Теорія про́стору масшта́бів (англ. scale-space theory) — це основа для багатомасштабного подання сигналів, розроблена спільнотами комп'ютерного бачення, обробки зображень та обробки сигналів з доповняльними мотивами з фізики та біологічного бачення. Це формальна теорія для роботи зі структурами зображень на різних [en] шляхом подавання зображення як однопараметрового сімейства згладжених зображень, масштабопросторо́вого подання́ (англ. scale-space representation), параметрованого розміром ядра [en], яке використовують для пригнічування дрібномасштабних структур. Параметр у цьому сімействі називають параметром масштабу (англ. scale parameter) з інтерпретацією, що у просторі масштабів структури зображення просторового розміру менше за приблизно було значною мірою згладжено на масштабі .
Основним типом простору масштабів є лінійний (гауссів) простір масштабів, який має широку застосовність, а також привабливу властивість можливості виведення з невеликого набору масштабопросторових аксіом. Відповідна масштабопросторова система охоплює теорію операторів гауссових похідних, які можливо використовувати як основу для вираження великого класу зорових операцій для комп'ютеризованих систем обробки зорової інформації. Ця система також дозволяє робити зорові операції масштабоінваріантними, що необхідно для роботи з варіаціями розміру, які можуть траплятися в даних зображень, оскільки реальні об'єкти можуть мати різні розміри, та й відстань між об'єктом і камерою може бути невідомою й може змінюватися залежно від обставин.
Визначення
Поняття простору масштабів застосовують до сигналів довільної кількості змінних. Найпоширеніший випадок у літературі стосується двовимірних зображень, що й подано тут. Для заданого зображення його лінійне (гауссове) масштабопросторове подання — це сімейство похідних сигналів
, визначене згорткою
таким двовимірним гауссовим ядром
що
де крапка з комою в аргументі означає, що згортка виконується лише над змінними
, тоді як параметр масштабу
після крапки з комою просто вказує, який рівень масштабу визначають. Це визначення
працює для континууму масштабів
, але зазвичай розглядають лише скінченний дискретний набір рівнів у масштабопросторовому поданні.
Параметр масштабу — це дисперсія гауссового фільтра, і в граничному випадку для
фільтр
стає імпульсною функцією, так що
тобто масштабопросторове подання на рівні масштабу
це саме зображення
. Зі збільшенням
,
стає результатом згладжування
все більшим і більшим фільтром, таким чином видаляючи все більше деталей, які містить зображення. Оскільки стандартним відхиленням фільтра є
, значно менші за це значення деталі значною мірою видаляються із зображення за параметра масштабу
, див. графічні ілюстрації в наступному рисунку та в .
- Масштабопросторове подання
в масштабі
, що відповідає первинному зображенню
- Масштабопросторове подання
в масштабі
- Масштабопросторове подання
в масштабі
- Масштабопросторове подання
в масштабі
- Масштабопросторове подання
в масштабі
- Масштабопросторове подання
в масштабі
Чому саме гауссів фільтр?
При стиканні із завданням створення багатомасштабного подання можна запитати: чи можливо використовувати для створення простору масштабів будь-який фільтр g на кшталт фільтру низьких частот із параметром t, який визначає його ширину? Відповідь — ні, оскільки дуже важливо, щоби згладжувальний фільтр не вносив нових паразитних структур на грубих масштабах, які не відповідають спрощенням відповідних структур у тонших масштабах. У літературі з простору масштабів було висловлено низку різних способів сформулювати цей критерій точними математичними термінами.
Висновок з кількох різних поданих аксіоматичних виведень полягає в тому, що гауссів простір масштабів становить канонічний спосіб породження лінійного простору масштабів, заснований на істотній вимозі, що при переході від тонкого до будь-якого грубішого масштабу не повинні створюватися нові структури. До умов, званих масштабопросторовими аксіомами, які використовували для виведення унікальності гауссового ядра, належать [en], [en], напівгрупова структура, непосилення локальних екстремумів, масштабова та [en]. У працях цю унікальність, заявлену в аргументах на основі інваріантності щодо масштабу, піддають критиці, й пропонують альтернативні самоподібні масштабопросторові ядра. Гауссове ядро, проте, є унікальним вибором відповідно до масштабопросторової аксіоматики на основі причинності або непосилення локальних екстремумів.
Альтернативне визначення
Еквівалентно, масштабопросторове сімейство можливо визначити як розв'язок рівняння дифузії (наприклад, у термінах рівняння теплопровідності),
з початковою умовою . Це формулювання масштабопросторового подання L означає, що можливо інтерпретувати значення яскравості зображення f як «розподіл температури» в площині зображення, і що процес, який породжує масштабопросторове подання як функцію від t, відповідає дифузії тепла в площині зображення за час t (за припущення, що теплопровідність матеріалу дорівнює довільно обраній сталій ½). Хоча цей зв'язок може здатися поверховим читачеві, не знайомому з диференціальними рівняннями, насправді дійсно основне масштабопросторове формулювання в термінах непосилення локальних екстремумів виражається через умову знаку на частинні похідні в 2+1-вимірному об'ємі, породженому простором масштабів, відтак у рамках диференціальних рівнянь з частинними похідними. Крім того, детальний аналіз дискретного випадку показує, що рівняння дифузії забезпечує об'єднувальний зв'язок між безперервним і дискретним просторами масштабів, що також узагальнюється на нелінійні простори масштабів, наприклад, із застосуванням анізотропної дифузії. Отже, можна сказати, що основним способом породження простору масштабів є рівняння дифузії, і що гауссове ядро виникає як функція Гріна цього конкретного диференціального рівняння в частинних похідних.
Мотивації
Мотивація для породження масштабопросторового подання заданого набору даних походить від базового спостереження, що об'єкти реального світу складаються з різних структур на різних [en]. Це означає, що об'єкти реального світу, на противагу до ідеалізованих математичних об'єктів, таких як точки або прямі, можуть виглядати по-різному залежно від масштабу спостереження. Наприклад, поняття «дерево» доречне в масштабі метрів, тоді як такі поняття, як листя та молекули, доречніші в тонших масштабах. Для системи комп'ютерного бачення, яка аналізує невідому сцену, немає способу знати апріорі, які [en] підходять для опису цікавих структур у даних зображення. Отже, єдиним розумним підходом є розглядати описи в кількох масштабах, щоб мати можливість вловлювати невідомі варіації масштабу, які можуть мати місце. У граничному випадку масштабопросторове подання розглядає подання на всіх масштабах.
Інша мотивація концепції простору масштабів походить від процесу виконання фізичних вимірювань на реальних даних. Щоби виділяти будь-яку інформацію з процесу вимірювання, до даних необхідно застосовувати оператори нескінченно малого розміру. В багатьох галузях інформатики та прикладної математики розмір оператора вимірювання при теоретичному моделюванні задачі не враховується. З іншого боку, масштабопросторова теорія явним чином включає потребу в не нескінченно малому розмірі операторів зображення як невід'ємній частини будь-якого вимірювання, а також будь-якої іншої операції, яка залежить від вимірювання в реальному світі.
Існує тісний зв'язок між масштабопросторовою теорією та біологічним баченням. Багато масштабопросторових операцій демонструють високий ступінь подібності з профілями рецептивних полів, записаними на сітківці й перших етапах зорової кори ссавців. У цьому відношенні систему простору масштабів можливо розглядати як теоретично обґрунтовану парадигму для попередньої обробки зорової інформації, яку до того ж було ретельно перевірено алгоритмами та експериментами.
Гауссові похідні
На будь-якому масштабі в просторі масштабів ми можемо застосовувати до масштабопросторового подання оператори локальних похідних:
Через комутативну властивість між оператором похідної та оператором гауссового згладжування такі масштабопросторові похідні (англ. scale-space derivatives) можливо еквівалентно обчислювати шляхом згортання первинного зображення з операторами похідних гауссіанів. З цієї причини їх часто також називають гауссовими похідними (англ. Gaussian derivatives):
Унікальність операторів гауссових похідних як локальних операцій, виведених із масштабопросторового подання, можливо отримати аналогічними аксіоматичними виведеннями, які використовують для виведення унікальності гауссового ядра для масштабопросторового згладжування.
Зорова попередня обробка
Ці оператори гауссових похідних, своєю чергою, можливо об'єднувати за допомогою лінійних або нелінійних операторів у великий спектр різних типів виявлячів ознак, які в багатьох випадках можливо добре моделювати за допомогою диференціальної геометрії. Зокрема, інваріантність (або, точніше, коваріантність) до локальних геометричних перетворень, таких як обертання або локальні афінні перетворення, можливо отримати шляхом розгляду диференціальних інваріантів за відповідного класу перетворень або, як варіант, шляхом унормовування операторів гауссових похідних на локально визначену систему координат, визначену, наприклад, з бажаного спрямування в області зображення, або шляхом застосування бажаного локального афінного перетворення до локального фрагмента зображення (докладніше див. у статті про афінне пристосовування форми).
Коли оператори гауссових похідних та диференціальні інваріанти використовують таким чином як виявлячі базових ознак у кількох масштабах, ці незавершені перші етапи зорової обробки часто називають зоровою попередньою обробкою (англ. visual front-end). Цю загальну систему застосовували до широкого спектру задач комп'ютерного бачення, включно з виявлянням та класифікуванням ознак, сегментуванням та зіставлянням зображень, оцінюванням руху, обчисленням сигналів про форму, та [en]. Набір операторів гауссових похідних до певного порядку часто називають N-струменем, він становить базовий тип ознак масштабопросторової системи.
