В обробці зображень такомп'ютерному баченні, анізотропна дифузія, яка також називається дифузією Перона–Маліка, є методом, який спрямований на зменшення шуму зображення, без видалення при цьому важливих частин вмісту зображення, як правило, країв, лінії або інших даних, які важливі для інтерпретації зображення. Анізотропна дифузія нагадує процес, який створює масштабований простір, де зображення генерує параметризовану сім'ю все більш і більш розмитих зображень, заснованих на дифузійному процесі. Кожне з отриманих зображень в цій сім'ї подане як згортка між зображенням і 2D ізотропним фільтром Гауса, де ширина фільтра збільшується з параметром. Цей дифузійний процес є лінійним і просторово-інваріантним перетворенням вихідного зображення. Анізотропна дифузія є узагальненням цього дифузійного процесу: вона створює сімейство параметризованих зображень, але кожне отримане зображення являє собою поєднання вихідного зображення і фільтру, який залежить від початкового змісту вихідного зображення. Як наслідок, анізотропна дифузія є нелінійною і просторово-варіантною трансформацією вихідного зображення.
У своєму первісному формулюванні, яке представлене Пероном і [en] в 1987 році, просторово-варіантний фільтр - це ізотропія, яка залежить від змісту зображення, так як вона наближається до імпульсної функції поблизу країв та інших структур, які повинні бути збережені в зображенні на різних рівнях в результаті масштабованого простору. Це формулювання Перона і Малік називають анізотропною дифузією, а інші автори також неоднорідною і нелінійною дифузією або ж дифузією Перона — Маліка. Більш загальне формулювання дозволяє адаптованому до початкових умов фільтру бути подібним до анізотропних об'єктів лінійної структури, таких як краї або лінії: його орієнтація задається такою структурою, що він витягнутий вздовж конструкції і вузький поперечному перерізі. Такі методи називаються формами-адаптованого згладжування. Як наслідок, отримані зображення зберігають лінійні структури і в той же час проводиться згладжування уздовж цих структур. Обидва випадки можуть бути описані за допомогою узагальнення звичайного рівняння дифузії, де коефіцієнт дифузії, замість того, щоб бути постійним скаляром, є функцією позиції зображення і передбачає матричне (або тензорне) значення (див. структурний тензор).
Хоч отриману сім'ю знімків можна охарактеризувати як поєднання оригінального зображення і просторово-варіантних фільтрів, адаптований до початкових умов фільтр і його комбінація із зображенням не повинні бути реалізовані на практиці. Анізотропна дифузія зазвичай реалізовується за допомогою апроксимації узагальненого рівняння дифузії: кожне нове зображення в сім'ї обчислюється за допомогою застосування цього рівняння до попереднього зображення. Отже, анізотропна дифузія являє собою ітераційний процес, в якому відносно простий набір обчислень використовується для обчислення кожного наступного зображення в сім'ї і цей процес продовжується до отримання достатнього ступеня гладкості.
Формальне визначення
Формально, нехай позначає підмножину площини і - сім'я напівтонових зображень. Тоді анізотропна дифузія визначається як
де позначає оператор Лапласа, позначає градієнт, це дивергенція оператора і - коефіцієнт дифузії. контролює швидкість дифузії і зазвичай вибирається як функція градієнта зображення, так як це зберігає краї зображення. П'єтро Перона і Джітендра Малік вперше представили ідею анізотропної дифузії в 1990 році і запропонували дві функції для коефіцієнта дифузії:
і
константа визначає чутливість до країв і, як правило, визначається експериментально або ж як функція шуму на зображенні.
Мотивація
Нехай позначає копію гладких зображень. Тоді дифузійні рівняння, представлені вище, можуть бути інтерпретовані як рівняння градієнтного спуску для мінімізації енергії визначеної як:
де є дійсною функцією і яка тісно пов'язана з коефіцієнтом дифузії. Тоді для будь-якої фінітної, нескінченно диференційовної тестової функції , маємо
де останній рядок випливає з багатовимірного інтегрування частинами. Через позначимо градієнт щодо прегільбертового простору оцінений в . Це дає
Таким чином, градієнтний спуск рівняння заданий як
Тоді, взявши ми отримуємо анізотропне рівняння дифузії.
Регуляризація
У цьому розділі буде обговорюватись регуляризація Перона-Маліка. При такому підході, невідоме скручується з Гауссіаном всередині нелінійності для отримання модифікованих рівнянь Перона-Маліка.
