Цю статтю написано занадто професійним зі специфічною термінологією, що може бути незрозумілим для більшості читачів. (травень 2022) |
В обробці зображень виявля́ння хребті́в (англ. ridge detection) — це намагання за допомогою програмного забезпечення знаходити в зображенні хребти́ (англ. ridges), визначені як криві, чиї точки є локальними максимумами функції, схожі на географічні хребти.
Для функції N змінних її хребти — це множина кривих, чиї точки є локальними максимумами в N − 1 вимірах. У цьому відношенні поняття точок хребта розширює поняття локального максимуму. Відповідно, поняття доли́н (англ. valleys) для функції можна визначити, замінивши умову локального максимуму умовою локального мінімуму. Об'єднання множин хребтів і множин долин, разом із пов'язаною множиною точок, званою множино́ю сполу́чників (англ. connector set), утворюють зв'язну множину кривих, які розбиваються, перетинаються або зустрічаються в критичних точках функції. Це спільне об'єднання множин називають відносною крити́чною множино́ю (англ. relative critical set) функції.
Множини хребтів, множини долин і відносні критичні множини подають важливу геометричну інформацію, притаманну функції. Певним чином вони забезпечують компактне подання важливих ознак функції, але питання про те, наскільки їх можливо використовувати, щоби визначати глобальні ознаки функції, залишається відкритим. Основна мотивація для створення процедур виявля́ння хребті́в і виявля́ння доли́н походить з [en] та комп'ютерного бачення, і полягає у вловлюванні внутрішностей видовжених об'єктів в області зображення. Пов'язані з хребтами подання в термінах [en] використовували для сегментування зображень. Були також спроби вловлювати форми об'єктів за допомогою графових подань, що відображують хребти, долини та критичні точки в області зображення. Проте такі уявлення можуть бути дуже чутливими до шуму, якщо обчислюються лише в одному масштабі. Оскільки обчислення теорії простору масштабів залучають згортку гауссовим (згладжувальним) ядром, сподівалися, що використання багатомасштабових хребтів, долин та критичних точок у контексті теорії простору масштабів дозволить забезпечувати надійніше подання об'єктів (або форм) у зображенні.
У цьому відношенні хребти та долини можливо розглядати як доповнення до природних особливих точок або точок локальних екстремумів. За належно визначених понять, хребти та долини в (або в якомусь іншому поданні, отриманому з ландшафту яскравості) можуть утворювати масштабоінваріантний кістяк для утворення просторових обмежень на локальний вигляд з низкою якісних подібностей до того, як серединноосьове перетворення Блюма забезпечує для бінарних зображень. У типових застосуваннях описувачі хребтів і долин часто використовують для виявляння доріг на аерофотознімках та для виявляння кровоносних судин на [en] чи тривимірних магнітно-резонансних зображеннях.
Диференціальногеометричне визначення хребтів і долин у фіксованому масштабі на двовимірному зображенні
Нехай позначує двовимірну функцію, і нехай
буде масштабопросторовим поданням
, отриманим згортанням
гауссовою функцією
.
Крім того, нехай та
позначують власні значення матриці Гессе
масштабопросторового подання з перетворенням координат (повертанням), застосованим до операторів локальних напрямних похідних,
де p та q — координати повернутої системи координат.
Можливо показати, що змішана похідна у перетвореній системі координат нульова, якщо ми оберемо
,
.
Тоді формальне диференціальногеометричне визначення хребтів у фіксованому масштабі
може бути виражено як набір точок, які задовольняють
Відповідно, долини в масштабі
— множина точок
В системі координат з напрямком
, паралельним градієнтові зображення,
де
можливо показати, що це визначення хребтів і долин можливо натомість еквівалентно записати як
де
а знак визначає полярність;
для хребтів і
для долин.
Розрахунок хребтів змінного масштабу з двовимірних зображень
Основна проблема поданого вище визначення хребта фіксованого масштабу полягає в тому, що воно може бути дуже чутливим до вибору рівня масштабу. Експерименти показують, що параметр масштабу гауссового ядра попереднього згладжування мусить бути ретельно підлаштовано до ширини хребтової структури в області зображення, щоби виявляч хребтів створював зв'язану криву, яка відображувала би структури в основі зображення. Для розв'язання цієї проблеми за відсутності попередньої інформації було введено поняття масштабопросторових хребтів (англ. scale-space ridges), яке розглядає параметр масштабу як невід'ємну властивість визначення хребта й дозволяє рівням масштабу змінюватися вздовж масштабопросторового хребта. Більше того, концепція масштабопросторового хребта також дозволяє підлаштовувати параметр масштабу до ширини хребтових структур в області зображення автоматично, фактично як наслідок добре сформульованого визначення. У літературі на основі цієї ідеї було запропоновано низку різних підходів.
Нехай позначує міру вираженості хребта (яку буде вказано нижче). Тоді для двовимірного зображення масштабопросторовий гребінь — це множина точок, які задовольняють
де — параметр масштабу в масштабопросторовому поданні. Аналогічно, масштабопросторова долина (англ. scale-space valley) — це множина точок, які задовольняють
Безпосереднім наслідком цього визначення є те, що для двовимірного зображення концепція масштабопросторових хребтів вимітає множину одновимірних кривих у тривимірному просторі масштабів, де параметрові масштабу дозволено змінюватися вздовж масштабопросторового хребта (чи масштабопросторової долини). Описувачем хребта в області зображення тоді буде проєкція цієї тривимірної кривої на двовимірну площину зображення, де інформацію про властивий масштаб у кожній точці хребта можливо використовувати як природну оцінку ширини хребтової структури в області зображення в околі цієї точки.
У літературі пропонують різні міри хребтової вираженості. Коли Ліндеберг (1996, 1998) запровадив термін «масштабопросторовий хребет», він розглядав три міри хребтової вираженості:
- Основна головна кривина
- виражена в термінах
-нормованих похідних через
.
- Квадрат різниці квадратів
-нормованих власних значень
- Квадрат різниці
-нормованих власних значень
Поняття -нормованих похідних тут важливе, оскільки дозволяє алгоритмам виявляння хребтів і долин належно калібруватися. З вимоги, щоби для одновимірного гауссового хребта, вкладеного в два (або три) виміри, масштаб виявляння дорівнював ширині хребтової структури при вимірюванні в одиницях довжини (вимога відповідності між розмірами фільтра виявляння та структурою зображення, на яку він реагує), випливає, що слід обирати
. З цих трьох мір вираженості хребта перша сутність
є мірою вираженості хребта загального призначення з багатьма застосуваннями, такими як виявляння кровоносних судин і виділяння доріг. Проте сутність
використовували в таких застосуваннях як покращення відбитків пальців,[en] та [en] у реальному часі, а також для моделювання локальних статистик зображень для виявляння та відстежування людей у зображеннях та відео.