Приклади виявлячів
Дотримуючись ідеї вираження зорових операцій у термінах диференціальних інваріантів, обчислюваних на кількох масштабах із застосуванням операторів гауссових похідних, ми можемо виразити виявляч контурів із набору точок, який задовольняє вимогу, щоби величина градієнта
набувала локального максимуму в напрямку градієнта
Шляхом диференціальногеометричних розробок можливо показати, що цей диференціальний виявляч контурів можливо еквівалентно виразити з перетинів нуля диференціальним інваріантом другого порядку
які задовольняють таку умові знаку на диференціальному інваріанті третього порядку:
Аналогічно, багатомасштабні виявлячі плям на будь-якому заданому фіксованому масштабі можливо отримати з локальних максимумів та мінімумів або оператора Лапласа (що також називають лапласіаном гауссіана)
Аналогічним чином виявлячі кутів та виявлячі хребтів і долин можливо виразити як локальні максимуми, мінімуми або перетини нуля багатомасштабних диференціальних інваріантів, визначених із гауссових похідних. Алгебричні вирази для операторів виявляння кутів і хребтів, проте, є дещо складнішими, й читача відсилають по додаткові відомості до статей про виявляння кутів і хребтів.
Масштабопросторові операції також часто використовують для вираження грубо—точних методів (англ. coarse-to-fine methods), зокрема для таких завдань, як зіставляння та багатомасштабне сегментування зображень.
Обирання масштабу
Подана на даний момент теорія описує добре обґрунтовану систему для подавання структур зображень у кількох масштабах. Проте в багатьох випадках також необхідно обирати локально доречні масштаби для подальшого аналізу. Така потреба в обиранні масштабу (англ. scale selection) постає з двох основних причин: (i) об'єкти реального світу можуть мати різний розмір, і цей розмір може бути невідомим системі бачення, та (ii) відстань між об'єктом та камерою може змінюватися, й ця інформація про відстань також може бути невідомою апріорно. Дуже корисною властивістю масштабопросторового подання є те, що подання зображень можливо робити інваріантними до масштабів шляхом автоматичного обирання локального масштабу на основі локальних максимумів (або мінімумів) над масштабами масштабонормованих похідних
де — параметр, пов'язаний з розмірністю ознаки зображення. Цей алгебричний вираз для операторів масштабонормованих гауссових похідних походить із введення
-нормованих похідних відповідно до
і
Може бути теоретично показано, що модуль обирання масштабу, який працює за цим принципом, задовольнятиме такій властивості коваріантності щодо масштабу (англ. scale covariance property): якщо для певного типу ознаки зображення передбачається локальний максимум у певному зображенні на певному масштабі , то за масштабування зображення коефіцієнтом масштабу
цей локальний максимум над масштабами у зміненому зображенні зміниться до рівня масштабу
.
Масштабоінваріантне виявляння ознак
Дотримуючись цього підходу гамма-нормованих похідних, можливо показати, що можливо виразити різні типи масштабопристосованих та масштабоінваріантних виявлячів ознак для таких завдань як виявляння плям, кутів, хребтів, контурів та просторово-часових особливих точок (докладний опис формулювання цих масштабоінваріантних виявлячів ознак див. у конкретних статтях на ці теми). Крім того, рівні масштабу, отримувані автоматичним обиранням, можливо використовувати, щоби визначати особливі області для подальшого Афінне пристосовування форми для отримання афінноінваріантних особливих точок, або для визначення рівнів масштабу для обчислення пов'язаних [en], таких як локально масштабопристосовані N-струмені.
Нещодавні праці показали, що таким чином можливо виконувати й складніші операції на кшталт масштабонезалежного [en], обчислюючи локальні описувачі зображення (N-струмені чи локальні гістограми спрямування градієнтів) у масштабопристосованих особливих точках, отриманих із масштабопросторових екстремумів нормованого оператора Лапласа (див. також масштабоінваріантне ознакове перетворення) або визначника матриці Гессе (див. також прискорені стійкі ознаки); див. також статтю Scholarpedia про масштабоінваріантне ознакове перетворення про загальніший погляд на підходи до розпізнавання об'єктів на основі відгуків рецептивних полів у термінах операторів гауссових похідних або їхніх наближень.
Пов'язані багатомасштабні подання
Піраміда зображення — це дискретне подання, в якому простір масштабів дискретизують як у просторі, так і в масштабі. Для масштабоінваріантності коефіцієнти масштабу слід вибирати експоненційно, наприклад, як цілі степені 2 або √2. За правильної побудови, відношення частот дискретизації у просторі та масштабі залишають сталим, тоді імпульсний відгук ідентичний на всіх рівнях піраміди. Існують швидкі, Ο(N), алгоритми для обчислювання масштабоінваріантної піраміди зображення, в якій зображення або сигнал багаторазово згладжується, і відтак субдискретизується. Значення для простору масштабів між зразками в піраміді можливо легко оцінювати, застосовуючи інтерполяцію в межах масштабів і між ними, й уможливлюючи оцінки масштабу та положення з екстрароздільністю.
У масштабопросторовому поданні існування безперервного параметра масштабу дозволяє відстежувати перетини нуля над масштабами, що дає так звану глибоку структуру (англ. deep structure). Для ознак, визначених як [en] диференціальними інваріантами, теорема про неявну функцію безпосередньо визначає траєкторії крізь масштаби, і на тих масштабах, де відбуваються розгалуження, локальну поведінку можливо моделювати за допомогою [en].
Розширення теорії лінійного простору масштабів стосуються формулювання нелінійних масштабопросторових концепцій, краще пристосованих до конкретних цілей. Ці (англ. non-linear scale-spaces) часто починаються з еквівалентного дифузійного формулювання концепції простору масштабів, яке згодом розширюють нелінійним чином. Таким чином було сформульовано велику кількість еволюційних рівнянь, умотивованих різними специфічними вимогами (додаткову інформацію див. у вищезгаданій літературі). Проте слід зазначити, що не всі ці нелінійні простори масштабів задовольняють подібним «приємним» теоретичним вимогам, як і концепція лінійного гауссового простору масштабів. Тож іноді можуть виникати несподівані артефакти, і слід бути дуже обережними, щоби не використовувати термін «масштабопросторове» для взагалі будь-якого типу однопараметрових сімейств зображень.
Розширення першого порядку ізотропного гауссового простору масштабів забезпечує афінний (гауссів) простір масштабів. Один із мотивів цього розширення витікає із загальної потреби в обчисленні описувачів зображень для об'єктів реального світу, які розглядають за . Щоб обробляти такі нелінійні деформації локально, часткової інваріантності (або, правильніше, [en]) до локальних [en] може бути досягнуто шляхом розгляду афінних гауссових ядер, форми яких визначаються локальною структурою зображення; теорію та алгоритми див. у статті про афінне пристосовування форми. Справді, цей афінний простір масштабів також можливо виразити з неізотропного розширення лінійного (ізотропного) рівняння дифузії, все ще перебуваючи в класі лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Існує загальніше розширення гауссової масштабопросторової моделі на афінні та просторово-часові простори масштабів. На додачу до змінюваності над масштабами, для обробки яких було розроблено первинну масштабопросторову теорію, ця узагальнена масштабопросторова теорія (англ. generalized scale-space theory) охоплює також й інші типи змінюваності, викликанні геометричними перетвореннями в процесі формування зображення, включно зі змінюваністю в напрямку огляду, наближуваною локальними афінними перетвореннями, та відносним рухом об'єктів світу та спостерігача, наближуваним локальними перетвореннями Галілея. Ця узагальнена масштабопросторова теорія веде до передбачень щодо профілів рецептивних полів, які мають добре якісне узгодження з профілями рецептивних полів, вимірюваними за допомогою записів нейронів у біологічному зорі.
Існують тісні взаємозв'язки між масштабопросторовою та вейвлетною теоріями, хоч ці два поняття багатомасштабного подання й було розроблено з дещо різних посилок. Була також робота й над іншими багатомасштабними підходами, такими як піраміди та різноманітні інші ядра, які не використовують або не вимагають тих же вимог, що й справжні масштабопросторові описи.
Відношення до біологічного зору та слуху
Існують цікаві зв'язки між масштабопросторовим поданням та біологічним зором і слухом. Нейрофізіологічні дослідження біологічного зору показали, що існують профілі рецептивних полів у сітківці й зоровій корі ссавців, які можливо добре моделювати лінійними операторами гауссових похідних, у деяких випадках також доповненими неізотропною афінною масштабопросторовою моделлю, просторово-часовою масштабопросторовою моделлю, та/або нелінійними комбінаціями таких лінійних операторів.
Стосовно біологічного слуху, існують профілі рецептивних полів у [en] та [en], які можливо добре моделювати спектрально-часовими рецептивними полями, які можливо добре моделювати гауссовими похідними над логарифмічними частотами та віконними перетвореннями Фур'є над часом, де віконні функції є часовими масштабопросторовими ядрами.
Глибоке навчання та простір масштабів
У сфері класичного комп'ютерного зору масштабопросторова теорія зарекомендувала себе як теоретична основа для попередньої зорової обробки, при цьому гауссові похідні становлять канонічну модель для першого шару рецептивних полів. З появою глибокого навчання також розпочалася робота над використанням гауссових похідних або гауссових ядер як загальної основи для рецептивних полів у глибоких мережах. Використовуючи перетворювальні властивості гауссових похідних та гауссових ядер при масштабувальних перетвореннях, можливо отримати масштабову коваріантність/еквіваріантність та масштабоінваріантність глибокої мережі для обробки структур зображення в різних масштабах теоретично обґрунтованим чином. Також було розроблено підходи для отримання масштабової коваріантності/еквіваріантності та масштабоінваріантності за допомогою навчених фільтрів у поєднанні з декількома масштабовими каналами. Зокрема, використовуючи поняття масштабової коваріантності/еквіваріантності та масштабоінваріантності, можливо забезпечувати надійне функціювання глибоких мереж на масштабах, не охоплених тренувальними даними, таким чином забезпечуючи масштабове узагальнювання.
