Рівняння дифузії являє собою окремий вид диференціального рівняння в часткових похідних. Буває нестаціонарним і стаціонарним.
В сенсі інтерпретації при вирішенні рівняння дифузії мова йде про знаходження залежності концентрації речовини (або інших об'єктів) від просторових координат і часу, причому заданий коефіцієнт (в загальному випадку також залежить від просторових координат і часу), що характеризує проникність середовища для дифузії. При вирішенні рівняння теплопровідності мова йде про знаходження залежності температури середовища від просторових координат і часу, причому установлено теплоємність і теплопровідність середовища (також в загальному випадку неоднорідність).
Фізично в тому і в іншому випадку передбачається відсутність або нехтування макроскопічними потокам речовини. Такими є фізичні межі застосовності цих рівнянь. Також, представляючи безперервну межа зазначених завдань (тобто не більше, ніж деяке наближення), рівняння дифузії і теплопровідності в загальному не описують статистичних флуктуацій і процесів близьких за масштабом до довжини і часу вільного пробігу, також досить сильно відхиляючись від передбачуваного точного рішення задачі в тому, що стосується кореляцій на відстанях, порівнянних (і великих) з відстанями, прохідними звуком (або вільними від опору середовища частинками при їх характерних швидкостях) в даному середовищі за цей час.
Це в переважній частині випадків відразу ж означає і те, що рівняння дифузії і теплопровідності по області застосування далекі від тих областей, де стають суттєвими квантові ефекти або кінцівку швидкості світла, тобто в переважній частині випадків не тільки по своєму висновку, але і принципово, обмежуються областю класичної ньютонівської фізики.
- Найближчим формальним, а багато в чому і змістовним, аналогом рівняння дифузії є рівняння Шредінгера, яке відрізняється від рівняння дифузії множником уявна одиниця перед похідної за часом. Багато теореми про рішення рівняння Шредінгера і навіть деякі види формального запису його рішень прямо аналогічні відповідним теоремам про рівняння дифузії і його рішеннях, проте якісно їх вирішення різняться дуже сильно.
Загальний вигляд
Рівняння зазвичай записується так:
де φ(r, t) — густина дифузійного речовини в точці r і під час t і D(φ, r) — узагальнений дифузійний коефіцієнт для щільності φ в точці r; ∇ — оператор набла. Якщо коефіцієнт дифузії залежить від щільності — рівняння нелінійно, в іншому випадку — лінійно.
Якщо D — симетрична позитивно визначений оператор, рівняння описує анізотропну дифузію: Якщо D постійне, то рівняння зводиться до лінійного диференціального рівняння:
також називається рівнянням теплопровідності.
Історія походження
Диференціальне рівняння в часткових похідних було спочатку виведено Адольфом Фиком в 1855 році.
Нестаціонарне рівняння
Нестаціонарне рівняння дифузії класифікується як параболічне диференціальне рівняння. Воно описує поширення розчиненої речовини внаслідок дифузії або перерозподіл температури тіла в результаті теплопровідності.
Одновимірний випадок
У разі одновимірного дифузійного процесу з коефіцієнтом дифузії (теплопровідності) рівняння має вигляд:
При постійному набуває вигляду:
де — концентрація дифузійної речовини, a
— функція, що описує джерела речовини (тепла).
Тривимірний випадок
В тривимірному випадку рівняння набуває вигляду:
де — оператор набла, а
— скалярний добуток. Він також може бути записано як
де — оператор Лапласа.
n-мірний випадок
-мірний випадок — пряме узагальнення наведеного вище, тільки під оператор набла, градієнтом і дивергенцією, а також під оператором Лапласа треба розуміти
-мірні версії відповідних операторів:
Це стосується і двовимірного випадку .
Мотивація
A.
