В обробці зображень та комп'ютерному баченні для подання зображення як сімейства поступово згладжених зображень можуть використовувати систему простору масштабів. Ця система дуже загальна, й існує чимало різних подань просторів масштабів. Типовий підхід до вибору конкретного типу подання простору масштабів полягає у встановленні набору масштабопросторо́вих аксіо́м (англ. scale-space axioms), які описують основні властивості бажаного масштабопросторового подання, й які часто обирають так, щоби зробити це подання корисним у практичних застосуваннях. Щойно їх встановлено, ці аксіоми звужують можливі масштабопросторові подання до меншого класу, зазвичай лише з кількома вільними параметрами.
Набір стандартних аксіом простору масштабів, обговорених нижче, дає лінійний гауссів простір масштабів, що є найпоширенішим типом просторів масштабів, який використовують в обробці зображень та комп'ютерному баченні.
Аксіоми простору масштабів для лінійного масштабопросторового подання
Лінійне подання простору масштабів сигналу , отримуване згладжуванням гауссовим ядром , задовольняє низку властивостей «масштабопросторо́вих аксіо́м» (англ. 'scale-space axioms'), які роблять його особливою формою багатомасштабного подання:
- лінійність
- де та — сигнали, тоді як та — сталі,
- інваріантність щодо зміщення
- де позначує оператор зміщення (паралельного перенесення)
- напівгрупова структура
- з пов'язаною властивістю каскадного згладжування
- існування нескінченно малого породжувача
- нестворення локальних екстремумів (перетинів нуля) в одному вимірі,
- непосилення локальних екстремумів у будь-якій кількості вимірів
- на просторових максимумах, і на просторових мінімумах,
- обертова симетрія
- для деякої функції ,
- масштабоінваріантність
- для деяких функцій та , де позначує перетворення Фур'є ,
- додатність
- ,
- нормування
- .
Насправді, можливо показати, що гауссове ядро є унікальним вибором за декількох різних комбінацій підмножин цих масштабопросторових аксіом: більшість цих аксіом (лінійність, інваріантність щодо зміщення, напівгруповість) відповідають масштабуванню як напівгрупі інваріантного щодо зміщення лінійного оператора, якому задовольняє низка сімейств інтегральних перетворень, тоді як «нестворення локальних екстремумів» для одновимірних сигналів та «непосилення локальних екстремумів» для сигналів вищих вимірностей є вирішальними аксіомами, які пов'язують простори масштабів зі згладжуванням (формально, диференціальними рівняннями параболічного типу в частинних похідних), звідси й обрання гауссіана.
Гауссове ядро також є роздільним у декартових координатах, тобто, . Проте роздільність не рахується як масштабопросторова аксіома, оскільки це властивість, залежна від координат, пов'язана з нюансами втілення. Крім того, вимога роздільності в поєднанні з обертовою симетрією як така закріплює ядро згладжування як гауссове.
Існує узагальнення гауссової масштабопросторової теорії до загальніших афінних та просторово-часових просторів масштабів. На додаток до мінливості за масштабом, для обробки якої було розроблено оригінальну масштабопросторову теорію, ця узагальнена масштабопросторова теорія (англ. generalized scale-space theory) містить також й інші типи мінливості, включно з деформаціями зображення, спричинюваними зміною точки огляду, наближуваними локальними афінними перетвореннями, та відносними рухами об'єктів світу та спостерігача, наближуваними локальними перетвореннями Галілея. У цій теорії обертова симетрія не є необхідною масштабопросторовою аксіомою, її натомість замінюють вимоги афінної та/або галілеєвої коваріантності. Узагальнена масштабопросторова теорія дає передбачення профілів рецептивних полів, які добре узгоджуються з профілями рецептивних полів, вимірюваними записуванням нейронів у біологічному зорі.
У літературі з комп'ютерного бачення, обробки зображень та обробки сигналів існує багато інших багатомасштабних підходів із використанням вейвлетів та різноманітних інших ядер, які не використовують і не висувають таких же вимог, що й описи простору масштабів; див. статтю про пов'язані Багатомасштабні підходи. Була також робота над дискретними масштабопросторовими концепціями, які переносять масштабопросторові властивості в дискретну область; приклади та посилання див. у статті про втілення простору масштабів.