Існують також й інші тісно пов'язані визначення хребта, які використовують нормовані похідні з неявним припущенням .Проробити ці підходи докладніше. Проте при виявлянні хребтів з
масштаб виявляння буде вдвічі більшим, аніж для
, що призводить до більших викривлень форми та нижчої здатності вловлювати хребти та долини з сусідніми завадними структурами зображення в його області.
Історія
Поняття хребтів і долин у цифрових зображеннях було запроваджено [en] 1983 року та Кроулі стосовно пірамід різниць гауссіанів 1984 року. Застосування хребтових описувачів до аналізу медичних зображень було детально досліджено Пайзером та його співробітниками, давши їхнє поняття M-подань (англ. M-reps). Ліндеберг також посприяв розвитку виявляння хребтів, запровадивши -нормовані похідні та масштабопросторові хребти, визначені з локальної максимізації належним чином нормованої головної кривини матриці Гессе (або інших мір вираженості хребта) над простором та над масштабом. Ці поняття пізніше було розвинуто із застосуванням до виділяння доріг Стегером та ін. та до сегментування кровоносних судин за Франджі та ін., а також для виявлення криволінійних і трубчастих структур Сато та ін. та Крисяном та ін. Огляд кількох класичних визначень хребтів у фіксованому масштабі, включно з відношеннями між ними, було запропоновано Кендерінком та ван Дорном. Огляд методів виділяння судин було запропоновано Кірбасом та Квеком.
Визначення хребтів і долин у N вимірах
У своєму найширшому сенсі поняття хребта узагальнює уявлення про локальний максимум дійсної функції. Точка в області визначення функції
є локальним максимумом цієї функції, якщо існує відстань
, така, що якщо
знаходиться всередині
одиниць від
, то
. Добре відомо, що критичні точки, для яких локальні максимуми є лише одним з їхніх типів, це ізольовані точки в області визначення функції у всіх ситуаціях, окрім найнезвичніших (тобто незагальних випадків).
Розгляньмо деяке послаблення умови для
у всьому околі
до вимоги лише того, щоби вона дотримувалася в
-вимірній підмножині. Імовірно, це послаблення дозволяє множині точок, що задовольняють цей критерій, які ми назвемо хребтом, мати один ступінь свободи, принаймні в загальному випадку. Це означає, що множина точок хребта утворюватиме одновимірне геометричне місце точок, або криву хребта (англ. ridge curve). Зверніть увагу, що вищезазначене можливо видозмінити, узагальнивши це уявлення до локальних мінімумів й отримавши те, що можна було би назвати одновимірними кривими долин.
Наступне визначення хребта відповідає книзі Еберлі, й його можливо розглядати як узагальнення деяких із вищезгаданих. Нехай — відкрита множина, а
гладенька. Нехай
. Нехай
— градієнт
в
, і нехай
— матриця Гессе
функції
в
. Нехай
— це
впорядкованих власних значень
, і нехай
— одиничний власний вектор у власному просторі для
. (Для цього слід виходити з відмінності всі власних значень.)
Точка є точкою на 1-вимірному хребті
, якщо виконуються такі умови:
, і
для
.
Це уточнює поняття, що , обмежена цим конкретним
-вимірним підпростором, має локальний максимум в
.
Це визначення природно узагальнюється на k -вимірний хребет наступним чином: точка є точкою на k-вимірному хребті
, якщо виконуються наступні умови:
, і
для
.
Багато в чому ці визначення природно узагальнюють визначення локального максимуму функції. Властивості гребнів максимальної опуклості (англ. maximal convexity ridges) покладено на тверду математичну основу Деймоном та Міллером. Їхні властивості в однопараметрових сімействах було визначено Келлером.
Максимальномасштабовий хребет
Наступне визначення можливо простежити до Фріча, який цікавився виділянням геометричної інформації про фігури у двовимірних зображеннях у відтінках сірого. Фріч обробляв своє зображення фільтром «серединності» (англ. "medialness"), який давав йому інформацію, аналогічну даним «віддаленості від меж» (англ. "distant to the boundary") у просторі масштабів. Хребти цього зображення, проєктовані на первинне зображення, мали бути аналогічними кістякові форми (наприклад, блюмовій серединній осі) первинного зображення.
Далі наведено визначення максимальномасштабового хребта (англ. maximal scale ridge) функції трьох змінних, однією з яких є параметр «масштаб». Одне, чого ми хочемо дотриматися в цьому визначенні, це якщо — точка на цьому хребті, то значення цієї функції в ній максимальне за виміром масштабу. Нехай
— гладенька диференційована функція
.
— точка на максимальномасштабовому хребті тоді й лише тоді, коли
і
, і
і
.
Взаємозв'язок між виявлянням контурів та виявлянням хребтів
Метою виявляння хребтів зазвичай є вловлювання головної осі симетрії видовженого об'єкта,[] тоді як мета виявляння контурів зазвичай полягає у вловлюванні межі об'єкта. Проте деяка література з виявляння контурів помилково[] відносить поняття хребтів до поняття контурів, що заплутує ситуацію.
З точки зору визначень, між виявлячами контурів та виявлячами хребтів існує тісний зв'язок. З формулюванням не-максимуму, наведеним Кенні, стверджується, що контури визначаються як точки, де величина градієнта набуває локального максимуму в напрямі градієнта. Дотримуючись диференціальногеометричного способу вираження цього визначення, ми можемо у вищезгаданій системі координат стверджувати, що величина градієнта масштабопросторового подання, яка дорівнює похідній за напрямом першого порядку в напрямі
,
, повинна мати свою напрямну похідну першого порядку в напрямі
рівною нулеві
тоді як напрямна похідна другого порядку в напрямі
має бути від'ємною, тобто
.
Записане як явний вираз у термінах локальних частинних похідних ,
…
, це визначення контуру можливо виразити у вигляді кривих, які перетинають нуль, диференціального інваріанта
що задовольняють знакові умові на наступному диференціальному інваріанті
(додаткову інформацію див. у статті про виявляння контурів). Примітно, що отримані таким чином контури є хребтами величини градієнта.
Див. також
Примітки
- Damon, J. (March 1999). Properties of Ridges and Cores in Two-Dimensional Images. J Math Imaging Vis. 10 (2): 163—174. doi:10.1023/A:1008379107611. (англ.)