де .
Коректність цього рівняння може бути досягнута шляхом регуляризації, а також за допомогою введення ефекту розмитості, який є основним недоліком регуляризації. Необхідно також мати попередні знання про рівень шуму, оскільки вибір параметра регуляризації залежить від нього.
Застосування
Анізотропна дифузія може бути використана для видалення шуму з цифрових зображень без розмиття країв. З постійним коефіцієнтом дифузії, анізотропне рівняння дифузії зводяться до рівняння теплопровідності, яке еквівалентне Гаусовому розмиттю. Це ідеально підходить для видалення шумів, але і безрозбірно розмиває краї теж. Коли коефіцієнт дифузії є обраний як функція для пошуку границі, як, наприклад, у Перона і Маліка, отримані рівняння підтримують дифузію (і, отже, згладжування) усередині областей, а також забороняти її вздовж границь. Отже, краї зображення можуть бути збережені під час видалення шуму зображення.
Див. також
Примітки
- Pietro Perona and (November 1987). Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion. Proceedings of IEEE Computer Society Workshop on Computer Vision,. с. 16—22.
- Pietro Perona and (July 1990). Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 12 (7): 629—639. doi:10.1109/34.56205.
- Guillermo Sapiro (2001). Geometric partial differential equations and image analysis. Cambridge University Press. с. 223. ISBN .
- Joachim Weickert (July 1997). A Review of Nonlinear Diffusion Filtering. Scale-Space Theory in Computer Vision. Springer, LNCS 1252. с. 1—28. doi:10.1007/3-540-63167-4.
- Bernd Jähne and Horst Haußecker (2000). Computer Vision and Applications, A Guide for Students and Practitioners. Academic Press. ISBN .
- Lindeberg, T., Scale-Space Theory in Computer Vision, Kluwer Academic Publishers, 1994, , (chapter 15).
- Andres Almansa and Tony Lindeberg (2000). Fingerprint Enhancement by Shape Adaptation of Scale-Space Operators with Automatic Scale-Selection. IEEE Transactions on Image Processing. 9 (12): 2027—2042. doi:10.1109/83.887971. PMID 18262941.
- http://www.vision.caltech.edu [ 18 квітня 2022 у Wayback Machine.]
Посилання
- Числове розв'язування двовимірних задач адвекції - дифузії на прямокутній області
На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії. Будь ласка розставте посилання відповідно до . |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V obrobci zobrazhen takomp yuternomu bachenni anizotropna difuziya yaka takozh nazivayetsya difuziyeyu Perona Malika ye metodom yakij spryamovanij na zmenshennya shumu zobrazhennya bez vidalennya pri comu vazhlivih chastin vmistu zobrazhennya yak pravilo krayiv liniyi abo inshih danih yaki vazhlivi dlya interpretaciyi zobrazhennya Anizotropna difuziya nagaduye proces yakij stvoryuye masshtabovanij prostir de zobrazhennya generuye parametrizovanu sim yu vse bilsh i bilsh rozmitih zobrazhen zasnovanih na difuzijnomu procesi Kozhne z otrimanih zobrazhen v cij sim yi podane yak zgortka mizh zobrazhennyam i 2D izotropnim filtrom Gausa de shirina filtra zbilshuyetsya z parametrom Cej difuzijnij proces ye linijnim i prostorovo invariantnim peretvorennyam vihidnogo zobrazhennya Anizotropna difuziya ye uzagalnennyam cogo difuzijnogo procesu vona stvoryuye simejstvo parametrizovanih zobrazhen ale kozhne otrimane zobrazhennya yavlyaye soboyu poyednannya vihidnogo zobrazhennya i filtru yakij zalezhit vid pochatkovogo zmistu vihidnogo zobrazhennya Yak naslidok anizotropna difuziya ye nelinijnoyu i prostorovo variantnoyu transformaciyeyu vihidnogo zobrazhennya U svoyemu pervisnomu formulyuvanni yake predstavlene Peronom i en v 1987 roci prostorovo variantnij filtr ce izotropiya yaka zalezhit vid zmistu zobrazhennya