Див. також
Примітки
- Koenderink, Jan "The structure of images", Biological Cybernetics, 50:363–370, 1984 (англ.)
- J. Babaud, A. P. Witkin, M. Baudin, and R. O. Duda, Uniqueness of the Gaussian kernel for scale-space filtering. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 8(1), 26–33, 1986. (англ.)
- A. Yuille, T.A. Poggio: Scaling theorems for zero crossings. IEEE Trans. Pattern Analysis & Machine Intelligence, Vol. PAMI-8, no. 1, pp. 15–25, Jan. 1986. (англ.)
- Lindeberg, T., "Scale-space for discrete signals," PAMI(12), No. 3, March 1990, pp. 234–254. [ 28 травня 2022 у Wayback Machine.] (англ.)
- Lindeberg, Tony, Scale-Space Theory in Computer Vision, Kluwer, 1994 [ 30 листопада 2020 у Wayback Machine.], (англ.)
- Pauwels, E., van Gool, L., Fiddelaers, P. and Moons, T.: An extended class of scale-invariant and recursive scale space filters, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 17, No. 7, pp. 691–701, 1995. (англ.)
- Lindeberg, T.: On the axiomatic foundations of linear scale-space: Combining semi-group structure with causality vs. scale invariance. In: J. Sporring et al. (eds.) Gaussian Scale-Space Theory: Proc. PhD School on Scale-Space Theory, (Copenhagen, Denmark, May 1996), pages 75–98, Kluwer Academic Publishers, 1997. (англ.)
- Florack, Luc, Image Structure, Kluwer Academic Publishers, 1997. (англ.)
- Weickert, J. Linear scale space has first been proposed in Japan. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 10(3):237–252, 1999. (англ.)
- Lindeberg, T. Generalized Gaussian scale-space axiomatics comprising linear scale-space, affine scale-space and spatio-temporal scale-space, Journal of Mathematical Imaging and Vision, Volume 40, Number 1, 36-81, 2011. [ 28 травня 2022 у Wayback Machine.] (англ.)
- Lindeberg, T. Generalized axiomatic scale-space theory, Advances in Imaging and Electron Physics, Elsevier, volume 178, pages 1-96, 2013. (англ.)
- Lindeberg, T. A computational theory of visual receptive fields, Biological Cybernetics, 107(6): 589-635, 2013. (англ.)
- Lindeberg, T. Invariance of visual operations at the level of receptive fields, PLoS ONE 8(7):e66990, 2013 (англ.)
- T. Lindeberg "Normative theory of visual receptive fields", Heliyon 7(1):e05897, 2021. (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V obrobci zobrazhen ta komp yuternomu bachenni dlya podannya zobrazhennya yak simejstva postupovo zgladzhenih zobrazhen mozhut vikoristovuvati sistemu prostoru masshtabiv Cya sistema duzhe zagalna j isnuye chimalo riznih podan prostoriv masshtabiv Tipovij pidhid do viboru konkretnogo tipu podannya prostoru masshtabiv polyagaye u vstanovlenni naboru masshtaboprostoro vih aksio m angl scale space axioms yaki opisuyut osnovni vlastivosti bazhanogo masshtaboprostorovogo podannya j yaki chasto obirayut tak shobi zrobiti ce podannya korisnim u praktichnih zastosuvannyah Shojno yih vstanovleno ci aksiomi zvuzhuyut mozhlivi masshtaboprostorovi podannya do menshogo klasu zazvichaj lishe z kilkoma vilnimi parametrami Prostir masshtabivMasshtaboprostorovi aksiomiVtilennya prostoru masshtabivViyavlyannya oznakViyavlyannya konturivViyavlyannya plyamViyavlyannya kutivViyavlyannya hrebtivViyavlyannya osoblivih tochokObirannya masshtabuAfinne pristosovuvannya formiMasshtaboprostorove segmentuvannya Nabir standartnih aksiom prostoru masshtabiv