- Miller, J. Relative Critical Sets in
and Applications to Image Analysis. Ph.D. Dissertation. University of North Carolina. 1998. (англ.)
- T. Lindeberg (2009). . У Benjamin Wah (ред.). Encyclopedia of Computer Science and Engineering. Т. IV. John Wiley and Sons. с. 2495—2504. doi:10.1002/9780470050118.ecse609. ISBN . Архів оригіналу за 15 травня 2022. Процитовано 15 травня 2022. (англ.)
- Lindeberg, T (1994). . Journal of Applied Statistics. 21 (2): 224—270. doi:10.1080/757582976. Архів оригіналу за 15 травня 2022. Процитовано 15 травня 2022. (англ.)
- Lindeberg, T. (1998). Edge detection and ridge detection with automatic scale selection. International Journal of Computer Vision. 30 (2): 117—154. doi:10.1023/A:1008097225773. Ранішу версію подано на конференції IEEE з розпізнавання образів та комп'ютерного бачення, CVPR'96, Сан-Франциско, Каліфорнія, с. 465—470, червень 1996 (англ.)
- Almansa, A., Lindeberg, T. (2000). . IEEE Transactions on Image Processing. 9 (12): 2027—42. Bibcode:2000ITIP....9.2027L. doi:10.1109/83.887971. PMID 18262941. Архів оригіналу за 15 травня 2022. Процитовано 15 травня 2022. (англ.)
- L. Bretzner, I. Laptev and T. Lindeberg: Hand Gesture Recognition using Multi-Scale Colour Features, Hierarchical Models and Particle Filtering, Proc. IEEE Conference on Face and Gesture 2002, Washington DC, 423–428. [ 15 травня 2022 у Wayback Machine.] (англ.)
- Sidenbladh, H., Black, M. (2003). (PDF). International Journal of Computer Vision. 54 (1–2): 183—209. doi:10.1023/a:1023765619733. Архів оригіналу (PDF) за 5 липня 2017. Процитовано 15 травня 2022. (англ.)
- J. Furst and J. Miller, "The Maximal Scale Ridge: Incorporating Scale in the Ridge Definition [ 15 травня 2022 у Wayback Machine.]", Scale Space Theory in Computer Vision: Proceedings of the First International Conference on, Scale Space '97, pp. 93–104. Springer Lecture Notes in Computer Science, vol. 1682. (англ.)
- Haralick, R. (April 1983). Ridges and Valleys on Digital Images. Computer Vision, Graphics, and Image Processing. 22 (10): 28—38. doi:10.1016/0734-189X(83)90094-4. (англ.)
- Crowley, J.L., [en] (March 1984). (PDF). IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell. 6 (2): 156—170. CiteSeerX 10.1.1.161.3102. doi:10.1109/TPAMI.1984.4767500. PMID 21869180. Архів оригіналу (PDF) за 3 березня 2016. Процитовано 15 травня 2022. (англ.)
- Crowley, J.L., Sanderson, A. (January 1987). (PDF). IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell. 9 (1): 113—121. CiteSeerX 10.1.1.1015.9294. doi:10.1109/TPAMI.1987.4767876. PMID 21869381. Архів оригіналу (PDF) за 30 серпня 2017. Процитовано 15 травня 2022. (англ.)
- Gauch, J.M., Pizer, S.M. (June 1993). Multiresolution Analysis of Ridges and Valleys in Grey-Scale Images. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell. 15 (6): 635—646. doi:10.1109/34.216734. (англ.)
- Eberly D.; Gardner R.; Morse B.; Pizer S.; Scharlach C. (December 1994). Ridges for image analysis. Journal of Mathematical Imaging and Vision. 4 (4): 353—373. doi:10.1007/BF01262402. (англ.)
- Pizer, Stephen M., Eberly, David, Fritsch, Daniel S. (January 1998). Zoom-invariant vision of figural shape: the mathematics of cores. Computer Vision and Image Understanding. 69 (1): 55—71. CiteSeerX 10.1.1.38.3116. doi:10.1006/cviu.1997.0563. (англ.)
- S. Pizer, S. Joshi, T. Fletcher, M. Styner, G. Tracton, J. Chen (2001) "Segmentation of Single-Figure Objects by Deformable M-reps", Proceedings of the 4th International Conference on Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention, Springer Lecture Notes In Computer Science; Vol. 2208, pp. 862–871 [ 10 березня 2007 у Wayback Machine.] (англ.)
- Steger C. (1998). An unbiased detector of curvilinear structures. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell. 20 (2): 113—125. CiteSeerX 10.1.1.42.2266. doi:10.1109/34.659930. (англ.)
- Laptev I.; Mayer H.; Lindeberg T.; Eckstein W.; Steger C.; Baumgartner A. (2000). (PDF). Machine Vision and Applications. 12 (1): 23—31. doi:10.1007/s001380050121. Архів оригіналу (PDF) за 15 квітня 2021. Процитовано 15 травня 2022. (англ.)
- Frangi AF, Niessen WJ, Hoogeveen RM, van Walsum T, Viergever MA (October 1999). Model-based quantitation of 3-D magnetic resonance angiographic images. IEEE Trans Med Imaging. 18 (10): 946—56. CiteSeerX 10.1.1.502.5994. doi:10.1109/42.811279. PMID 10628954. (англ.)
- Sato Y, Nakajima S, Shiraga N, Atsumi H, Yoshida S та ін. (1998). (PDF). Medical Image Analysis. 2 (2): 143—168. doi:10.1016/s1361-8415(98)80009-1. PMID 10646760. Архів оригіналу (PDF) за 24 березня 2018. Процитовано 15 травня 2022. (англ.)
- Krissian K.; Malandain G.; Ayache N.; Vaillan R.; Trousset Y. (2000). Model-based detection of tubular structures in 3D images. Computer Vision and Image Understanding. 80 (2): 130—171. doi:10.1006/cviu.2000.0866. (англ.)
- Koenderink, Jan J., van Doorn, Andrea J. (May 1994). 2+1-D differential geometry. Pattern Recognition Letters. 15 (5): 439—443. doi:10.1016/0167-8655(94)90134-1. (англ.)
- Kirbas C, Quek F (2004). A review of vessel extraction techniques and algorithms (PDF). ACM Computing Surveys. 36 (2): 81—121. CiteSeerX 10.1.1.460.8544. doi:10.1145/1031120.1031121.