Зазвичай рівняння дифузії виникає з емпіричного (або як-то теоретично отриманого) рівняння, що затверджує пропорційність потоку речовини (або теплової енергії) різниці концентрацій (температур) областей, розділених тонким шаром речовини заданої проникності, яка характеризується коефіцієнтом дифузії (або теплопровідності):
(одновимірний випадок),
(для будь-якої розмірності), у поєднанні з рівнянням безперервності, що виражає збереження речовини (або енергії):
(одновимірний випадок),
(для будь-якої розмірності), з урахуванням у випадку рівняння теплопровідності ще теплоємності (температура = щільність енергія / питома теплоємність).
- Тут джерело речовини (енергії) в правій частині опущений, але він, звичайно ж, може бути легко туди поміщений, якщо в задачі є приплив (відплив) речовини (енергії).
B.
Крім того, воно природно постає як безперервний межа аналогічного різницевого рівняння, що виникає в свою чергу при розгляді задачі про випадкове блукання на дискретній решітці (одномірної або -мірної). (Це найпростіша модель; у більш складних моделях випадкових блукань рівняння дифузії також виникає в безперервному межі). Найпростішою інтерпретацією функції
в цьому випадку служить кількість (або концентрація) частинок в даній точці (або поблизу неї), причому кожна частинка рухається незалежно від решти без пам'яті (інерції) свого минулого (у більш складному випадку — з обмеженою за часом пам'яттю).
Рішення
В одновимірному випадку фундаментальне рішення однорідного рівняння з постійним — не залежних від і
—
(за початкової умови, що виражається дельта-функцією
і граничній умові
) є
В цьому випадку можна інтерпретувати як щільність ймовірності того, що одна частинка, яка перебувала в початковий момент часу у вихідному пункті, через час
перейде в команду з координатою
. Те ж саме — з точністю до множника, що дорівнює кількості дифундують частинок — відноситься до їх концентрації, за умови відсутності або нехтуванні взаємодії дифундують частинок між собою. Тоді (при таких початкових умовах) середній квадрат видалення дифундують частинок (або відповідна характеристика розподілу температури) від початкової точки
У випадку довільного початкового розподілу загальне рішення рівняння дифузії представляється в інтегральному вигляді згортки:
Фізичні зауваження
Так як наближення, яке реалізується рівняннями дифузії і теплопровідності, принципово обмежується областю низьких швидкостей і макроскопічних масштабів (див. вище), то не дивно, що їх фундаментальне рішення на великих відстанях веде себе не дуже реалістично, формально допускаючи нескінченне поширення впливу в просторі за кінцеве час; при цьому треба зауважити, що величина цього впливу так швидко убуває з відстанню, що цей ефект, як правило, в принципі ненаблюдаем (наприклад, мова йде про концентраціях багато менше одиниці).
Втім, якщо мова йде про ситуації, коли можуть бути експериментально виміряні настільки маленькі концентрації, і це для нас суттєво, потрібно користуватися щонайменше не диференціальним, а різницевим рівнянням дифузії, а краще — і більш докладними мікроскопічної фізичної та статистичної моделями, щоб отримати більш адекватне уявлення про реальності в цих випадках.
Стаціонарне рівняння
У випадку, коли ставиться завдання по знаходженню встановленого розподілу щільності або температури (наприклад, у випадку, коли розподіл джерел не залежить від часу), з нестаціонарного рівняння викидають члени рівняння, пов'язані з часом. Тоді виходить стаціонарне рівняння теплопровідності, що відноситься до класу еліптичних рівнянь. Його загальний вигляд:
- При
, не залежному від
, стаціонарне рівняння дифузії стає рівнянням Пуассона (неоднорідне), або рівнянням Лапласа (однорідне, тобто при
):
Постановка крайових задач
- Задача з початковими умовами (задача Коші) про розподіл температури на нескінченній прямій
Якщо розглядати процес теплопровідності в дуже довгому стрижні, то протягом невеликого проміжку часу вплив температур на кордонах практично відсутня, і температура на аналізованому ділянці залежить лише від початкового розподілу температур.
Знайти рішення рівняння теплопровідності в області і
, що задовольняє умові
, де
— задана функція.