Нюанси втілювання
При втілюванні масштабопросторового згладжування на практиці існує низка різних підходів, які можливо застосовувати в термінах безперервного або дискретного гауссового згладжування, втілення в області Фур'є, в термінах пірамід на основі біноміальних фільтрів, що наближують гауссів, або з використанням рекурсивних фільтрів. Докладніше це висвітлено в окремій статті про Втілення простору масштабів.
Див. також
Примітки
- Ijima, T. "Basic theory on normalization of pattern (in case of typical one-dimensional pattern)". Bull. Electrotech. Lab. 26, 368– 388, 1962. (яп.)
- Witkin, A. P. "Scale-space filtering", Proc. 8th Int. Joint Conf. Art. Intell., Karlsruhe, Germany,1019–1022, 1983. (англ.)
- Koenderink, Jan "The structure of images", Biological Cybernetics, 50:363–370, 1984 (англ.)
- Lindeberg, T., Scale-Space Theory in Computer Vision, Kluwer Academic Publishers, 1994, (англ.)
- T. Lindeberg (1994). Scale-space theory: A basic tool for analysing structures at different scales. Journal of Applied Statistics (Supplement on Advances in Applied Statistics: Statistics and Images: 2). Т. 21, № 2. с. 224—270. doi:10.1080/757582976. (англ.)
- Florack, Luc, Image Structure, Kluwer Academic Publishers, 1997. (англ.)
- Sporring, Jon et al. (Eds), Gaussian Scale-Space Theory, Kluwer Academic Publishers, 1997. [ 2006-02-11 у Wayback Machine.] (англ.)
- ter Haar Romeny, Bart M. (2008). Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis: Multi-scale Computer Vision Theory and Applications, written in Mathematica. Springer Science & Business Media. ISBN . (англ.)
- Lindeberg, Tony (2008). Scale-space. У Benjamin Wah (ред.). Encyclopedia of Computer Science and Engineering. Т. IV. John Wiley and Sons. с. 2495—2504. doi:10.1002/9780470050118.ecse609. ISBN . (англ.)
- T. Lindeberg (2014) "Scale selection", Computer Vision: A Reference Guide, (K. Ikeuchi, Editor), Springer, pages 701–713. (англ.)
- Graphical illustration of basic ideas of scale-space representation at http://www.csc.kth.se/~tony/cern-review/cern-html/node2.html (англ.)
- J. Babaud, A. P. Witkin, M. Baudin, and R. O. Duda, Uniqueness of the Gaussian kernel for scale-space filtering. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 8(1), 26–33, 1986. (англ.)
- A. Yuille, T.A. Poggio: Scaling theorems for zero crossings. IEEE Trans. Pattern Analysis & Machine Intelligence, Vol. PAMI-8, no. 1, pp. 15–25, Jan. 1986. (англ.)
- Lindeberg, T., "Scale-space for discrete signals," IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. PAMI-12, No. 3, March 1990, pp. 234–254. (англ.)
- Pauwels, E., van Gool, L., Fiddelaers, P. and Moons, T.: An extended class of scale-invariant and recursive scale space filters, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 17, No. 7, pp. 691–701, 1995. (англ.)
- Lindeberg, T.: On the axiomatic foundations of linear scale-space: Combining semi-group structure with causality vs. scale invariance. In: J. Sporring et al. (eds.) Gaussian Scale-Space Theory: Proc. PhD School on Scale-Space Theory, (Copenhagen, Denmark, May 1996), pages 75–98, Kluwer Academic Publishers, 1997. (англ.)
- Weickert, J. Linear scale space has first been proposed in Japan. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 10(3):237–252, 1999. (англ.)
- Lindeberg, T. Generalized Gaussian scale-space axiomatics comprising linear scale-space, affine scale-space and spatio-temporal scale-space, Journal of Mathematical Imaging and Vision, 40(1): 36–81, 2011. (англ.)
- Lindeberg, T. Generalized axiomatic scale-space theory, Advances in Imaging and Electron Physics, Elsevier, volume 178, pages 1–96, 2013. (англ.)
- M. Felsberg and G.Sommer "The Monogenic Scale-Space: A Unifying Approach to Phase-Based Image Processing in Scale Space", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 21(1): 5–28, 2004. (англ.)
- R. Duits, L. Florack, J. de Graaf and B. ter Haar Romeny "On the Axioms of Scale Space Theory", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 20(3): 267–298, 2004. (англ.)
- Koenderink, Jan and van Doorn, Ans: "Generic neighbourhood operators", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol 14, pp 597–605, 1992. (англ.)
- Lindeberg, Tony "Feature detection with automatic scale selection", International Journal of Computer Vision, 30, 2, pp 77–116, 1998. (англ.)
- Lindeberg, Tony "Edge detection and ridge detection with automatic scale selection", International Journal of Computer Vision, 30, 2, pp 117–154, 1998. (англ.)
- Lindeberg, Tony, "Principles for automatic scale selection", In: B. Jähne (et al., eds.), Handbook on Computer Vision and Applications, volume 2, pp 239—274, Academic Press, Boston, USA, 1999. (англ.)
- T. Lindeberg "Temporal scale selection in time-causal scale space", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 58(1): 57–101, 2017. (англ.)
- T. Lindeberg "Spatio-temporal scale selection in video data", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 60(4): 525–562, 2018. (англ.)
- T. Lindeberg "Dense scale selection over space, time and space-time", SIAM Journal on Imaging Sciences, 11(1): 407–441, 2018. (англ.)
- T. Lindeberg ``Scale selection properties of generalized scale-space interest point detectors", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 46(2): 177–210, 2013. (англ.)
- T. Lindeberg ``Image matching using generalized scale-space interest points", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 52(1): 3–36, 2015. (англ.)
- Lindeberg, T. and Garding, J.: Shape-adapted smoothing in estimation of 3-D depth cues from affine distortions of local 2-D structure, Image and Vision Computing, 15,~415–434, 1997. (англ.)
- Baumberg, A.: Reliable feature matching across widely separated views, Proc. Computer Vision Pattern Recognition, I:1774–1781, 2000. (англ.)
- Mikolajczyk, K. and Schmid, C.: Scale and affine invariant interest point detectors, Int. Journal of Computer Vision, 60:1, 63 – 86, 2004. (англ.)
- Lowe, D. G., “Distinctive image features from scale-invariant keypoints”, International Journal of Computer Vision, 60, 2, pp. 91–110, 2004. (англ.)
- H. Bay, A. Ess, T. Tuytelaars and L. van Gool, "Speeded-up robust features (SURF)", Computer Vision and Image Understanding, 110:3, 2008, pages 346–359 (англ.)
- Lindeberg, T. “Scale-invariant feature transform”, Scholarpedia, 7(5):10491, 2012. (англ.)
- B. Schiele and J. L. Crowley "Recognition without correspondence using multidimensional receptive field histograms", International Journal of Computer Vision, 36:1, 31–50, 2000 (англ.)
- O. Linde and T. Lindeberg "Object recognition using composed receptive field histograms of higher dimensionality", Proc. International Conference on Pattern Recognition (ICPR'04), Cambridge, U.K. II:1–6, 2004. (англ.)
- O. Linde and T. Lindeberg "Composed complex-cue histograms: An investigation of the information content in receptive field based image descriptors for object recognition", Computer Vision and Image Understanding, 116:4, 538–560, 2012. (англ.)
- Burt, Peter and Adelson, Ted, "The Laplacian Pyramid as a Compact Image Code [ 2022-01-23 у Wayback Machine.]", IEEE Trans. Communications, 9:4, 532–540, 1983. (англ.)
- Crowley, J. L. and Stern, R. M. (1984) Fast Computation of the Difference of Low Pass Transform, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 6:212-222 (англ.)
- Crowley, J. L. and Sanderson, A. C. "Multiple resolution representation and probabilistic matching of 2-D gray-scale shape", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 9(1), pp 113–121, 1987. (англ.)
- T. Lindeberg and L. Bretzner (2003) "Real-time scale selection in hybrid multi-scale representations", Proc. Scale-Space'03, Isle of Skye, Scotland, Springer Lecture Notes in Computer Science, volume 2695, pages 148–163. (англ.)
- T. Lindeberg (1992) Scale-space behaviour of local extrema and blobs, J. of Mathematical Imaging and Vision, 1(1), pages 65—99. (англ.)
- Jan Koenderink and Andrea van Doorn, A. J. (1986), ‘Dynamic shape’,
Biological Cybernetics 53, 383–396. (англ.)
- Damon, J. (1995), ‘Local Morse theory for solutions to the heat equation and Gaussian blurring’, Journal of Differential Equations 115(2), 386–401. (англ.)
- Florack, L., Kuijper, A. The topological structure of scale-space images. Journal of Mathematical Imaging and Vision 12, 65–79, 2000. (англ.)
- ter Haar Romeny, Bart M. (Editor), Geometry-Driven Diffusion in Computer Vision, Kluwer Academic Publishers, 1994. (англ.)