{{}}
: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url () (англ.) - Eberly, D. (1996). Ridges in Image and Data Analysis. Kluwer. ISBN . (англ.)
- Kerrel, R. Generic Transitions of Relative Critical Sets in Parameterized Families with Applications to Image Analysis. University of North Carolina. 1999. (англ.)
- Fritsch, DS, Eberly,D., Pizer, SM, and McAuliffe, MJ. "Stimulated cores and their applications in medical imaging." Information Processing in Medical Imaging, Y. Bizais, C Barillot, R DiPaola, eds., Kluwer Series in Computational Imaging and Vision, pp. 365–368. (англ.)
- Canny J. (1986). A computational approach to edge detection. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell. 8 (6): 679—698. doi:10.1109/TPAMI.1986.4767851. PMID 21869365. (англ.)
- Lindeberg T. (1993). . Journal of Mathematical Imaging and Vision. 3 (4): 349—376. doi:10.1007/BF01664794. Архів оригіналу за 15 травня 2022. Процитовано 15 травня 2022. (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Pro inshi ponyattya sho nazivayut hrebtami div Hrebet znachennya Cyu stattyu napisano zanadto profesijnim stilem zi specifichnoyu terminologiyeyu sho mozhe buti nezrozumilim dlya bilshosti chitachiv Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu zrobivshi yiyi zrozumiloyu dlya nespecialistiv bez vtrat zmistu Mozhlivo storinka obgovorennya mistit zauvazhennya shodo potribnih zmin traven 2022 V obrobci zobrazhen viyavlya nnya hrebti v angl ridge detection ce namagannya za dopomogoyu programnogo zabezpechennya znahoditi v zobrazhenni hrebti angl ridges viznacheni yak krivi chiyi tochki ye lokalnimi maksimumami funkciyi shozhi na geografichni hrebti Dlya funkciyi N zminnih yiyi hrebti ce mnozhina krivih chiyi tochki ye lokalnimi maksimumami v N 1 vimirah U comu vidnoshenni ponyattya tochok hrebta rozshiryuye ponyattya lokalnogo maksimumu Vidpovidno ponyattya doli n angl valleys dlya funkciyi mozhna viznachiti zaminivshi umovu lokalnogo maksimumu umovoyu lokalnogo minimumu Ob yednannya mnozhin hrebtiv i mnozhin dolin razom iz pov yazanoyu mnozhinoyu tochok zvanoyu mnozhino yu spolu chnikiv angl connector set utvoryuyut zv yaznu mnozhinu krivih yaki rozbivayutsya peretinayutsya abo zustrichayutsya v kritichnih tochkah funkciyi Ce spilne ob yednannya mnozhin nazivayut vidnosnoyu kriti chnoyu mnozhino yu angl relative critical set funkciyi Mnozhini hrebtiv mnozhini dolin i vidnosni kritichni mnozhini podayut vazhlivu geometrichnu informaciyu pritamannu funkciyi Pevnim chinom voni zabezpechuyut kompaktne podannya vazhlivih oznak funkciyi ale pitannya pro te naskilki yih mozhlivo vikoristovuvati shobi viznachati globalni oznaki funkciyi zalishayetsya vidkritim Osnovna motivaciya dlya stvorennya procedur viyavlya nnya hrebti v i viyavlya nnya doli n pohodit z en ta komp yuternogo bachennya i polyagaye u vlovlyuvanni vnutrishnostej vidovzhenih ob yektiv v oblasti zobrazhennya Pov yazani z hrebtami podannya v terminah en vikoristovuvali dlya segmentuvannya zobrazhen Buli takozh sprobi vlovlyuvati formi ob yektiv za dopomogoyu grafovih podan sho vidobrazhuyut hrebti dolini ta kritichni tochki v oblasti zobrazhennya Prote taki uyavlennya mozhut buti duzhe chutlivimi do shumu yaksho obchislyuyutsya lishe v odnomu masshtabi Oskilki obchislennya teoriyi prostoru masshtabiv zaluchayut zgortku gaussovim zgladzhuvalnim yadrom spodivalisya sho vikoristannya bagatomasshtabovih hrebtiv dolin ta kritichnih tochok u konteksti teoriyi prostoru masshtabiv dozvolit zabezpechuvati nadijnishe podannya ob yektiv abo form u zobrazhenni U comu vidnoshenni hrebti ta dolini mozhlivo rozglyadati yak dopovnennya do prirodnih osoblivih tochok abo tochok lokalnih ekstremumiv Za nalezhno viznachenih ponyat hrebti ta dolini v abo v yakomus inshomu podanni otrimanomu z landshaftu yaskravosti mozhut utvoryuvati masshtaboinvariantnij kistyak dlya utvorennya prostorovih obmezhen na lokalnij viglyad z nizkoyu yakisnih podibnostej do togo yak seredinnoosove peretvorennya Blyuma zabezpechuye dlya binarnih zobrazhen U tipovih zastosuvannyah opisuvachi hrebtiv i dolin chasto vikoristovuyut dlya viyavlyannya dorig na aerofotoznimkah ta dlya viyavlyannya krovonosnih sudin na en chi trivimirnih magnitno rezonansnih zobrazhennyah Diferencialnogeometrichne viznachennya hrebtiv i dolin u fiksovanomu masshtabi na dvovimirnomu zobrazhenniNehaj f x y displaystyle f x y poznachuye dvovimirnu funkciyu i nehaj L displaystyle L bude masshtaboprostorovim podannyam f x y displaystyle f x y otrimanim zgortannyam f x y displaystyle f x y gaussovoyu funkciyeyu g x y t 12pte x2 y2 2t displaystyle g x y t frac 1 2 pi t e x 2 y 2 2t Krim togo nehaj Lpp displaystyle L pp ta Lqq displaystyle L qq poznachuyut vlasni znachennya matrici Gesse H LxxLxyLxyLyy displaystyle H begin bmatrix L xx amp L xy L xy amp L yy end bmatrix masshtaboprostorovogo podannya L displaystyle L z peretvorennyam koordinat povertannyam zastosovanim do operatoriv lokalnih napryamnih pohidnih p sin b x cos b y q cos b x sin b y displaystyle partial p sin beta partial x cos beta partial y partial q cos beta partial x sin