- Перша крайова задача для стрижня напівбезмежного
Якщо нас цікавить ділянку стрижня знаходиться поблизу одного кінця і значно віддалений від іншого, то ми приходимо до крайової задачі, в якій враховується вплив лише однієї з крайових умов.
Знайти рішення рівняння теплопровідності в області і
, що задовольняє умовам
де і
— задані функції.
- Крайова задача без початкових умов
Якщо момент часу, який нас цікавить досить віддалений від початкового, то має сенс знехтувати початковими умовами, оскільки їх вплив на процес з часом слабшає. Таким чином, ми приходимо до задачі, в якій задані крайові умови та відсутні початкові.
Знайти рішення рівняння теплопровідності в області і
, що задовольняє умовам
де і
— задані функції.
- Крайові задачі для обмеженого стрижня
Розглянемо наступну крайову задачу:
— рівняння теплопровідності.
Якщо , то таке рівняння називають однорідним, в іншому випадку — неоднорідним.
— початкова умова в момент часу
, температура в точці
задається функцією
.
- :
— крайові умови. Функції
і
задають значення температури в граничних точках 0 і
у будь-який момент часу
.
Залежно від виду крайових умов задачі для рівняння теплопровідності можна розбити на три типи. Розглянемо загальний випадок ().
Якщо , то таку умову називають умовою першого роду, якщо
— другого роду, а якщо
і
відмінні від нуля, то умовою третього роду. Звідси отримуємо задачі для рівняння теплопровідності — першу, другу і третю крайову.
Принцип максимуму
Нехай функція у просторі
відповідає однорідному рівнянню теплопровідності
, причому
— обмежена область. Принцип максимуму стверджує, що функція
може приймати екстремальні значення в початковий момент часу, або на межі області
>.
Див. також
Примітки
- A. Fick, Ueber Diffusion, Pogg.
Джерела
- Кухарський, В. М. (2008). Комп'ютерне моделювання засобами FEMLAB. Навчальний посібник (Українська). Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. с. 144.
Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (серпень 2019) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rivnyannya difuziyi yavlyaye soboyu okremij vid diferencialnogo rivnyannya v chastkovih pohidnih Buvaye nestacionarnim i stacionarnim V sensi interpretaciyi pri virishenni rivnyannya difuziyi mova jde pro znahodzhennya zalezhnosti koncentraciyi rechovini abo inshih ob yektiv vid prostorovih koordinat i chasu prichomu zadanij koeficiyent v zagalnomu vipadku takozh zalezhit vid prostorovih koordinat i chasu sho harakterizuye proniknist seredovisha dlya difuziyi Pri virishenni rivnyannya teploprovidnosti mova jde pro znahodzhennya zalezhnosti temperaturi seredovisha vid prostorovih koordinat i chasu prichomu ustanovleno teployemnist i teploprovidnist seredovisha takozh v zagalnomu vipadku neodnoridnist Fizichno v tomu i v inshomu vipadku peredbachayetsya vidsutnist abo nehtuvannya makroskopichnimi potokam rechovini Takimi ye fizichni mezhi zastosovnosti cih rivnyan Takozh predstavlyayuchi bezperervnu mezha zaznachenih zavdan tobto ne bilshe nizh deyake nablizhennya rivnyannya difuziyi i teploprovidnosti v zagalnomu ne opisuyut statistichnih fluktuacij i procesiv blizkih za masshtabom do dovzhini i chasu vilnogo probigu takozh dosit silno vidhilyayuchis vid peredbachuvanogo