to T x M ye linijnim izomorfizmom Rn i dotichnogo prostoru M u tochci x Tavtologichna forma na FM ye Rn znachnoyu 1 formoyu 8 zadanoyu yak 8 p 3 p 1 d p 3 displaystyle theta p xi p 1 mathrm d pi xi de 3 ye dotichnim vektorom do FM u tochci x p vidobrazhennya p 1 TxM Rn ye obernenim do vidobrazhennya u oznachenni repera a dp ye diferencialom proyekciyi p FM M Dana forma ye gorizontalnoyu tobto yiyi znachennya ye nulovim na vektorah dotichnih do shariv p i takozh R g 8 g 1 8 displaystyle R g theta g 1 theta de Rg ye vidobrazhennya pravoyi diyi elementa g GL n R Gorizontalni formi sho zadovolnyayut cyu rivnist nazivayutsya bazovimi abo tenzornimi formami na FM Taki formi perebuvayut u biyektivnij vidpovidnosti iz TM znachnimi 1 formami na M i u biyektivnij vidpovidnosti iz gladkimi vidobrazhennyami rozsharuvan TM TM nad M U cij ostannij vidpovidnosti 8 ye vidpovidnikom totozhnogo vidobrazhennya na TM Ortonormalne rozsharuvannya reperivYaksho na vektornomu rozsharuvanni E zadano rimanova metrika rozsharuvannya to kozhen shar Ex ye ne lishe vektornim prostorom a na nomu zadanij takozh skalyarnij dobutok Todi mozhna rozglyadati mnozhinu vsih mnozhina vsih ortonormalnih reperiv u Ex Ortonormalnim reperom dlya Ex ye vporyadkovanij ortonormalnij bazis dlya Ex abo ekvivalentno linijna izometriya p R k E x displaystyle p mathbf R k to E x de na Rk zadano standartnij skalyarnij dobutok Ortogonalna grupa O k diye vilno i tranzitivno na mnozhini vsih ortonormalnih reperiv Zagalnim prostorom ortonormalnogo rozsharuvannya reperiv dlya rozsharuvannya E poznachayetsya FO E ye mnozhina vsih ortonormalnih reperiv u kozhnij tochci x bazovogo prostoru X Ortonormalne rozsharuvannya reperiv rangu k dlya rimanovogo vektornogo rozsharuvannya E X ye golovnim O k rozsharuvannyam nad X Znovu zh vsi pobudovi mozhna rozglyadati takozh u kategoriyi gladkih mnogovidiv Yaksho vektorne rozsharuvannya E ye oriyentovnim todi mozhna takozh rozglyanuti oriyentovne ortonormalne rozsharuvannya reperiv dlya E sho poznachayetsya FSO E i ye golovnim SO k rozsharuvannyam vsih dodatno oriyentovanih ortonormalnih reperiv Yaksho M ye n vimirnim rimanovim mnogovidom to ortonormalne rozsharuvannya reperiv M poznachayetsya FOM abo O M i ye za oznachennyam ortonormalnim rozsharuvannyam reperiv asocijovane iz dotichnim rozsharuvannyam M iz vidpovidnoyu rimanovoyu metrikoyu Yaksho M ye oriyentovnim to podibno dayetsya oznachennya oriyentovnogo ortonormalnogo rozsharuvannya reperiv FSOM Dlya rimanovogo vektornogo rozsharuvannya E ortonormalne rozsharuvannya reperiv ye golovnim O k pidrozsharuvannyam zagalnogo linijnogo rozsharuvannya reperiv Inshimi slovami vklyuchennya i F O E F G L E displaystyle i mathrm F mathrm O E to mathrm F mathrm GL E ye golovnim vidobrazhennyam rozsharuvannya G strukturiYaksho na gladkomu mnogovidi M zadana deyaka dodatkova struktura chasto vinikaye potreba rozglyadati pidrozsharuvannya rozsharuvannya reperiv M yake uzgodzhuyetsya iz ciyeyu strukturoyu Napriklad yaksho M ye rimaniv mnogovid to prirodno vinikaye ponyattya ortonormalnogo rozsharuvannya reperiv M Zagalom yaksho M ye gladkim n mnogovidom i G ye pidgrupoyu Li grupi GL n R to G strukturoyu na M nazivayetsya golovne G rozsharuvannya FG M nad M iz G uzgodzhenim vidobrazhennyam rozsharuvan F G M F G L M displaystyle mathrm F G M to mathrm F mathrm GL M nad M Prikladami takih struktur ye Rimanova metrika na M porodzhuye O n strukturu na M Dlya oriyentovnogo mnogovidu isnuye oriyentovne rozsharuvannya reperiv yake ye GL n R strukturoyu na M Forma ob yemu na M zadaye SL n R strukturu na M Na 2n vimirnomu simplektichnomu mnogovidi isnuye naturalna Sp 2n R struktura Na 2n vimirnomu kompleksnomu abo isnuye naturalna GL n C struktura U bagatoh iz cih vipadkiv G struktura na M odnoznachno viznachaye vidpovidnu strukturu na M Napriklad SL n R struktura na M viznachaye vidpovidnu formu ob yemu na M Prote v deyakih vipadkah zokrema dlya simplektichnih i kompleksnih mnogovidiv neobhidni dodatkovi umovi integrovnosti Sp 2n R struktura na M odnoznachno zadaye nevirodzhenu 2 formu na M ale dlya togo shob M buv simplektichnim mnogovidom cya 2 forma maye buti zamknutoyu Div takozhVektorne rozsharuvannya Golovne rozsharuvannya Diferencijovnij mnogovid Lokalno trivialne rozsharuvannya Reper matematika LiteraturaLuis A Cordero C T J Dodson Manuel de Leon 1988 Differential Geometry of Frame Bundles Mathematics and Its Applications t 47 Springer Netherlands ISBN 9789401070621 Kobayashi Shoshichi Nomizu Katsumi 1996 Foundations of Differential Geometry t Vol 1 vid New Wiley Interscience ISBN 0 471 15733 3 Kolar Ivan Michor Peter Slovak Jan 1993 PDF Springer Verlag arhiv originalu PDF za 30 bereznya 2017 procitovano 2 serpnya 2008 Sternberg S 1983 Lectures on Differential Geometry vid 2nd ed New York Chelsea Publishing Co ISBN 0 8218 1385 4