- Weickert, J Anisotropic diffusion in image processing, Teuber Verlag, Stuttgart, 1998. (англ.)
- T. Lindeberg (2016) "Time-causal and time-recursive spatio-temporal receptive fields", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 55(1): 50–88. (англ.)
- Lindeberg, T. A computational theory of visual receptive fields, Biological Cybernetics, 107(6): 589–635, 2013. (англ.)
- Lindeberg, T. Invariance of visual operations at the level of receptive fields, PLoS ONE 8(7):e66990, 2013 (англ.)
- Lindeberg, T. (2021) Normative theory of visual receptive fields, Heliyon 7(1): e05897 (англ.)
- DeAngelis, G. C., Ohzawa, I., and Freeman, R. D., "Receptive-field dynamics in the central visual pathways", Trends Neurosci. 18: 451–458, 1995.[недоступне посилання] (англ.)
- Young, R. A. "The Gaussian derivative model for spatial vision: Retinal mechanisms", Spatial Vision, 2:273–293, 1987. (англ.)
- Young R.A., Lesperance R.M., Meyer W.W. (2001) The Gaussian derivative model for spatio-temporal vision: I. Cortical model. Spat. Vis. 14: 261-319 (англ.)
- Young R.A. Lesperance R.M. (2001) The Gaussian derivative model for spatio-temporal vision: II. Cortical data. Spat. Vis. 14: 321-389 (англ.)
- T. Lindeberg and A. Friberg "Idealized computational models of auditory receptive fields", PLOS ONE, 10(3): e0119032, pages 1–58, 2015 (англ.)
- T. Lindeberg and A. Friberg (2015) ``Scale-space theory for auditory signals", Proc. SSVM 2015: Scale-Space and Variational Methods in Computer Vision, Springer LNCS 9087: 3–15. (англ.)
- Jacobsen, J.J., van Gemert, J., Lou, Z., Smeulders, A.W.M. (2016) Structured receptive fields in CNNs. In: Proceedings of Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 2610–2619. (англ.)
- Worrall, D., Welling, M. (2019) Deep scale-spaces: Equivariance over scale. In: Advances in Neural Information Processing Systems (NeurIPS 2019), pp. 7366–7378. (англ.)
- Lindeberg, T. (2020) Provably scale-covariant continuous hierarchical networks based on scale-normalized differential expressions coupled in cascade. J. Math. Imaging Vis. 62, 120–148. (англ.)
- Lindeberg, T. (2022) Scale-covariant and scale-invariant Gaussian derivative networks. J. Math. Imaging Vis. 64, 223–242. (англ.)
- Pintea, S. L., Tömen, N., Goes, S. F., Loog, M., & van Gemert, J. C. (2021). Resolution learning in deep convolutional networks using scale-space theory. IEEE Transactions on Image Processing, 30, 8342-8353. (англ.)
- Sosnovik, I., Szmaja, M., Smeulders, A. (2020) Scale-equivariant steerable networks. In: International Conference on Learning Representations. (англ.)
- Bekkers, E.J.: B-spline CNNs on Lie groups (2020) In: International Conference on Learning Representations. (англ.)
- Jansson, Y., Lindeberg, T. (2021) Exploring the ability of CNNs to generalise to previously unseen scales over wide scale ranges. In: International Conference on Pattern Recognition (ICPR 2020), pp. 1181–1188. (англ.)
- Sosnovik, I., Moskalev, A., Smeulders, A. (2021) DISCO: Accurate discrete scale convolutions. In: British Machine Vision Conference. (англ.)
- Jansson, Y., Lindeberg, T. (2022) Scale-invariant scale-channel networks: Deep networks that generalise to previously unseen scales, Journal of Mathematical Imaging and Vision, dot:10.1007/s10851-022-01082-2. (англ.)
Література
- Lindeberg, Tony (2008). Scale-space. У Benjamin Wah (ред.). Encyclopedia of Computer Science and Engineering. Т. IV. John Wiley and Sons. с. 2495—2504. doi:10.1002/9780470050118.ecse609. ISBN . (англ.)
- Lindeberg, Tony: Scale-space theory: A basic tool for analysing structures at different scales, in J. of Applied Statistics, 21(2), pp. 224–270, 1994. (довший pdf-посібник з простору масштабів) (англ.)
- Lindeberg, Tony: Scale-space: A framework for handling image structures at multiple scales, Proc. CERN School of Computing, 96(8): 27-38, 1996. (англ.)
- Romeny, Bart ter Haar: Introduction to Scale-Space Theory: Multiscale Geometric Image Analysis, Tutorial VBC ’96, Hamburg, Germany, Fourth International Conference on Visualization in Biomedical Computing. (англ.)
- Florack, Luc, Romeny, Bart ter Haar, Viergever, Max, & Koenderink, Jan: Linear scale space, Journal of Mathematical Imaging and Vision volume 4: 325–351, 1994. (англ.)
- Lindeberg, Tony, "Principles for automatic scale selection", In: B. Jähne (et al., eds.), Handbook on Computer Vision and Applications, volume 2, pp 239—274, Academic Press, Boston, USA, 1999. (посібник із підходів до автоматичного обирання масштабу) (англ.)
- Lindeberg, Tony: "Scale-space theory" In: Encyclopedia of Mathematics, ([en], ed) Kluwer, 1997. (англ.)
- Web archive backup: (pdf) (англ.)
Посилання
- Степені десяти, інтерактивний Java-посібник на вебсайті Molecular Expressions (англ.)
- Ohzawa, Izumi. . Osaka University. Архів оригіналу за 18 лютого 2006. (англ.)
- Виявляння піків в одновимірних даних з використанням масштабопросторового підходу, з ліцензією BSD MATLAB
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teoriya pro storu masshta biv angl scale space theory ce osnova dlya bagatomasshtabnogo podannya signaliv rozroblena spilnotami komp yuternogo bachennya obrobki zobrazhen ta obrobki signaliv z dopovnyalnimi motivami z fiziki ta biologichnogo bachennya Ce formalna teoriya dlya roboti zi strukturami zobrazhen na riznih en shlyahom podavannya zobrazhennya yak odnoparametrovogo simejstva zgladzhenih zobrazhen masshtaboprostoro vogo podannya angl scale space representation parametrovanogo rozmirom yadra en yake vikoristovuyut dlya prignichuvannya dribnomasshtabnih struktur Parametr t displaystyle t u comu simejstvi nazivayut parametrom masshtabu angl scale parameter z interpretaciyeyu sho u prostori masshtabiv strukturi zobrazhennya prostorovogo rozmiru menshe za priblizno t displaystyle sqrt t bulo znachnoyu miroyu zgladzheno na masshtabi t displaystyle t Prostir masshtabivMasshtaboprostorovi aksiomiVtilennya prostoru masshtabivViyavlyannya oznakViyavlyannya konturivViyavlyannya plyamViyavlyannya kutivViyavlyannya hrebtivViyavlyannya osoblivih tochokObirannya masshtabuAfinne pristosovuvannya formiMasshtaboprostorove segmentuvannya Osnovnim tipom prostoru masshtabiv ye linijnij gaussiv prostir masshtabiv yakij maye shiroku zastosovnist a takozh privablivu vlastivist mozhlivosti vivedennya z nevelikogo naboru masshtaboprostorovih aksiom Vidpovidna masshtaboprostorova sistema ohoplyuye teoriyu operatoriv gaussovih pohidnih yaki mozhlivo vikoristovuvati yak osnovu dlya virazhennya velikogo klasu zorovih operacij dlya komp yuterizovanih sistem obrobki zorovoyi informaciyi Cya sistema takozh dozvolyaye robiti zorovi operaciyi masshtaboinvariantnimi sho neobhidno dlya roboti z variaciyami rozmiru yaki mozhut traplyatisya v danih zobrazhen oskilki realni ob yekti mozhut mati rizni rozmiri ta j vidstan mizh ob yektom i kameroyu mozhe buti nevidomoyu j mozhe zminyuvatisya zalezhno vid obstavin ViznachennyaPonyattya prostoru masshtabiv zastosovuyut do signaliv dovilnoyi kilkosti zminnih Najposhirenishij vipadok u literaturi stosuyetsya dvovimirnih zobrazhen sho j podano tut Dlya zadanogo zobrazhennya f x y displaystyle f x y jogo linijne gaussove masshtaboprostorove podannya ce simejstvo pohidnih signaliv L x y t displaystyle L x y t viznachene zgortkoyu f x y displaystyle f x y takim dvovimirnim gaussovim yadrom g x y t 1 2 p t e x 2 y 2 2 t displaystyle g x y t frac 1 2 pi t e x 2 y 2 2t sho L t g t f displaystyle L cdot cdot t g cdot cdot t f cdot cdot de krapka z komoyu v argumenti L displaystyle L oznachaye sho zgortka vikonuyetsya lishe nad zminnimi x y displaystyle x y todi yak parametr masshtabu t displaystyle t pislya krapki z komoyu prosto vkazuye yakij riven masshtabu viznachayut Ce viznachennya L displaystyle L pracyuye dlya kontinuumu masshtabiv t 0 displaystyle t geq 0 ale zazvichaj rozglyadayut lishe skinchennij diskretnij nabir rivniv u masshtaboprostorovomu podanni Parametr masshtabu t s 2 displaystyle t sigma 2 ce dispersiya gaussovogo filtra i v granichnomu vipadku dlya t 0 displaystyle t 0 filtr g displaystyle g staye impulsnoyu funkciyeyu tak sho L x y 0 f x y displaystyle L x y 0 f x y tobto