tochnogo rishennya zadachi v tomu sho stosuyetsya korelyacij na vidstanyah porivnyannih i velikih z vidstanyami prohidnimi zvukom abo vilnimi vid oporu seredovisha chastinkami pri yih harakternih shvidkostyah v danomu seredovishi za cej chas Ce v perevazhnij chastini vipadkiv vidrazu zh oznachaye i te sho rivnyannya difuziyi i teploprovidnosti po oblasti zastosuvannya daleki vid tih oblastej de stayut suttyevimi kvantovi efekti abo kincivku shvidkosti svitla tobto v perevazhnij chastini vipadkiv ne tilki po svoyemu visnovku ale i principovo obmezhuyutsya oblastyu klasichnoyi nyutonivskoyi fiziki Najblizhchim formalnim a bagato v chomu i zmistovnim analogom rivnyannya difuziyi ye rivnyannya Shredingera yake vidriznyayetsya vid rivnyannya difuziyi mnozhnikom uyavna odinicya pered pohidnoyi za chasom Bagato teoremi pro rishennya rivnyannya Shredingera i navit deyaki vidi formalnogo zapisu jogo rishen pryamo analogichni vidpovidnim teoremam pro rivnyannya difuziyi i jogo rishennyah prote yakisno yih virishennya riznyatsya duzhe silno Zagalnij viglyadRivnyannya zazvichaj zapisuyetsya tak f r t t D f r f r t displaystyle frac partial varphi mathbf r t partial t nabla cdot big D varphi mathbf r nabla varphi mathbf r t big de f r t gustina difuzijnogo rechovini v tochci r i pid chas t i D f r uzagalnenij difuzijnij koeficiyent dlya shilnosti f v tochci r operator nabla Yaksho koeficiyent difuziyi zalezhit vid shilnosti rivnyannya nelinijno v inshomu vipadku linijno Yaksho D simetrichna pozitivno viznachenij operator rivnyannya opisuye anizotropnu difuziyu Yaksho D postijne to rivnyannya zvoditsya do linijnogo diferencialnogo rivnyannya ϕ r t t D 2ϕ r t displaystyle frac partial phi mathbf r t partial t D nabla 2 phi mathbf r t takozh nazivayetsya rivnyannyam teploprovidnosti Istoriya pohodzhennyaDiferencialne rivnyannya v chastkovih pohidnih bulo spochatku vivedeno Adolfom Fikom v 1855 roci Nestacionarne rivnyannyaNestacionarne rivnyannya difuziyi klasifikuyetsya yak parabolichne diferencialne rivnyannya Vono opisuye poshirennya rozchinenoyi rechovini vnaslidok difuziyi abo pererozpodil temperaturi tila v rezultati teploprovidnosti Odnovimirnij vipadok U razi odnovimirnogo difuzijnogo procesu z koeficiyentom difuziyi teploprovidnosti D displaystyle D rivnyannya maye viglyad tc x t xD xc x t f x t displaystyle frac partial partial t c x t frac partial partial x D frac partial partial x c x t f x t Pri postijnomu D displaystyle D nabuvaye viglyadu tc x t D 2 x2c x t f x t displaystyle frac partial partial t c x t D frac partial 2 partial x 2 c x t f x t de c x t displaystyle c x t koncentraciya difuzijnoyi rechovini a f x t displaystyle f x t funkciya sho opisuye dzherela rechovini tepla Trivimirnij vipadok V trivimirnomu vipadku rivnyannya nabuvaye viglyadu tc r t D c r t f r t displaystyle frac partial partial t c vec r t nabla D nabla c vec r t f vec r t de x y z displaystyle nabla partial x partial y partial z operator nabla a displaystyle skalyarnij dobutok Vin takozh mozhe buti zapisano yak tc div Dgradc f displaystyle partial t c mathbf div D mathbf grad c f tc r t DDc r t f r t displaystyle frac partial partial t c vec r t D Delta c vec r t f vec