beta partial y de p ta q koordinati povernutoyi sistemi koordinat Mozhlivo pokazati sho zmishana pohidna Lpq displaystyle L pq u peretvorenij sistemi koordinat nulova yaksho mi oberemo cos b 12 1 Lxx Lyy Lxx Lyy 2 4Lxy2 displaystyle cos beta sqrt frac 1 2 left 1 frac L xx L yy sqrt L xx L yy 2 4L xy 2 right sin b sgn Lxy 12 1 Lxx Lyy Lxx Lyy 2 4Lxy2 displaystyle sin beta operatorname sgn L xy sqrt frac 1 2 left 1 frac L xx L yy sqrt L xx L yy 2 4L xy 2 right Todi formalne diferencialnogeometrichne viznachennya hrebtiv f x y displaystyle f x y u fiksovanomu masshtabi t displaystyle t mozhe buti virazheno yak nabir tochok yaki zadovolnyayut Lp 0 Lpp 0 Lpp Lqq displaystyle L p 0 L pp leq 0 L pp geq L qq Vidpovidno dolini f x y displaystyle f x y v masshtabi t displaystyle t mnozhina tochok Lq 0 Lqq 0 Lqq Lpp displaystyle L q 0 L qq geq 0 L qq geq L pp V sistemi koordinat u v displaystyle u v z napryamkom v displaystyle v paralelnim gradiyentovi zobrazhennya u sin a x cos a y v cos a x sin a y displaystyle partial u sin alpha partial x cos alpha partial y partial v cos alpha partial x sin alpha partial y de cos a LxLx2 Ly2 sin a LyLx2 Ly2 displaystyle cos alpha frac L x sqrt L x 2 L y 2 sin alpha frac L y sqrt L x 2 L y 2 mozhlivo pokazati sho ce viznachennya hrebtiv i dolin mozhlivo natomist ekvivalentno zapisati yak Luv 0 Luu2 Lvv2 0 displaystyle L uv 0 L uu 2 L vv 2 geq 0 de Lv2Luu Lx2Lyy 2LxLyLxy Ly2Lxx displaystyle L v 2 L uu L x 2 L yy 2L x L y L xy L y 2 L xx Lv2Luv LxLy Lxx Lyy Lx2 Ly2 Lxy displaystyle L v 2 L uv L x L y L xx L yy L x 2 L y 2 L xy Lv2Lvv Lx2Lxx 2LxLyLxy Ly2Lyy displaystyle L v 2 L vv L x 2 L xx 2L x L y L xy L y 2 L yy a znak Luu displaystyle L uu viznachaye polyarnist Luu lt 0 displaystyle L uu lt 0 dlya hrebtiv i Luu gt 0 displaystyle L uu gt 0 dlya dolin Rozrahunok hrebtiv zminnogo masshtabu z dvovimirnih zobrazhenOsnovna problema podanogo vishe viznachennya hrebta fiksovanogo masshtabu polyagaye v tomu sho vono mozhe buti duzhe chutlivim do viboru rivnya masshtabu Eksperimenti pokazuyut sho parametr masshtabu gaussovogo yadra poperednogo zgladzhuvannya musit buti retelno pidlashtovano do shirini hrebtovoyi strukturi v oblasti zobrazhennya shobi viyavlyach hrebtiv stvoryuvav zv yazanu krivu yaka vidobrazhuvala bi strukturi v osnovi zobrazhennya Dlya rozv yazannya ciyeyi problemi za vidsutnosti poperednoyi informaciyi bulo vvedeno ponyattya masshtaboprostorovih hrebtiv angl scale space ridges yake rozglyadaye parametr masshtabu yak nevid yemnu vlastivist viznachennya hrebta j dozvolyaye rivnyam masshtabu zminyuvatisya vzdovzh masshtaboprostorovogo hrebta Bilshe togo koncepciya masshtaboprostorovogo hrebta takozh dozvolyaye pidlashtovuvati parametr masshtabu do shirini hrebtovih struktur v oblasti zobrazhennya avtomatichno faktichno yak naslidok dobre sformulovanogo viznachennya U literaturi na osnovi ciyeyi ideyi bulo zaproponovano nizku riznih pidhodiv Nehaj R x y t displaystyle R x y t poznachuye miru virazhenosti hrebta yaku bude vkazano nizhche Todi dlya dvovimirnogo zobrazhennya masshtaboprostorovij grebin ce mnozhina tochok yaki zadovolnyayut Lp 0 Lpp 0 t R 0 tt R 0 displaystyle L p 0 L pp leq 0 partial t R 0 partial tt R leq 0 de t displaystyle t parametr masshtabu v masshtaboprostorovomu podanni Analogichno masshtaboprostorova dolina angl scale space valley ce mnozhina tochok yaki zadovolnyayut Lq 0 Lqq 0 t R 0 tt R 0 displaystyle L q 0 L qq geq 0 partial t R 0 partial tt R leq 0 Bezposerednim naslidkom cogo viznachennya ye te sho dlya dvovimirnogo zobrazhennya koncepciya masshtaboprostorovih hrebtiv vimitaye mnozhinu odnovimirnih krivih u trivimirnomu prostori masshtabiv de parametrovi masshtabu dozvoleno zminyuvatisya vzdovzh masshtaboprostorovogo hrebta chi masshtaboprostorovoyi dolini Opisuvachem hrebta v oblasti zobrazhennya todi bude proyekciya ciyeyi trivimirnoyi krivoyi na dvovimirnu ploshinu zobrazhennya de informaciyu pro vlastivij masshtab u kozhnij tochci hrebta mozhlivo vikoristovuvati yak prirodnu ocinku shirini hrebtovoyi strukturi v oblasti zobrazhennya v okoli ciyeyi tochki U literaturi proponuyut rizni miri hrebtovoyi virazhenosti Koli Lindeberg 1996 1998 zaprovadiv termin masshtaboprostorovij hrebet vin rozglyadav tri miri hrebtovoyi virazhenosti Osnovna golovna krivinaLpp g norm tg2 Lxx Lyy Lxx Lyy 2 4Lxy2 displaystyle L pp gamma norm frac t gamma 2 left L xx L yy sqrt L xx L yy 2 4L xy 2 right dd virazhena v terminah g displaystyle gamma normovanih pohidnih cherez 3 tg 2 x h tg 2 y displaystyle partial xi t gamma 2 partial x partial eta t gamma 2 partial y dd Kvadrat riznici kvadrativ g displaystyle gamma normovanih vlasnih znachenNg norm Lpp g norm2 Lqq g norm2 2 t4g Lxx Lyy 2 Lxx Lyy 2 4Lxy2 displaystyle N gamma norm left L pp gamma norm 2 L qq gamma norm 2 right 2 t 4 gamma L xx L yy 2 left L xx L yy 2 4L xy 2 right dd Kvadrat riznici g displaystyle gamma normovanih vlasnih znachenAg norm Lpp g norm Lqq g norm 2 t2g Lxx Lyy 2 4Lxy2 displaystyle A gamma norm left L pp gamma norm L qq gamma norm right 2 t 2 gamma left L xx L yy 2 4L xy 2 right dd Ponyattya g