masshtaboprostorove podannya na rivni masshtabu t 0 displaystyle t 0 ce same zobrazhennya f displaystyle f Zi zbilshennyam t displaystyle t L displaystyle L staye rezultatom zgladzhuvannya f displaystyle f vse bilshim i bilshim filtrom takim chinom vidalyayuchi vse bilshe detalej yaki mistit zobrazhennya Oskilki standartnim vidhilennyam filtra ye s t displaystyle sigma sqrt t znachno menshi za ce znachennya detali znachnoyu miroyu vidalyayutsya iz zobrazhennya za parametra masshtabu t displaystyle t div grafichni ilyustraciyi v nastupnomu risunku ta v Masshtaboprostorove podannya L x y t displaystyle L x y t v masshtabi t 0 displaystyle t 0 sho vidpovidaye pervinnomu zobrazhennyu f displaystyle f Masshtaboprostorove podannya L x y t displaystyle L x y t v masshtabi t 1 displaystyle t 1 Masshtaboprostorove podannya L x y t displaystyle L x y t v masshtabi t 4 displaystyle t 4 Masshtaboprostorove podannya L x y t displaystyle L x y t v masshtabi t 16 displaystyle t 16 Masshtaboprostorove podannya L x y t displaystyle L x y t v masshtabi t 64 displaystyle t 64 Masshtaboprostorove podannya L x y t displaystyle L x y t v masshtabi t 256 displaystyle t 256 Chomu same gaussiv filtr Pri stikanni iz zavdannyam stvorennya bagatomasshtabnogo podannya mozhna zapitati chi mozhlivo vikoristovuvati dlya stvorennya prostoru masshtabiv bud yakij filtr g na kshtalt filtru nizkih chastot iz parametrom t yakij viznachaye jogo shirinu Vidpovid ni oskilki duzhe vazhlivo shobi zgladzhuvalnij filtr ne vnosiv novih parazitnih struktur na grubih masshtabah yaki ne vidpovidayut sproshennyam vidpovidnih struktur u tonshih masshtabah U literaturi z prostoru masshtabiv bulo vislovleno nizku riznih sposobiv sformulyuvati cej kriterij tochnimi matematichnimi terminami Visnovok z kilkoh riznih podanih aksiomatichnih viveden polyagaye v tomu sho gaussiv prostir masshtabiv stanovit kanonichnij sposib porodzhennya linijnogo prostoru masshtabiv zasnovanij na istotnij vimozi sho pri perehodi vid tonkogo do bud yakogo grubishogo masshtabu ne povinni stvoryuvatisya novi strukturi Do umov zvanih masshtaboprostorovimi aksiomami yaki vikoristovuvali dlya vivedennya unikalnosti gaussovogo yadra nalezhat en en napivgrupova struktura neposilennya lokalnih ekstremumiv masshtabova ta en U pracyah cyu unikalnist zayavlenu v argumentah na osnovi invariantnosti shodo masshtabu piddayut kritici j proponuyut alternativni samopodibni masshtaboprostorovi yadra Gaussove yadro prote ye unikalnim viborom vidpovidno do masshtaboprostorovoyi aksiomatiki na osnovi prichinnosti abo neposilennya lokalnih ekstremumiv Alternativne viznachennya Ekvivalentno masshtaboprostorove simejstvo mozhlivo viznachiti yak rozv yazok rivnyannya difuziyi napriklad u terminah rivnyannya teploprovidnosti t L 1 2 2 L displaystyle partial t L frac 1 2 nabla 2 L z pochatkovoyu umovoyu L x y 0 f x y displaystyle L x y 0 f x y Ce formulyuvannya masshtaboprostorovogo podannya L oznachaye sho mozhlivo interpretuvati znachennya yaskravosti zobrazhennya f yak rozpodil temperaturi v ploshini zobrazhennya i sho proces yakij porodzhuye masshtaboprostorove podannya yak funkciyu vid t vidpovidaye difuziyi tepla v ploshini zobrazhennya za chas t za pripushennya sho teploprovidnist materialu dorivnyuye dovilno obranij stalij Hocha cej zv yazok mozhe zdatisya poverhovim chitachevi ne znajomomu z diferencialnimi rivnyannyami naspravdi dijsno osnovne masshtaboprostorove formulyuvannya v terminah neposilennya lokalnih ekstremumiv virazhayetsya cherez umovu znaku na chastinni pohidni v 2 1 vimirnomu ob yemi porodzhenomu prostorom masshtabiv vidtak u ramkah diferencialnih rivnyan z chastinnimi pohidnimi Krim togo detalnij analiz diskretnogo vipadku pokazuye sho rivnyannya difuziyi zabezpechuye ob yednuvalnij zv yazok mizh bezperervnim i diskretnim prostorami masshtabiv sho takozh uzagalnyuyetsya na nelinijni prostori masshtabiv napriklad iz zastosuvannyam anizotropnoyi difuziyi Otzhe mozhna skazati sho osnovnim sposobom porodzhennya prostoru masshtabiv ye rivnyannya difuziyi i sho gaussove yadro vinikaye yak funkciya Grina cogo konkretnogo diferencialnogo rivnyannya v chastinnih pohidnih MotivaciyiMotivaciya dlya porodzhennya masshtaboprostorovogo podannya zadanogo naboru danih pohodit vid bazovogo sposterezhennya sho ob yekti realnogo svitu skladayutsya z riznih struktur na riznih en Ce oznachaye sho ob yekti realnogo svitu na protivagu do idealizovanih matematichnih ob yektiv takih yak tochki abo pryami mozhut viglyadati po riznomu zalezhno vid masshtabu sposterezhennya Napriklad ponyattya derevo dorechne v masshtabi metriv todi yak taki ponyattya yak listya ta molekuli dorechnishi v tonshih masshtabah Dlya sistemi komp yuternogo bachennya yaka analizuye nevidomu scenu nemaye sposobu znati apriori yaki en pidhodyat dlya opisu cikavih struktur u danih zobrazhennya Otzhe yedinim rozumnim pidhodom ye rozglyadati opisi v kilkoh masshtabah shob mati mozhlivist vlovlyuvati nevidomi variaciyi masshtabu yaki mozhut mati misce U granichnomu vipadku masshtaboprostorove podannya rozglyadaye podannya na vsih masshtabah Insha motivaciya koncepciyi prostoru masshtabiv pohodit vid procesu vikonannya fizichnih vimiryuvan na realnih danih Shobi vidilyati bud yaku informaciyu z procesu vimiryuvannya do danih neobhidno zastosovuvati operatori neskinchenno malogo rozmiru V bagatoh galuzyah informatiki ta prikladnoyi matematiki rozmir operatora vimiryuvannya pri teoretichnomu modelyuvanni zadachi ne vrahovuyetsya Z inshogo boku masshtaboprostorova teoriya yavnim chinom vklyuchaye potrebu v ne neskinchenno malomu rozmiri operatoriv zobrazhennya yak nevid yemnij chastini bud yakogo vimiryuvannya a takozh bud yakoyi inshoyi operaciyi yaka zalezhit vid vimiryuvannya v realnomu sviti Isnuye tisnij zv yazok mizh masshtaboprostorovoyu teoriyeyu ta biologichnim bachennyam Bagato masshtaboprostorovih operacij demonstruyut visokij stupin podibnosti z profilyami receptivnih poliv zapisanimi na sitkivci j pershih etapah zorovoyi kori ssavciv U comu vidnoshenni sistemu prostoru masshtabiv mozhlivo rozglyadati yak teoretichno obgruntovanu paradigmu dlya poperednoyi obrobki zorovoyi informaciyi yaku do togo zh bulo retelno perevireno algoritmami ta eksperimentami Gaussovi pohidniNa bud yakomu masshtabi v prostori masshtabiv mi mozhemo zastosovuvati do masshtaboprostorovogo podannya operatori lokalnih pohidnih L x m y n x y t x m y n L x y t displaystyle L x m y n x y t left partial x m y n L right x y t Cherez komutativnu vlastivist mizh operatorom pohidnoyi ta operatorom gaussovogo zgladzhuvannya taki masshtaboprostorovi pohidni angl scale space derivatives mozhlivo ekvivalentno obchislyuvati shlyahom zgortannya pervinnogo zobrazhennya z operatorami pohidnih gaussianiv Z ciyeyi prichini yih chasto takozh nazivayut gaussovimi pohidnimi angl Gaussian derivatives L x m y n t x m y n g t f displaystyle L x m y n cdot cdot t partial x m y n g cdot cdot t f cdot cdot Unikalnist operatoriv gaussovih pohidnih yak lokalnih operacij vivedenih iz masshtaboprostorovogo podannya mozhlivo otrimati analogichnimi aksiomatichnimi vivedennyami yaki vikoristovuyut dlya vivedennya unikalnosti gaussovogo yadra dlya masshtaboprostorovogo zgladzhuvannya Zorova poperednya obrobka Ci operatori gaussovih pohidnih svoyeyu chergoyu mozhlivo ob yednuvati za dopomogoyu linijnih abo nelinijnih operatoriv u velikij spektr riznih tipiv viyavlyachiv oznak yaki v bagatoh vipadkah mozhlivo dobre modelyuvati za dopomogoyu diferencialnoyi geometriyi Zokrema invariantnist abo tochnishe kovariantnist do lokalnih geometrichnih peretvoren takih yak obertannya abo lokalni afinni peretvorennya mozhlivo otrimati shlyahom rozglyadu diferencialnih invariantiv za vidpovidnogo klasu peretvoren abo yak variant shlyahom unormovuvannya operatoriv gaussovih pohidnih na lokalno viznachenu sistemu koordinat viznachenu napriklad z bazhanogo spryamuvannya v oblasti zobrazhennya abo shlyahom zastosuvannya bazhanogo lokalnogo afinnogo peretvorennya do lokalnogo fragmenta zobrazhennya dokladnishe div u statti pro afinne pristosovuvannya formi Koli operatori gaussovih pohidnih ta diferencialni