tak yak vona nablizhayetsya do impulsnoyi funkciyi poblizu krayiv ta inshih struktur yaki povinni buti zberezheni v zobrazhenni na riznih rivnyah v rezultati masshtabovanogo prostoru Ce formulyuvannya Perona i Malik nazivayut anizotropnoyu difuziyeyu a inshi avtori takozh neodnoridnoyu i nelinijnoyu difuziyeyu abo zh difuziyeyu Perona Malika Bilsh zagalne formulyuvannya dozvolyaye adaptovanomu do pochatkovih umov filtru buti podibnim do anizotropnih ob yektiv linijnoyi strukturi takih yak krayi abo liniyi jogo oriyentaciya zadayetsya takoyu strukturoyu sho vin vityagnutij vzdovzh konstrukciyi i vuzkij poperechnomu pererizi Taki metodi nazivayutsyaformami adaptovanogo zgladzhuvannya Yak naslidok otrimani zobrazhennya zberigayut linijni strukturi i v toj zhe chas provoditsya zgladzhuvannya uzdovzh cih struktur Obidva vipadki mozhut buti opisani za dopomogoyu uzagalnennya zvichajnogo rivnyannya difuziyi de koeficiyent difuziyi zamist togo shob buti postijnim skalyarom ye funkciyeyu poziciyi zobrazhennya i peredbachaye matrichne abo tenzorne znachennya div strukturnij tenzor Hoch otrimanu sim yu znimkiv mozhna oharakterizuvati yak poyednannya originalnogo zobrazhennya i prostorovo variantnih filtriv adaptovanij do pochatkovih umov filtr i jogo kombinaciya iz zobrazhennyam ne povinni buti realizovani na praktici Anizotropna difuziya zazvichaj realizovuyetsya za dopomogoyu aproksimaciyi uzagalnenogo rivnyannya difuziyi kozhne nove zobrazhennya v sim yi obchislyuyetsya za dopomogoyu zastosuvannya cogo rivnyannya do poperednogo zobrazhennya Otzhe anizotropna difuziya yavlyaye soboyu iteracijnij proces v yakomu vidnosno prostij nabir obchislen vikoristovuyetsya dlya obchislennya kozhnogo nastupnogo zobrazhennya v sim yi i cej proces prodovzhuyetsya do otrimannya dostatnogo stupenya gladkosti Formalne viznachennyaFormalno nehaj W R2 displaystyle Omega subset mathbb R 2 poznachaye pidmnozhinu ploshini i I t W R displaystyle I cdot t Omega rightarrow mathbb R sim ya napivtonovih zobrazhen Todi anizotropna difuziya viznachayetsya yak I t div c x y t I c I c x y t DI displaystyle frac partial I partial t mathrm div left c x y t nabla I right nabla c cdot nabla I c x y t Delta I de D displaystyle Delta poznachaye operator Laplasa displaystyle nabla poznachaye gradiyent div displaystyle mathrm div dots ce divergenciya operatora i c x y t displaystyle c x y t koeficiyent difuziyi c x y t displaystyle c x y t kontrolyuye shvidkist difuziyi i zazvichaj vibirayetsya yak funkciya gradiyenta zobrazhennya tak yak ce zberigaye krayi zobrazhennya P yetro Perona i Dzhitendra Malik vpershe predstavili ideyu anizotropnoyi difuziyi v 1990 roci i zaproponuvali dvi funkciyi dlya koeficiyenta difuziyi c I e I K 2 displaystyle c left nabla I right e left nabla I K right 2 i c I 11 I K 2 displaystyle c left nabla I right frac 1 1 left frac nabla I K right 2 konstanta K displaystyle K viznachaye chutlivist do krayiv i yak pravilo viznachayetsya eksperimentalno abo zh yak funkciya shumu na zobrazhenni MotivaciyaNehajM displaystyle M poznachaye kopiyu gladkih zobrazhen Todi difuzijni rivnyannya predstavleni vishe mozhut buti interpretovani yak rivnyannya gradiyentnogo spusku dlya minimizaciyi energiyi E M R displaystyle E M rightarrow mathbb R viznachenoyi yak E I 12 Wg I x 2 dx displaystyle E I frac 1 2 int Omega g left nabla I x 2 right dx de g R R displaystyle g mathbb R rightarrow mathbb R ye dijsnoyu funkciyeyu i yaka tisno pov yazana z koeficiyentom difuziyi Todi dlya bud yakoyi finitnoyi neskinchenno diferencijovnoyi testovoyi funkciyi h displaystyle h mayemo ddt t 0E I th ddt t 012 Wg I th x 2 dx Wg I x 2 I hdx