displaystyle gamma normovanih pohidnih tut vazhlive oskilki dozvolyaye algoritmam viyavlyannya hrebtiv i dolin nalezhno kalibruvatisya Z vimogi shobi dlya odnovimirnogo gaussovogo hrebta vkladenogo v dva abo tri vimiri masshtab viyavlyannya dorivnyuvav shirini hrebtovoyi strukturi pri vimiryuvanni v odinicyah dovzhini vimoga vidpovidnosti mizh rozmirami filtra viyavlyannya ta strukturoyu zobrazhennya na yaku vin reaguye viplivaye sho slid obirati g 3 4 displaystyle gamma 3 4 Z cih troh mir virazhenosti hrebta persha sutnist Lpp g norm displaystyle L pp gamma norm ye miroyu virazhenosti hrebta zagalnogo priznachennya z bagatma zastosuvannyami takimi yak viyavlyannya krovonosnih sudin i vidilyannya dorig Prote sutnist Ag norm displaystyle A gamma norm vikoristovuvali v takih zastosuvannyah yak pokrashennya vidbitkiv palciv en ta en u realnomu chasi a takozh dlya modelyuvannya lokalnih statistik zobrazhen dlya viyavlyannya ta vidstezhuvannya lyudej u zobrazhennyah ta video Isnuyut takozh j inshi tisno pov yazani viznachennya hrebta yaki vikoristovuyut normovani pohidni z neyavnim pripushennyam g 1 displaystyle gamma 1 Prorobiti ci pidhodi dokladnishe Prote pri viyavlyanni hrebtiv z g 1 displaystyle gamma 1 masshtab viyavlyannya bude vdvichi bilshim anizh dlya g 3 4 displaystyle gamma 3 4 sho prizvodit do bilshih vikrivlen formi ta nizhchoyi zdatnosti vlovlyuvati hrebti ta dolini z susidnimi zavadnimi strukturami zobrazhennya v jogo oblasti IstoriyaPonyattya hrebtiv i dolin u cifrovih zobrazhennyah bulo zaprovadzheno en 1983 roku ta Krouli stosovno piramid riznic gaussianiv 1984 roku Zastosuvannya hrebtovih opisuvachiv do analizu medichnih zobrazhen bulo detalno doslidzheno Pajzerom ta jogo spivrobitnikami davshi yihnye ponyattya M podan angl M reps Lindeberg takozh pospriyav rozvitku viyavlyannya hrebtiv zaprovadivshi g displaystyle gamma normovani pohidni ta masshtaboprostorovi hrebti viznacheni z lokalnoyi maksimizaciyi nalezhnim chinom normovanoyi golovnoyi krivini matrici Gesse abo inshih mir virazhenosti hrebta nad prostorom ta nad masshtabom Ci ponyattya piznishe bulo rozvinuto iz zastosuvannyam do vidilyannya dorig Stegerom ta in ta do segmentuvannya krovonosnih sudin za Frandzhi ta in a takozh dlya viyavlennya krivolinijnih i trubchastih struktur Sato ta in ta Krisyanom ta in Oglyad kilkoh klasichnih viznachen hrebtiv u fiksovanomu masshtabi vklyuchno z vidnoshennyami mizh nimi bulo zaproponovano Kenderinkom ta van Dornom Oglyad metodiv vidilyannya sudin bulo zaproponovano Kirbasom ta Kvekom Viznachennya hrebtiv i dolin u N vimirahU svoyemu najshirshomu sensi ponyattya hrebta uzagalnyuye uyavlennya pro lokalnij maksimum dijsnoyi funkciyi Tochka x0 displaystyle mathbf x 0 v oblasti viznachennya funkciyi f Rn R displaystyle f mathbb R n rightarrow mathbb R ye lokalnim maksimumom ciyeyi funkciyi yaksho isnuye vidstan d gt 0 displaystyle delta gt 0 taka sho yaksho x displaystyle mathbf x znahoditsya vseredini d displaystyle delta odinic vid x0 displaystyle mathbf x 0 to f x lt f x0 displaystyle f mathbf x lt f mathbf x 0 Dobre vidomo sho kritichni tochki dlya yakih lokalni maksimumi ye lishe odnim z yihnih tipiv ce izolovani tochki v oblasti viznachennya funkciyi u vsih situaciyah okrim najnezvichnishih tobto nezagalnih vipadkiv Rozglyanmo deyake poslablennya umovi f x lt f x0 displaystyle f mathbf x lt f mathbf x 0 dlya x displaystyle mathbf x u vsomu okoli x0 displaystyle mathbf x 0 do vimogi lishe togo shobi vona dotrimuvalasya v n 1 displaystyle n 1 vimirnij pidmnozhini Imovirno ce poslablennya dozvolyaye mnozhini tochok sho zadovolnyayut cej kriterij yaki mi nazvemo hrebtom mati odin stupin svobodi prinajmni v zagalnomu vipadku Ce oznachaye sho mnozhina tochok hrebta utvoryuvatime odnovimirne geometrichne misce tochok abo krivu hrebta angl ridge curve Zvernit uvagu sho vishezaznachene mozhlivo vidozminiti uzagalnivshi ce uyavlennya do lokalnih minimumiv j otrimavshi te sho mozhna bulo bi nazvati odnovimirnimi krivimi dolin Nastupne viznachennya hrebta vidpovidaye knizi Eberli j jogo mozhlivo rozglyadati yak uzagalnennya deyakih iz vishezgadanih Nehaj U Rn displaystyle U subset mathbb R n vidkrita mnozhina a f U R displaystyle f U rightarrow mathbb R gladenka Nehaj x0 U displaystyle mathbf x 0 in U Nehaj x0f displaystyle nabla mathbf x 0 f gradiyent f displaystyle f v x0 displaystyle mathbf x 0 i nehaj Hx0 f displaystyle H mathbf x 0 f matricya Gesse n n displaystyle n times n funkciyi f displaystyle f v x0 displaystyle mathbf x 0 Nehaj l1 l2 ln displaystyle lambda 1 leq lambda 2 leq cdots leq lambda n ce n displaystyle n vporyadkovanih vlasnih znachen Hx0 f displaystyle H mathbf x 0 f i nehaj ei displaystyle mathbf e i odinichnij vlasnij vektor u vlasnomu prostori dlya li displaystyle lambda i Dlya cogo slid vihoditi z vidminnosti vsi vlasnih znachen Tochka x0 displaystyle mathbf x 0 ye tochkoyu na 1 vimirnomu hrebti f displaystyle f yaksho vikonuyutsya taki umovi ln 1 lt 0 displaystyle lambda n 1 lt 0 i x0f ei 0 displaystyle nabla mathbf x 0 f cdot mathbf e i 0 dlya i 1 2 n 1 displaystyle i 1 2 ldots n 1 Ce utochnyuye