r t de D 2 2 x2 2 y2 2 z2 displaystyle Delta nabla 2 frac partial 2 partial x 2 frac partial 2 partial y 2 frac partial 2 partial z 2 operator Laplasa n mirnij vipadok n displaystyle n mirnij vipadok pryame uzagalnennya navedenogo vishe tilki pid operator nabla gradiyentom i divergenciyeyu a takozh pid operatorom Laplasa treba rozumiti n displaystyle n mirni versiyi vidpovidnih operatoriv 1 2 n displaystyle nabla partial 1 partial 2 ldots partial n D 2 12 22 n2 displaystyle Delta nabla 2 partial 1 2 partial 2 2 ldots partial n 2 Ce stosuyetsya i dvovimirnogo vipadku n 2 displaystyle n 2 Motivaciya A Zazvichaj rivnyannya difuziyi vinikaye z empirichnogo abo yak to teoretichno otrimanogo rivnyannya sho zatverdzhuye proporcijnist potoku rechovini abo teplovoyi energiyi riznici koncentracij temperatur oblastej rozdilenih tonkim sharom rechovini zadanoyi proniknosti yaka harakterizuyetsya koeficiyentom difuziyi abo teploprovidnosti F ϰ c x displaystyle Phi varkappa frac partial c partial x odnovimirnij vipadok j ϰ c displaystyle mathbf j varkappa nabla c dlya bud yakoyi rozmirnosti u poyednanni z rivnyannyam bezperervnosti sho virazhaye zberezhennya rechovini abo energiyi c t F x 0 displaystyle frac partial c partial t frac partial Phi partial x 0 odnovimirnij vipadok c t divj 0 displaystyle frac partial c partial t mathrm div mathbf j 0 dlya bud yakoyi rozmirnosti z urahuvannyam u vipadku rivnyannya teploprovidnosti she teployemnosti temperatura shilnist energiya pitoma teployemnist Tut dzherelo rechovini energiyi v pravij chastini opushenij ale vin zvichajno zh mozhe buti legko tudi pomishenij yaksho v zadachi ye pripliv vidpliv rechovini energiyi B Krim togo vono prirodno postaye yak bezperervnij mezha analogichnogo riznicevogo rivnyannya sho vinikaye v svoyu chergu pri rozglyadi zadachi pro vipadkove blukannya na diskretnij reshitci odnomirnoyi abo n displaystyle n mirnoyi Ce najprostisha model u bilsh skladnih modelyah vipadkovih blukan rivnyannya difuziyi takozh vinikaye v bezperervnomu mezhi Najprostishoyu interpretaciyeyu funkciyi c displaystyle c v comu vipadku sluzhit kilkist abo koncentraciya chastinok v danij tochci abo poblizu neyi prichomu kozhna chastinka ruhayetsya nezalezhno vid reshti bez pam yati inerciyi svogo minulogo u bilsh skladnomu vipadku z obmezhenoyu za chasom pam yattyu Rishennya V odnovimirnomu vipadku fundamentalne rishennya odnoridnogo rivnyannya z postijnim ne zalezhnih vid x displaystyle x i t displaystyle t D displaystyle D za pochatkovoyi umovi sho virazhayetsya delta funkciyeyu cf x 0 d x displaystyle c f x 0 delta x i granichnij umovi cf t 0 displaystyle c f infty t 0 ye cf x t 14pDtexp x24Dt displaystyle c f x t sqrt frac 1 4 pi Dt exp left frac x 2 4Dt right V comu vipadku cf x t displaystyle c f x t mozhna interpretuvati yak shilnist jmovirnosti togo sho odna chastinka yaka perebuvala v pochatkovij moment chasu u vihidnomu punkti cherez chas t displaystyle t perejde v komandu z koordinatoyu x displaystyle x Te zh same z tochnistyu do mnozhnika sho dorivnyuye kilkosti difunduyut chastinok vidnositsya do yih koncentraciyi za umovi vidsutnosti abo nehtuvanni vzayemodiyi difunduyut chastinok mizh soboyu Todi pri takih