Wdiv g I x 2 I hdx displaystyle begin aligned left frac d dt right t 0 E I th amp frac d dt big t 0 frac 1 2 int Omega g left nabla I th x 2 right dx amp int Omega g left nabla I x 2 right nabla I cdot nabla h dx amp int Omega mathrm div g left nabla I x 2 right nabla I h dx end aligned de ostannij ryadok viplivaye z bagatovimirnogo integruvannya chastinami Cherez EI displaystyle nabla E I poznachimo gradiyent E displaystyle E shodo L2 W R displaystyle L 2 Omega mathbb R pregilbertovogo prostoru ocinenij v I displaystyle I Ce daye EI div g I x 2 I displaystyle nabla E I mathrm div g left nabla I x 2 right nabla I Takim chinom gradiyentnij spusk rivnyannya zadanij yak I t EI div g I x 2 I displaystyle frac partial I partial t nabla E I mathrm div g left nabla I x 2 right nabla I Todi vzyavshi c g displaystyle c g mi otrimuyemo anizotropne rivnyannya difuziyi RegulyarizaciyaU comu rozdili bude obgovoryuvatis regulyarizaciya Perona Malika Pri takomu pidhodi nevidome skruchuyetsya z Gaussianom vseredini nelinijnosti dlya otrimannya modifikovanih rivnyan Perona Malika I t div c DGs I I displaystyle frac partial I partial t mathrm div left c DG sigma I nabla I right de Gs Cs 1 2 exp x 2 4s displaystyle G sigma C sigma left 1 2 right exp left x 2 4 sigma right Korektnist cogo rivnyannya mozhe buti dosyagnuta shlyahom regulyarizaciyi a takozh za dopomogoyu vvedennya efektu rozmitosti yakij ye osnovnim nedolikom regulyarizaciyi Neobhidno takozh mati poperedni znannya pro riven shumu oskilki vibir parametra regulyarizaciyi zalezhit vid nogo ZastosuvannyaAnizotropna difuziya mozhe buti vikoristana dlya vidalennya shumu z cifrovih zobrazhen bez rozmittya krayiv Z postijnim koeficiyentom difuziyi anizotropne rivnyannya difuziyi zvodyatsya do rivnyannya teploprovidnosti yake ekvivalentne Gausovomu rozmittyu Ce idealno pidhodit dlya vidalennya shumiv ale i bezrozbirno rozmivaye krayi tezh Koli koeficiyent difuziyi ye obranij yak funkciya dlya poshuku granici yak napriklad u Perona i Malika otrimani rivnyannya pidtrimuyut difuziyu i otzhe zgladzhuvannya useredini oblastej a takozh zaboronyati yiyi vzdovzh granic Otzhe krayi zobrazhennya mozhut buti zberezheni pid chas vidalennya shumu zobrazhennya Div takozhProstir masshtabivPrimitkiPietro Perona and November 1987 Scale space and edge detection using anisotropic diffusion Proceedings of IEEE Computer Society Workshop on Computer Vision s 16 22 Pietro Perona and July 1990 Scale space and edge detection using anisotropic diffusion IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 12 7 629 639 doi 10 1109 34 56205 Guillermo Sapiro 2001 Geometric partial differential equations and image analysis Cambridge University Press s 223 ISBN 978 0 521 79075 8 Joachim Weickert July 1997 A Review of Nonlinear Diffusion Filtering Scale Space Theory in Computer Vision Springer LNCS 1252 s 1 28 doi 10 1007 3 540 63167 4 Bernd Jahne and Horst Haussecker 2000 Computer Vision and Applications A Guide for Students and Practitioners Academic Press ISBN 0 13 085198 1 Lindeberg T Scale Space Theory in Computer Vision Kluwer Academic Publishers 1994 ISBN 0 7923 9418 6 chapter 15 Andres Almansa and Tony Lindeberg 2000 Fingerprint Enhancement by Shape Adaptation of Scale Space Operators with Automatic Scale Selection IEEE Transactions on Image Processing 9 12 2027 2042 doi 10 1109 83 887971 PMID 18262941 http www vision caltech edu 18 kvitnya 2022 u Wayback Machine PosilannyaChislove rozv yazuvannya dvovimirnih zadach advekciyi difuziyi na pryamokutnij oblastiNa cyu stattyu ne posilayutsya inshi statti Vikipediyi Bud laska rozstavte posilannya vidpovidno do prijnyatih rekomendacij