ponyattya sho f displaystyle f obmezhena cim konkretnim n 1 displaystyle n 1 vimirnim pidprostorom maye lokalnij maksimum v x0 displaystyle mathbf x 0 Ce viznachennya prirodno uzagalnyuyetsya na k vimirnij hrebet nastupnim chinom tochka x0 displaystyle mathbf x 0 ye tochkoyu na k vimirnomu hrebti f displaystyle f yaksho vikonuyutsya nastupni umovi ln k lt 0 displaystyle lambda n k lt 0 i x0f ei 0 displaystyle nabla mathbf x 0 f cdot mathbf e i 0 dlya i 1 2 n k displaystyle i 1 2 ldots n k Bagato v chomu ci viznachennya prirodno uzagalnyuyut viznachennya lokalnogo maksimumu funkciyi Vlastivosti grebniv maksimalnoyi opuklosti angl maximal convexity ridges pokladeno na tverdu matematichnu osnovu Dejmonom ta Millerom Yihni vlastivosti v odnoparametrovih simejstvah bulo viznacheno Kellerom Maksimalnomasshtabovij hrebetNastupne viznachennya mozhlivo prostezhiti do Fricha yakij cikavivsya vidilyannyam geometrichnoyi informaciyi pro figuri u dvovimirnih zobrazhennyah u vidtinkah sirogo Frich obroblyav svoye zobrazhennya filtrom seredinnosti angl medialness yakij davav jomu informaciyu analogichnu danim viddalenosti vid mezh angl distant to the boundary u prostori masshtabiv Hrebti cogo zobrazhennya proyektovani na pervinne zobrazhennya mali buti analogichnimi kistyakovi formi napriklad blyumovij seredinnij osi pervinnogo zobrazhennya Dali navedeno viznachennya maksimalnomasshtabovogo hrebta angl maximal scale ridge funkciyi troh zminnih odniyeyu z yakih ye parametr masshtab Odne chogo mi hochemo dotrimatisya v comu viznachenni ce yaksho x s displaystyle mathbf x sigma tochka na comu hrebti to znachennya ciyeyi funkciyi v nij maksimalne za vimirom masshtabu Nehaj f x s displaystyle f mathbf x sigma gladenka diferencijovana funkciya U R2 R displaystyle U subset mathbb R 2 times mathbb R x s displaystyle mathbf x sigma tochka na maksimalnomasshtabovomu hrebti todi j lishe todi koli f s 0 displaystyle frac partial f partial sigma 0 i 2f s2 lt 0 displaystyle frac partial 2 f partial sigma 2 lt 0 i f e1 0 displaystyle nabla f cdot mathbf e 1 0 i e1tH f e1 lt 0 displaystyle mathbf e 1 t H f mathbf e 1 lt 0 Vzayemozv yazok mizh viyavlyannyam konturiv ta viyavlyannyam hrebtivMetoyu viyavlyannya hrebtiv zazvichaj ye vlovlyuvannya golovnoyi osi simetriyi vidovzhenogo ob yekta dzherelo todi yak meta viyavlyannya konturiv zazvichaj polyagaye u vlovlyuvanni mezhi ob yekta Prote deyaka literatura z viyavlyannya konturiv pomilkovo dzherelo vidnosit ponyattya hrebtiv do ponyattya konturiv sho zaplutuye situaciyu Z tochki zoru viznachen mizh viyavlyachami konturiv ta viyavlyachami hrebtiv isnuye tisnij zv yazok Z formulyuvannyam ne maksimumu navedenim Kenni stverdzhuyetsya sho konturi viznachayutsya yak tochki de velichina gradiyenta nabuvaye lokalnogo maksimumu v napryami gradiyenta Dotrimuyuchis diferencialnogeometrichnogo sposobu virazhennya cogo viznachennya mi mozhemo u vishezgadanij sistemi koordinat u v displaystyle u v stverdzhuvati sho velichina gradiyenta masshtaboprostorovogo podannya yaka dorivnyuye pohidnij za napryamom pershogo poryadku v napryami v displaystyle v Lv displaystyle L v povinna mati svoyu napryamnu pohidnu pershogo poryadku v napryami v displaystyle v rivnoyu nulevi v Lv 0 displaystyle partial v L v 0 todi yak napryamna pohidna drugogo poryadku Lv displaystyle L v v napryami v displaystyle v maye buti vid yemnoyu tobto vv Lv 0 displaystyle partial vv L v leq 0 Zapisane yak yavnij viraz u terminah lokalnih chastinnih pohidnih Lx displaystyle L x Ly displaystyle L y Lyyy displaystyle L yyy ce viznachennya konturu mozhlivo viraziti u viglyadi krivih yaki peretinayut nul diferencialnogo invarianta Lv2Lvv Lx2Lxx 2LxLyLxy Ly2Lyy 0 displaystyle L v 2 L vv L x 2 L xx 2 L x L y L xy L y 2 L yy 0 sho zadovolnyayut znakovi umovi na nastupnomu diferencialnomu invarianti Lv3Lvvv Lx3Lxxx 3Lx2LyLxxy 3LxLy2Lxyy Ly3Lyyy 0 displaystyle L v 3 L vvv L x 3 L xxx 3 L x 2 L y L xxy 3 L x L y 2 L xyy L y 3 L yyy leq 0 dodatkovu informaciyu div u statti pro viyavlyannya konturiv Primitno sho otrimani takim chinom konturi ye hrebtami velichini gradiyenta Div takozhViyavlyannya plyam Komp yuterne bachennya Viyavlyannya konturiv Viyavlyannya oznak komp yuterne bachennya Viyavlyannya osoblivih tochok Prostir masshtabivPrimitkiDamon J March 1999 Properties of Ridges and Cores in Two Dimensional Images J Math Imaging Vis 10 2 163 174 doi 10 1023 A 1008379107611 angl Miller J Relative Critical Sets in Rn displaystyle mathbb R n and Applications to Image Analysis Ph D Dissertation University of North Carolina 1998 angl T Lindeberg 2009 U Benjamin Wah red Encyclopedia of Computer Science and Engineering T IV John Wiley and Sons s 2495 2504 doi 10 1002 9780470050118 ecse609 ISBN 978 0470050118 Arhiv originalu za 15 travnya 2022 Procitovano 15 travnya 2022 angl Lindeberg T 1994 Journal of Applied Statistics 21 2 224 270 doi 10 1080 757582976 Arhiv originalu za 15 travnya 2022 Procitovano 15 travnya 2022 angl Lindeberg T 1998 Edge detection and ridge detection with automatic scale selection International Journal of Computer Vision 30 2 117 154 