pochatkovih umovah serednij kvadrat vidalennya difunduyut chastinok abo vidpovidna harakteristika rozpodilu temperaturi vid pochatkovoyi tochki x2 x2cf x t dx 2Dt displaystyle langle x 2 rangle int limits infty infty x 2 c f x t dx 2Dt U vipadku dovilnogo pochatkovogo rozpodilu c x 0 displaystyle c x 0 zagalne rishennya rivnyannya difuziyi predstavlyayetsya v integralnomu viglyadi zgortki c x t c x 0 cf x x t dx c x 0 14pDtexp x x 24Dt dx displaystyle c x t int limits infty infty c x 0 c f x x t dx int limits infty infty c x 0 frac 1 sqrt 4 pi Dt exp left frac x x 2 4Dt right dx Fizichni zauvazhennya Tak yak nablizhennya yake realizuyetsya rivnyannyami difuziyi i teploprovidnosti principovo obmezhuyetsya oblastyu nizkih shvidkostej i makroskopichnih masshtabiv div vishe to ne divno sho yih fundamentalne rishennya na velikih vidstanyah vede sebe ne duzhe realistichno formalno dopuskayuchi neskinchenne poshirennya vplivu v prostori za kinceve chas pri comu treba zauvazhiti sho velichina cogo vplivu tak shvidko ubuvaye z vidstannyu sho cej efekt yak pravilo v principi nenablyudaem napriklad mova jde pro koncentraciyah bagato menshe odinici Vtim yaksho mova jde pro situaciyi koli mozhut buti eksperimentalno vimiryani nastilki malenki koncentraciyi i ce dlya nas suttyevo potribno koristuvatisya shonajmenshe ne diferencialnim a riznicevim rivnyannyam difuziyi a krashe i bilsh dokladnimi mikroskopichnoyi fizichnoyi ta statistichnoyi modelyami shob otrimati bilsh adekvatne uyavlennya pro realnosti v cih vipadkah Stacionarne rivnyannyaU vipadku koli stavitsya zavdannya po znahodzhennyu vstanovlenogo rozpodilu shilnosti abo temperaturi napriklad u vipadku koli rozpodil dzherel ne zalezhit vid chasu z nestacionarnogo rivnyannya vikidayut chleni rivnyannya pov yazani z chasom Todi vihodit stacionarne rivnyannya teploprovidnosti sho vidnositsya do klasu eliptichnih rivnyan Jogo zagalnij viglyad D c r f r displaystyle nabla D nabla c vec r f vec r Pri D displaystyle D ne zalezhnomu vid r displaystyle vec r stacionarne rivnyannya difuziyi staye rivnyannyam Puassona neodnoridne abo rivnyannyam Laplasa odnoridne tobto pri f 0 displaystyle f 0 Dc r f r D displaystyle Delta c vec r frac f vec r D Dc r 0 displaystyle Delta c vec r 0 Postanovka krajovih zadachZadacha z pochatkovimi umovami zadacha Koshi pro rozpodil temperaturi na neskinchennij pryamij Yaksho rozglyadati proces teploprovidnosti v duzhe dovgomu strizhni to protyagom nevelikogo promizhku chasu vpliv temperatur na kordonah praktichno vidsutnya i temperatura na analizovanomu dilyanci zalezhit lishe vid pochatkovogo rozpodilu temperatur Znajti rishennya rivnyannya teploprovidnosti v oblasti x displaystyle infty leqslant x leqslant infty i t t0 displaystyle t geqslant t 0 sho zadovolnyaye umovi u x t0 f x lt x lt displaystyle u x t 0 varphi x quad infty lt x lt infty de f x displaystyle varphi x zadana funkciya Persha krajova zadacha dlya strizhnya napivbezmezhnogo Yaksho nas cikavit dilyanku strizhnya znahoditsya poblizu odnogo kincya i znachno viddalenij vid inshogo to mi prihodimo do krajovoyi zadachi v yakij vrahovuyetsya vpliv lishe odniyeyi z krajovih umov Znajti rishennya rivnyannya teploprovidnosti v