invarianti vikoristovuyut takim chinom yak viyavlyachi bazovih oznak u kilkoh masshtabah ci nezaversheni pershi etapi zorovoyi obrobki chasto nazivayut zorovoyu poperednoyu obrobkoyu angl visual front end Cyu zagalnu sistemu zastosovuvali do shirokogo spektru zadach komp yuternogo bachennya vklyuchno z viyavlyannyam ta klasifikuvannyam oznak segmentuvannyam ta zistavlyannyam zobrazhen ocinyuvannyam ruhu obchislennyam signaliv pro formu ta en Nabir operatoriv gaussovih pohidnih do pevnogo poryadku chasto nazivayut N strumenem vin stanovit bazovij tip oznak masshtaboprostorovoyi sistemi Prikladi viyavlyachivDotrimuyuchis ideyi virazhennya zorovih operacij u terminah diferencialnih invariantiv obchislyuvanih na kilkoh masshtabah iz zastosuvannyam operatoriv gaussovih pohidnih mi mozhemo viraziti viyavlyach konturiv iz naboru tochok yakij zadovolnyaye vimogu shobi velichina gradiyenta L v L x 2 L y 2 displaystyle L v sqrt L x 2 L y 2 nabuvala lokalnogo maksimumu v napryamku gradiyenta L L x L y T displaystyle nabla L L x L y T Shlyahom diferencialnogeometrichnih rozrobok mozhlivo pokazati sho cej diferencialnij viyavlyach konturiv mozhlivo ekvivalentno viraziti z peretiniv nulya diferencialnim invariantom drugogo poryadku L v 2 L x 2 L x x 2 L x L y L x y L y 2 L y y 0 displaystyle tilde L v 2 L x 2 L xx 2 L x L y L xy L y 2 L yy 0 yaki zadovolnyayut taku umovi znaku na diferencialnomu invarianti tretogo poryadku L v 3 L x 3 L x x x 3 L x 2 L y L x x y 3 L x L y 2 L x y y L y 3 L y y y lt 0 displaystyle tilde L v 3 L x 3 L xxx 3 L x 2 L y L xxy 3 L x L y 2 L xyy L y 3 L yyy lt 0 Analogichno bagatomasshtabni viyavlyachi plyam na bud yakomu zadanomu fiksovanomu masshtabi mozhlivo otrimati z lokalnih maksimumiv ta minimumiv abo operatora Laplasa sho takozh nazivayut laplasianom gaussiana 2 L L x x L y y displaystyle nabla 2 L L xx L yy abo viznachnika matrici Gesse det H L x y t L x x L y y L x y 2 displaystyle operatorname det HL x y t L xx L yy L xy 2 Analogichnim chinom viyavlyachi kutiv ta viyavlyachi hrebtiv i dolin mozhlivo viraziti yak lokalni maksimumi minimumi abo peretini nulya bagatomasshtabnih diferencialnih invariantiv viznachenih iz gaussovih pohidnih Algebrichni virazi dlya operatoriv viyavlyannya kutiv i hrebtiv prote ye desho skladnishimi j chitacha vidsilayut po dodatkovi vidomosti do statej pro viyavlyannya kutiv i hrebtiv Masshtaboprostorovi operaciyi takozh chasto vikoristovuyut dlya virazhennya grubo tochnih metodiv angl coarse to fine methods zokrema dlya takih zavdan yak zistavlyannya ta bagatomasshtabne segmentuvannya zobrazhen Obirannya masshtabuPodana na danij moment teoriya opisuye dobre obgruntovanu sistemu dlya podavannya struktur zobrazhen u kilkoh masshtabah Prote v bagatoh vipadkah takozh neobhidno obirati lokalno dorechni masshtabi dlya podalshogo analizu Taka potreba v obiranni masshtabu angl scale selection postaye z dvoh osnovnih prichin i ob yekti realnogo svitu mozhut mati riznij rozmir i cej rozmir mozhe buti nevidomim sistemi bachennya ta ii vidstan mizh ob yektom ta kameroyu mozhe zminyuvatisya j cya informaciya pro vidstan takozh mozhe buti nevidomoyu apriorno Duzhe korisnoyu vlastivistyu masshtaboprostorovogo podannya ye te sho podannya zobrazhen mozhlivo robiti invariantnimi do masshtabiv shlyahom avtomatichnogo obirannya lokalnogo masshtabu na osnovi lokalnih maksimumiv abo minimumiv nad masshtabami masshtabonormovanih pohidnih L 3 m h n x y t t m n g 2 L x m y n x y t displaystyle L xi m eta n x y t t m n gamma 2 L x m y n x y t de g 0 1 displaystyle gamma in 0 1 parametr pov yazanij z rozmirnistyu oznaki zobrazhennya Cej algebrichnij viraz dlya operatoriv masshtabonormovanih gaussovih pohidnih pohodit iz vvedennya g displaystyle gamma normovanih pohidnih vidpovidno do 3 t g 2 x displaystyle partial xi t gamma 2 partial x quad i h t g 2 y displaystyle quad partial eta t gamma 2 partial y Mozhe buti teoretichno pokazano sho modul obirannya masshtabu yakij pracyuye za cim principom zadovolnyatime takij vlastivosti kovariantnosti shodo masshtabu angl scale covariance property yaksho dlya pevnogo tipu oznaki zobrazhennya peredbachayetsya lokalnij maksimum u pevnomu zobrazhenni na pevnomu masshtabi t 0 displaystyle t 0 to za masshtabuvannya zobrazhennya koeficiyentom masshtabu s displaystyle s cej lokalnij maksimum nad masshtabami u zminenomu zobrazhenni zminitsya do rivnya masshtabu s 2 t 0 displaystyle s 2 t 0 Masshtaboinvariantne viyavlyannya oznak Div takozh Invariantnist shodo masshtabu Dotrimuyuchis cogo pidhodu gamma normovanih pohidnih mozhlivo pokazati sho mozhlivo viraziti rizni tipi masshtabopristosovanih ta masshtaboinvariantnih viyavlyachiv oznak dlya takih zavdan yak viyavlyannya plyam kutiv hrebtiv konturiv ta prostorovo chasovih osoblivih tochok dokladnij opis formulyuvannya cih masshtaboinvariantnih viyavlyachiv oznak div u konkretnih stattyah na ci temi Krim togo rivni masshtabu otrimuvani avtomatichnim obirannyam mozhlivo vikoristovuvati shobi viznachati osoblivi oblasti dlya podalshogo Afinne pristosovuvannya formi dlya otrimannya afinnoinvariantnih osoblivih tochok abo dlya viznachennya rivniv masshtabu dlya obchislennya pov yazanih en takih yak lokalno masshtabopristosovani N strumeni Neshodavni praci pokazali sho takim chinom mozhlivo vikonuvati j skladnishi operaciyi na kshtalt masshtabonezalezhnogo en obchislyuyuchi lokalni opisuvachi zobrazhennya N strumeni chi lokalni gistogrami spryamuvannya gradiyentiv u masshtabopristosovanih osoblivih tochkah otrimanih iz masshtaboprostorovih ekstremumiv normovanogo operatora Laplasa div takozh masshtaboinvariantne oznakove peretvorennya abo viznachnika matrici Gesse div takozh priskoreni stijki oznaki div takozh stattyu Scholarpedia pro masshtaboinvariantne oznakove peretvorennya pro zagalnishij poglyad na pidhodi do rozpiznavannya ob yektiv na osnovi vidgukiv receptivnih poliv u terminah operatoriv gaussovih pohidnih abo yihnih nablizhen Pov yazani bagatomasshtabni podannyaPiramida zobrazhennya ce diskretne podannya v yakomu prostir masshtabiv diskretizuyut yak u prostori tak i v masshtabi Dlya masshtaboinvariantnosti koeficiyenti masshtabu slid vibirati eksponencijno napriklad yak cili stepeni 2 abo 2 Za pravilnoyi pobudovi vidnoshennya chastot diskretizaciyi u prostori ta masshtabi zalishayut stalim todi impulsnij vidguk identichnij na vsih rivnyah piramidi Isnuyut shvidki O N algoritmi dlya obchislyuvannya masshtaboinvariantnoyi piramidi zobrazhennya v yakij zobrazhennya abo signal bagatorazovo zgladzhuyetsya i vidtak subdiskretizuyetsya Znachennya dlya prostoru masshtabiv mizh zrazkami v piramidi mozhlivo legko ocinyuvati zastosovuyuchi interpolyaciyu v mezhah masshtabiv i mizh nimi j umozhlivlyuyuchi ocinki masshtabu ta polozhennya z ekstrarozdilnistyu U masshtaboprostorovomu podanni isnuvannya bezperervnogo parametra masshtabu dozvolyaye vidstezhuvati peretini nulya nad masshtabami sho daye tak zvanu gliboku strukturu angl deep structure Dlya oznak viznachenih yak en diferencialnimi invariantami teorema pro neyavnu funkciyu bezposeredno viznachaye trayektoriyi kriz masshtabi i na tih masshtabah de vidbuvayutsya rozgaluzhennya lokalnu povedinku mozhlivo modelyuvati za dopomogoyu en Rozshirennya teoriyi linijnogo prostoru masshtabiv stosuyutsya formulyuvannya nelinijnih masshtaboprostorovih koncepcij krashe pristosovanih do konkretnih cilej Ci angl non linear scale spaces chasto pochinayutsya z ekvivalentnogo difuzijnogo formulyuvannya koncepciyi prostoru masshtabiv yake zgodom rozshiryuyut nelinijnim chinom Takim chinom bulo sformulovano veliku kilkist evolyucijnih rivnyan umotivovanih riznimi specifichnimi vimogami dodatkovu informaciyu div u vishezgadanij literaturi Prote slid zaznachiti sho ne vsi ci nelinijni prostori masshtabiv zadovolnyayut podibnim priyemnim teoretichnim vimogam yak i koncepciya linijnogo gaussovogo prostoru masshtabiv Tozh inodi mozhut vinikati nespodivani artefakti i slid buti duzhe oberezhnimi shobi ne vikoristovuvati termin masshtaboprostorove dlya vzagali bud yakogo tipu odnoparametrovih simejstv zobrazhen Rozshirennya pershogo poryadku izotropnogo gaussovogo prostoru masshtabiv