doi 10 1023 A 1008097225773 Ranishu versiyu podano na konferenciyi IEEE z rozpiznavannya obraziv ta komp yuternogo bachennya CVPR 96 San Francisko Kaliforniya s 465 470 cherven 1996 angl Almansa A Lindeberg T 2000 IEEE Transactions on Image Processing 9 12 2027 42 Bibcode 2000ITIP 9 2027L doi 10 1109 83 887971 PMID 18262941 Arhiv originalu za 15 travnya 2022 Procitovano 15 travnya 2022 angl L Bretzner I Laptev and T Lindeberg Hand Gesture Recognition using Multi Scale Colour Features Hierarchical Models and Particle Filtering Proc IEEE Conference on Face and Gesture 2002 Washington DC 423 428 15 travnya 2022 u Wayback Machine angl Sidenbladh H Black M 2003 PDF International Journal of Computer Vision 54 1 2 183 209 doi 10 1023 a 1023765619733 Arhiv originalu PDF za 5 lipnya 2017 Procitovano 15 travnya 2022 angl J Furst and J Miller The Maximal Scale Ridge Incorporating Scale in the Ridge Definition 15 travnya 2022 u Wayback Machine Scale Space Theory in Computer Vision Proceedings of the First International Conference on Scale Space 97 pp 93 104 Springer Lecture Notes in Computer Science vol 1682 angl Haralick R April 1983 Ridges and Valleys on Digital Images Computer Vision Graphics and Image Processing 22 10 28 38 doi 10 1016 0734 189X 83 90094 4 angl Crowley J L en March 1984 PDF IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell 6 2 156 170 CiteSeerX 10 1 1 161 3102 doi 10 1109 TPAMI 1984 4767500 PMID 21869180 Arhiv originalu PDF za 3 bereznya 2016 Procitovano 15 travnya 2022 angl Crowley J L Sanderson A January 1987 PDF IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell 9 1 113 121 CiteSeerX 10 1 1 1015 9294 doi 10 1109 TPAMI 1987 4767876 PMID 21869381 Arhiv originalu PDF za 30 serpnya 2017 Procitovano 15 travnya 2022 angl Gauch J M Pizer S M June 1993 Multiresolution Analysis of Ridges and Valleys in Grey Scale Images IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell 15 6 635 646 doi 10 1109 34 216734 angl Eberly D Gardner R Morse B Pizer S Scharlach C December 1994 Ridges for image analysis Journal of Mathematical Imaging and Vision 4 4 353 373 doi 10 1007 BF01262402 angl Pizer Stephen M Eberly David Fritsch Daniel S January 1998 Zoom invariant vision of figural shape the mathematics of cores Computer Vision and Image Understanding 69 1 55 71 CiteSeerX 10 1 1 38 3116 doi 10 1006 cviu 1997 0563 angl S Pizer S Joshi T Fletcher M Styner G Tracton J Chen 2001 Segmentation of Single Figure Objects by Deformable M reps Proceedings of the 4th International Conference on Medical Image Computing and Computer Assisted Intervention Springer Lecture Notes In Computer Science Vol 2208 pp 862 871 10 bereznya 2007 u Wayback Machine angl Steger C 1998 An unbiased detector of curvilinear structures IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell 20 2 113 125 CiteSeerX 10 1 1 42 2266 doi 10 1109 34 659930 angl Laptev I Mayer H Lindeberg T Eckstein W Steger C Baumgartner A 2000 PDF Machine Vision and Applications 12 1 23 31 doi 10 1007 s001380050121 Arhiv originalu PDF za 15 kvitnya 2021 Procitovano 15 travnya 2022 angl Frangi AF Niessen WJ Hoogeveen RM van Walsum T Viergever MA October 1999 Model based quantitation of 3 D magnetic resonance angiographic images IEEE Trans Med Imaging 18 10 946 56 CiteSeerX 10 1 1 502 5994 doi 10 1109 42 811279 PMID 10628954 angl Sato Y Nakajima S Shiraga N Atsumi H Yoshida S ta in 1998 PDF Medical Image Analysis 2 2 143 168 doi 10 1016 s1361 8415 98 80009 1 PMID 10646760 Arhiv originalu PDF za 24 bereznya 2018 Procitovano 15 travnya 2022 angl Krissian K Malandain G Ayache N Vaillan R Trousset Y 2000 Model based detection of tubular structures in 3D images Computer Vision and Image Understanding 80 2 130 171 doi 10 1006 cviu 2000 0866 angl Koenderink Jan J van Doorn Andrea J May 1994 2 1 D differential geometry Pattern Recognition Letters 15 5 439 443 doi 10 1016 0167 8655 94 90134 1 angl Kirbas C Quek F 2004 A review of vessel extraction techniques and algorithms PDF ACM Computing Surveys 36 2 81 121 CiteSeerX 10 1 1 460 8544 doi 10 1145 1031120 1031121 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite journal title Shablon Cite journal cite journal a Obslugovuvannya CS1 Storinki z parametrom url status ale bez parametra archive url posilannya angl Eberly D 1996 Ridges in Image and Data Analysis Kluwer ISBN 978 0 7923 4268 7 angl Kerrel R Generic Transitions of Relative Critical Sets in Parameterized Families with Applications to Image Analysis University of North Carolina 1999 angl Fritsch DS Eberly D Pizer SM and McAuliffe MJ Stimulated cores and their applications in medical imaging Information Processing in Medical Imaging Y Bizais C Barillot R DiPaola eds Kluwer Series in Computational Imaging and Vision pp 365 368 angl Canny J 1986 A computational approach to edge detection IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell 8 6 679 698 doi 10 1109 TPAMI 1986 4767851 PMID 21869365 angl Lindeberg T 1993 Journal of Mathematical Imaging and Vision 3 4 349 376 doi 10 1007 BF01664794 Arhiv originalu za 15 travnya 2022 Procitovano 15 travnya 2022 angl