oblasti x displaystyle infty leqslant x leqslant infty i t t0 displaystyle t geqslant t 0 sho zadovolnyaye umovam u x t0 f x 0 lt x lt u 0 t m t t t0 displaystyle left begin array l u x t 0 varphi x quad 0 lt x lt infty u 0 t mu t quad t geqslant t 0 end array right de f x displaystyle varphi x i m t displaystyle mu t zadani funkciyi Krajova zadacha bez pochatkovih umov Yaksho moment chasu yakij nas cikavit dosit viddalenij vid pochatkovogo to maye sens znehtuvati pochatkovimi umovami oskilki yih vpliv na proces z chasom slabshaye Takim chinom mi prihodimo do zadachi v yakij zadani krajovi umovi ta vidsutni pochatkovi Znajti rishennya rivnyannya teploprovidnosti v oblasti 0 x l displaystyle 0 leqslant x leqslant l i lt t displaystyle infty lt t sho zadovolnyaye umovam u 0 t m1 t u l t m2 t displaystyle left begin array l u 0 t mu 1 t u l t mu 2 t end array right de m1 t displaystyle mu 1 t i m2 t displaystyle mu 2 t zadani funkciyi Krajovi zadachi dlya obmezhenogo strizhnya Rozglyanemo nastupnu krajovu zadachu ut a2uxx f x t 0 lt x lt l 0 lt t T displaystyle u t a 2 u xx f x t quad 0 lt x lt l 0 lt t leqslant T rivnyannya teploprovidnosti Yaksho f x t 0 displaystyle f x t 0 to take rivnyannya nazivayut odnoridnim v inshomu vipadku neodnoridnim u x 0 f x 0 x l displaystyle u x 0 varphi x quad 0 leqslant x leqslant l pochatkova umova v moment chasu t 0 displaystyle t 0 temperatura v tochci x displaystyle x zadayetsya funkciyeyu f x displaystyle varphi x u 0 t m1 t u l t m2 t 0 t T displaystyle left begin array l u 0 t mu 1 t u l t mu 2 t end array right quad 0 leqslant t leqslant T krajovi umovi Funkciyi m1 t displaystyle mu 1 t i m2 t displaystyle mu 2 t zadayut znachennya temperaturi v granichnih tochkah 0 i l displaystyle l u bud yakij moment chasu t displaystyle t Zalezhno vid vidu krajovih umov zadachi dlya rivnyannya teploprovidnosti mozhna rozbiti na tri tipi Rozglyanemo zagalnij vipadok ai2 bi2 0 i 1 2 displaystyle alpha i 2 beta i 2 neq 0 i 1 2 a1ux 0 t b1u 0 t m1 t a2ux l t b2u l t m2 t displaystyle begin array l alpha 1 u x 0 t beta 1 u 0 t mu 1 t alpha 2 u x l t beta 2 u l t mu 2 t end array Yaksho ai 0 i 1 2 displaystyle alpha i 0 i 1 2 to taku umovu nazivayut umovoyu pershogo rodu yaksho bi 0 i 1 2 displaystyle beta i 0 i 1 2 drugogo rodu a yaksho ai displaystyle alpha i i bi displaystyle beta i vidminni vid nulya to umovoyu tretogo rodu Zvidsi otrimuyemo zadachi dlya rivnyannya teploprovidnosti pershu drugu i tretyu krajovu Princip maksimumuNehaj funkciya u x t displaystyle u x t u prostori D 0 T D Rn displaystyle D times 0 T D in mathbb R n vidpovidaye odnoridnomu rivnyannyu teploprovidnosti u t a2Du 0 displaystyle frac partial u partial t a 2 Delta u 0 prichomu D displaystyle D obmezhena oblast Princip maksimumu stverdzhuye sho funkciya u x t displaystyle u x t mozhe prijmati ekstremalni znachennya v pochatkovij moment chasu abo na mezhi oblasti D displaystyle D gt Div takozhLokalnij chasPrimitkiA Fick Ueber Diffusion Pogg DzherelaKuharskij V M 2008 Komp yuterne modelyuvannya zasobami FEMLAB Navchalnij posibnik Ukrayinska Lviv Vidavnichij centr LNU imeni Ivana Franka s 144 Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno serpen 2019