zabezpechuye afinnij gaussiv prostir masshtabiv Odin iz motiviv cogo rozshirennya vitikaye iz zagalnoyi potrebi v obchislenni opisuvachiv zobrazhen dlya ob yektiv realnogo svitu yaki rozglyadayut za Shob obroblyati taki nelinijni deformaciyi lokalno chastkovoyi invariantnosti abo pravilnishe en do lokalnih en mozhe buti dosyagnuto shlyahom rozglyadu afinnih gaussovih yader formi yakih viznachayutsya lokalnoyu strukturoyu zobrazhennya teoriyu ta algoritmi div u statti pro afinne pristosovuvannya formi Spravdi cej afinnij prostir masshtabiv takozh mozhlivo viraziti z neizotropnogo rozshirennya linijnogo izotropnogo rivnyannya difuziyi vse she perebuvayuchi v klasi linijnih diferencialnih rivnyan z chastinnimi pohidnimi Isnuye zagalnishe rozshirennya gaussovoyi masshtaboprostorovoyi modeli na afinni ta prostorovo chasovi prostori masshtabiv Na dodachu do zminyuvanosti nad masshtabami dlya obrobki yakih bulo rozrobleno pervinnu masshtaboprostorovu teoriyu cya uzagalnena masshtaboprostorova teoriya angl generalized scale space theory ohoplyuye takozh j inshi tipi zminyuvanosti viklikanni geometrichnimi peretvorennyami v procesi formuvannya zobrazhennya vklyuchno zi zminyuvanistyu v napryamku oglyadu nablizhuvanoyu lokalnimi afinnimi peretvorennyami ta vidnosnim ruhom ob yektiv svitu ta sposterigacha nablizhuvanim lokalnimi peretvorennyami Galileya Cya uzagalnena masshtaboprostorova teoriya vede do peredbachen shodo profiliv receptivnih poliv yaki mayut dobre yakisne uzgodzhennya z profilyami receptivnih poliv vimiryuvanimi za dopomogoyu zapisiv nejroniv u biologichnomu zori Isnuyut tisni vzayemozv yazki mizh masshtaboprostorovoyu ta vejvletnoyu teoriyami hoch ci dva ponyattya bagatomasshtabnogo podannya j bulo rozrobleno z desho riznih posilok Bula takozh robota j nad inshimi bagatomasshtabnimi pidhodami takimi yak piramidi ta riznomanitni inshi yadra yaki ne vikoristovuyut abo ne vimagayut tih zhe vimog sho j spravzhni masshtaboprostorovi opisi Vidnoshennya do biologichnogo zoru ta sluhuIsnuyut cikavi zv yazki mizh masshtaboprostorovim podannyam ta biologichnim zorom i sluhom Nejrofiziologichni doslidzhennya biologichnogo zoru pokazali sho isnuyut profili receptivnih poliv u sitkivci j zorovij kori ssavciv yaki mozhlivo dobre modelyuvati linijnimi operatorami gaussovih pohidnih u deyakih vipadkah takozh dopovnenimi neizotropnoyu afinnoyu masshtaboprostorovoyu modellyu prostorovo chasovoyu masshtaboprostorovoyu modellyu ta abo nelinijnimi kombinaciyami takih linijnih operatoriv Stosovno biologichnogo sluhu isnuyut profili receptivnih poliv u en ta en yaki mozhlivo dobre modelyuvati spektralno chasovimi receptivnimi polyami yaki mozhlivo dobre modelyuvati gaussovimi pohidnimi nad logarifmichnimi chastotami ta vikonnimi peretvorennyami Fur ye nad chasom de vikonni funkciyi ye chasovimi masshtaboprostorovimi yadrami Gliboke navchannya ta prostir masshtabivU sferi klasichnogo komp yuternogo zoru masshtaboprostorova teoriya zarekomenduvala sebe yak teoretichna osnova dlya poperednoyi zorovoyi obrobki pri comu gaussovi pohidni stanovlyat kanonichnu model dlya pershogo sharu receptivnih poliv Z poyavoyu glibokogo navchannya takozh rozpochalasya robota nad vikoristannyam gaussovih pohidnih abo gaussovih yader yak zagalnoyi osnovi dlya receptivnih poliv u glibokih merezhah Vikoristovuyuchi peretvoryuvalni vlastivosti gaussovih pohidnih ta gaussovih yader pri masshtabuvalnih peretvorennyah mozhlivo otrimati masshtabovu kovariantnist ekvivariantnist ta masshtaboinvariantnist glibokoyi merezhi dlya obrobki struktur zobrazhennya v riznih masshtabah teoretichno obgruntovanim chinom Takozh bulo rozrobleno pidhodi dlya otrimannya masshtabovoyi kovariantnosti ekvivariantnosti ta masshtaboinvariantnosti za dopomogoyu navchenih filtriv u poyednanni z dekilkoma masshtabovimi kanalami Zokrema vikoristovuyuchi ponyattya masshtabovoyi kovariantnosti ekvivariantnosti ta masshtaboinvariantnosti mozhlivo zabezpechuvati nadijne funkciyuvannya glibokih merezh na masshtabah ne ohoplenih trenuvalnimi danimi takim chinom zabezpechuyuchi masshtabove uzagalnyuvannya Nyuansi vtilyuvannyaPri vtilyuvanni masshtaboprostorovogo zgladzhuvannya na praktici isnuye nizka riznih pidhodiv yaki mozhlivo zastosovuvati v terminah bezperervnogo abo diskretnogo gaussovogo zgladzhuvannya vtilennya v oblasti Fur ye v terminah piramid na osnovi binomialnih filtriv sho nablizhuyut gaussiv abo z vikoristannyam rekursivnih filtriv Dokladnishe ce visvitleno v okremij statti pro Vtilennya prostoru masshtabiv Div takozhRiznicya gaussianiv Funkciya Gaussa MIP teksturuvannyaPrimitkiIjima T Basic theory on normalization of pattern in case of typical one dimensional pattern Bull Electrotech Lab 26 368 388 1962 yap Witkin A P Scale space filtering Proc 8th Int Joint Conf Art Intell Karlsruhe Germany 1019 1022 1983 angl Koenderink Jan The structure of images Biological Cybernetics 50 363 370 1984 angl Lindeberg T Scale Space Theory in Computer Vision Kluwer Academic Publishers 1994 ISBN 0 7923 9418 6 angl T Lindeberg 1994 Scale space theory A basic tool for analysing structures at different scales Journal of Applied Statistics Supplement on Advances in Applied Statistics Statistics and Images 2 T 21 2 s 224 270 doi 10 1080 757582976 angl Florack Luc Image Structure Kluwer Academic Publishers 1997 angl Sporring Jon et al Eds Gaussian Scale Space Theory Kluwer Academic Publishers 1997 2006 02 11 u Wayback Machine angl ter Haar Romeny Bart M 2008 Front End Vision and Multi Scale Image Analysis Multi scale Computer Vision Theory and Applications written in Mathematica Springer Science amp Business Media ISBN 978 1 4020 8840 7 angl Lindeberg Tony 2008 Scale space U Benjamin Wah red Encyclopedia of Computer Science and Engineering T IV John Wiley and Sons s 2495 2504 doi 10 1002 9780470050118 ecse609 ISBN 978 0470050118 angl T Lindeberg 2014 Scale selection Computer Vision A Reference Guide K Ikeuchi Editor Springer pages 701 713 angl Graphical illustration of basic ideas of scale space representation at http www csc kth se tony cern review cern html node2 html angl J Babaud A P Witkin M Baudin and R O Duda Uniqueness of the Gaussian kernel for scale space filtering IEEE Trans Pattern Anal Machine Intell 8 1 26 33 1986 angl A Yuille T A Poggio Scaling theorems for zero crossings IEEE Trans Pattern Analysis amp Machine Intelligence Vol PAMI 8 no 1 pp 15 25 Jan 1986 angl Lindeberg T Scale space for discrete signals IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence Vol PAMI 12 No 3 March 1990 pp 234 254 angl Pauwels E van Gool L Fiddelaers P and Moons T An extended class of scale invariant and recursive scale space filters IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence Vol 17 No 7 pp 691 701 1995 angl Lindeberg T On the axiomatic foundations of linear scale space Combining semi group structure with causality vs scale invariance In J Sporring et al eds Gaussian Scale Space Theory Proc PhD School on Scale Space Theory Copenhagen Denmark May 1996 pages 75 98 Kluwer Academic Publishers 1997 angl Weickert J Linear scale space has first been proposed in Japan Journal of Mathematical Imaging and Vision 10 3 237 252 1999 angl Lindeberg T Generalized Gaussian scale space axiomatics comprising linear scale space affine scale space and spatio temporal scale space Journal of Mathematical Imaging and Vision 40 1 36 81 2011 angl Lindeberg T Generalized axiomatic scale space theory Advances in Imaging and Electron Physics Elsevier volume 178 pages 1 96 2013 angl M Felsberg and G Sommer The Monogenic Scale Space A Unifying Approach to Phase Based Image Processing in Scale Space Journal of Mathematical Imaging and Vision 21 1 5 28 2004 angl R Duits L Florack J de Graaf and B ter Haar Romeny On the Axioms of Scale Space Theory Journal of Mathematical Imaging and Vision 20 3 267 298 2004 angl Koenderink Jan and van Doorn Ans Generic neighbourhood operators IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence vol 14 pp 597 605 1992 angl Lindeberg Tony Feature detection with automatic scale selection International Journal of Computer Vision 30 2 pp 77 116 1998 angl Lindeberg Tony Edge detection and ridge detection with automatic scale selection International Journal of Computer Vision 30 2 pp 117 154 1998 angl Lindeberg Tony Principles for automatic scale selection In B Jahne et al eds Handbook on Computer Vision and Applications volume 2 pp 239 274 Academic Press Boston USA 1999 angl T Lindeberg Temporal scale selection in time causal scale space Journal of Mathematical Imaging and Vision 58 1 57 101 2017 angl T Lindeberg Spatio temporal scale selection in video data Journal of Mathematical Imaging and Vision 60 4 525 562 2018 angl T Lindeberg Dense scale selection over space time and space time SIAM Journal on Imaging Sciences 11 1 407 441 2018 angl T Lindeberg Scale selection properties of generalized scale space interest point detectors Journal of Mathematical Imaging and Vision 46 2 177 210 2013 angl T Lindeberg Image matching using generalized scale space interest points Journal of Mathematical Imaging and Vision 52 1 3 36 2015 angl Lindeberg T and Garding J Shape adapted smoothing in estimation of 3 D depth cues from affine distortions of local 2 D structure Image and Vision Computing 15 415 434 1997 angl Baumberg A Reliable feature matching across widely separated views Proc Computer Vision Pattern Recognition I 1774 1781 2000 angl Mikolajczyk K and Schmid C Scale and affine invariant interest point detectors Int Journal of Computer Vision 60 1 63 86 2004 angl Lowe D G Distinctive image features from scale invariant keypoints International Journal of Computer Vision 60 2 pp 91 110 2004 angl H Bay A Ess T Tuytelaars and L van Gool Speeded up robust features SURF Computer Vision and Image Understanding 110 3 2008 pages 346 359 angl Lindeberg T Scale invariant feature transform Scholarpedia 7 5 10491 2012 angl B Schiele and J L Crowley Recognition without correspondence using multidimensional receptive field histograms International Journal of Computer Vision 36 1 31 50 2000 angl O Linde and T Lindeberg Object recognition using composed receptive field histograms of higher dimensionality Proc International Conference on Pattern Recognition ICPR 04 Cambridge U K II 1 6 2004 angl O Linde and T Lindeberg Composed complex cue histograms An investigation of the information content in receptive field based image descriptors for object recognition Computer Vision and Image Understanding 116 4 538 560 2012 angl Burt Peter and Adelson Ted The Laplacian Pyramid as a Compact Image Code 2022 01 23 u Wayback Machine IEEE Trans Communications 9 4 532 540 1983 angl Crowley J L and Stern R M 1984 Fast Computation of the Difference of Low Pass Transform IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 6 212 222 angl Crowley J L and Sanderson A C Multiple resolution representation and probabilistic matching of 2 D gray scale shape IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 9 1 pp 113 121 1987 angl T Lindeberg and L Bretzner 2003 Real time scale selection in hybrid multi scale representations Proc Scale Space 03 Isle of Skye Scotland Springer Lecture Notes in Computer Science volume 2695 pages 148 163 angl T Lindeberg 1992 Scale space behaviour of local extrema and blobs J of Mathematical Imaging and Vision 1 1 pages 65 99 angl Jan Koenderink and Andrea van Doorn A J 1986 Dynamic shape Biological Cybernetics 53 383 396 angl Damon J 1995 Local Morse theory for solutions to the heat equation and Gaussian blurring Journal of Differential Equations 115 2 386 401 angl Florack L Kuijper A The topological structure of scale space images Journal of Mathematical Imaging and Vision 12 65 79 2000 angl ter Haar Romeny Bart M Editor Geometry Driven Diffusion in Computer Vision Kluwer Academic Publishers 1994 angl Weickert J Anisotropic diffusion in image processing Teuber Verlag Stuttgart 1998 angl T Lindeberg 2016 Time causal and time recursive spatio temporal receptive fields Journal of Mathematical Imaging and Vision 55 1 50 88 angl Lindeberg T A computational theory of visual receptive fields Biological Cybernetics 107 6 589 635 2013 angl Lindeberg T Invariance of visual operations at the level of receptive fields PLoS ONE 8 7 e66990 2013 angl Lindeberg T 2021 Normative theory of visual receptive fields Heliyon 7 1 e05897 angl DeAngelis G C Ohzawa I and Freeman R D Receptive field dynamics in the central visual pathways Trends Neurosci 18 451 458 1995 nedostupne posilannya angl Young R A The Gaussian derivative model for spatial vision Retinal mechanisms Spatial Vision 2 273 293 1987 angl Young R A Lesperance R M Meyer W W 2001 The Gaussian derivative model for spatio temporal vision I Cortical model Spat Vis 14 261 319 angl Young R A Lesperance R M 2001 The Gaussian derivative model for spatio temporal vision II Cortical data Spat Vis 14 321 389 angl T Lindeberg and A Friberg Idealized computational models of auditory receptive fields PLOS ONE 10 3 e0119032 pages 1 58 2015 angl T Lindeberg and A Friberg 2015 Scale space theory for auditory signals Proc SSVM 2015 Scale Space and Variational Methods in Computer Vision Springer LNCS 9087 3 15 angl Jacobsen J J van Gemert J Lou Z Smeulders A W M 2016 Structured receptive fields in CNNs In Proceedings of Computer Vision and Pattern Recognition pp 2610 2619 angl Worrall D Welling M 2019 Deep scale spaces Equivariance over scale In Advances in Neural Information Processing Systems NeurIPS 2019 pp 7366 7378 angl Lindeberg T 2020 Provably scale covariant continuous hierarchical networks based on scale normalized differential expressions coupled in cascade J Math Imaging Vis 62 120 148 angl Lindeberg T 2022 Scale covariant and scale invariant Gaussian derivative networks J Math Imaging Vis 64 223 242 angl Pintea S L Tomen N Goes S F Loog M amp van Gemert J C 2021 Resolution learning in deep convolutional networks using scale space theory IEEE Transactions on Image Processing 30 8342 8353 angl Sosnovik I Szmaja M Smeulders A 2020 Scale equivariant steerable networks In International Conference on Learning Representations angl Bekkers E J B spline CNNs on Lie groups 2020 In International Conference on Learning Representations angl Jansson Y Lindeberg T 2021 Exploring the ability of CNNs to generalise to previously unseen scales over wide scale ranges In International Conference on Pattern Recognition ICPR 2020 pp 1181 1188 angl Sosnovik I Moskalev A Smeulders A 2021 DISCO Accurate discrete scale convolutions In British Machine Vision Conference angl Jansson Y Lindeberg T 2022 Scale invariant scale channel networks Deep networks that generalise to previously unseen scales Journal of Mathematical Imaging and Vision dot 10 1007 s10851 022 01082 2 angl LiteraturaLindeberg Tony 2008 Scale space U Benjamin Wah red Encyclopedia of Computer Science and Engineering T IV John Wiley and Sons s 2495 2504 doi 10 1002 9780470050118 ecse609 ISBN 978 0470050118 angl Lindeberg Tony Scale space theory A basic tool for analysing structures at different scales in J of Applied Statistics 21 2 pp 224 270 1994 dovshij pdf posibnik z prostoru masshtabiv angl Lindeberg Tony Scale space A framework for handling image structures at multiple scales Proc CERN School of Computing 96 8 27 38 1996 angl Romeny Bart ter Haar Introduction to Scale Space Theory Multiscale Geometric Image Analysis Tutorial VBC 96 Hamburg Germany Fourth International Conference on Visualization in Biomedical Computing angl Florack Luc Romeny Bart ter Haar Viergever Max amp Koenderink Jan Linear scale space Journal of Mathematical Imaging and Vision volume 4 325 351 1994 angl Lindeberg Tony Principles for automatic scale selection In B Jahne et al eds Handbook on Computer Vision and Applications volume 2 pp 239 274 Academic Press Boston USA 1999 posibnik iz pidhodiv do avtomatichnogo obirannya masshtabu angl Lindeberg Tony Scale space theory In Encyclopedia of Mathematics en ed Kluwer 1997 angl Web archive backup pdf angl PosilannyaStepeni desyati interaktivnij Java posibnik na vebsajti Molecular Expressions angl Ohzawa Izumi Osaka University Arhiv originalu za 18 lyutogo 2006 angl Viyavlyannya pikiv v odnovimirnih danih z vikoristannyam masshtaboprostorovogo pidhodu z licenziyeyu BSD MATLAB