obgovorenih nizhche daye linijnij gaussiv prostir masshtabiv sho ye najposhirenishim tipom prostoriv masshtabiv yakij vikoristovuyut v obrobci zobrazhen ta komp yuternomu bachenni Aksiomi prostoru masshtabiv dlya linijnogo masshtaboprostorovogo podannyaLinijne podannya prostoru masshtabiv L x y t Ttf x y g x y t f x y displaystyle L x y t T t f x y g x y t f x y signalu f x y displaystyle f x y otrimuvane zgladzhuvannyam gaussovim yadrom g x y t displaystyle g x y t zadovolnyaye nizku vlastivostej masshtaboprostoro vih aksio m angl scale space axioms yaki roblyat jogo osoblivoyu formoyu bagatomasshtabnogo podannya linijnist Tt af bh aTtf bTth displaystyle T t af bh aT t f bT t h de f displaystyle f ta h displaystyle h signali todi yak a displaystyle a ta b displaystyle b stali invariantnist shodo zmishennya TtS Dx Dy f S Dx Dy Ttf displaystyle T t S Delta x Delta y f S Delta x Delta y T t f de S Dx Dy displaystyle S Delta x Delta y poznachuye operator zmishennya paralelnogo perenesennya S Dx Dy f x y f x Dx y Dy displaystyle S Delta x Delta y f x y f x Delta x y Delta y napivgrupova struktura g x y t1 g x y t2 g x y t1 t2 displaystyle g x y t 1 g x y t 2 g x y t 1 t 2 z pov yazanoyu vlastivistyu kaskadnogo zgladzhuvannya L x y t2 g x y t2 t1 L x y t1 displaystyle L x y t 2 g x y t 2 t 1 L x y t 1 isnuvannya neskinchenno malogo porodzhuvacha A displaystyle A tL x y t AL x y t displaystyle partial t L x y t AL x y t nestvorennya lokalnih ekstremumiv peretiniv nulya v odnomu vimiri neposilennya lokalnih ekstremumiv u bud yakij kilkosti vimiriv tL x y t 0 displaystyle partial t L x y t leq 0 na prostorovih maksimumah i tL x y t 0 displaystyle partial t L x y t geq 0 na prostorovih minimumah obertova simetriya g x y t h x2 y2 t displaystyle g x y t h x 2 y 2 t dlya deyakoyi funkciyi h displaystyle h masshtaboinvariantnist g wx wy t h wxf t wxf t displaystyle hat g omega x omega y t hat h frac omega x varphi t frac omega x varphi t dlya deyakih funkcij f displaystyle varphi ta h displaystyle hat h de g displaystyle hat g poznachuye peretvorennya Fur ye g displaystyle g dodatnist g x y t 0 displaystyle g x y t geq 0 normuvannya x y g x y t dxdy 1 displaystyle int x infty infty int y infty infty g x y t dx dy 1 Naspravdi mozhlivo pokazati sho gaussove yadro ye unikalnim viborom za dekilkoh riznih kombinacij pidmnozhin cih masshtaboprostorovih aksiom bilshist cih aksiom linijnist invariantnist shodo zmishennya napivgrupovist vidpovidayut masshtabuvannyu yak napivgrupi invariantnogo shodo zmishennya linijnogo operatora yakomu zadovolnyaye nizka simejstv integralnih peretvoren todi yak nestvorennya lokalnih ekstremumiv dlya odnovimirnih signaliv ta neposilennya lokalnih ekstremumiv dlya signaliv vishih vimirnostej ye virishalnimi aksiomami yaki pov yazuyut prostori masshtabiv zi zgladzhuvannyam formalno diferencialnimi rivnyannyami parabolichnogo tipu v chastinnih pohidnih zvidsi j obrannya gaussiana Gaussove yadro takozh ye rozdilnim u dekartovih koordinatah tobto g x y t g x t g y t displaystyle g x y t g x t g y t Prote rozdilnist ne rahuyetsya yak masshtaboprostorova aksioma oskilki ce vlastivist zalezhna vid koordinat pov yazana z nyuansami vtilennya Krim togo vimoga rozdilnosti v poyednanni z obertovoyu simetriyeyu yak taka zakriplyuye yadro zgladzhuvannya yak gaussove Isnuye uzagalnennya gaussovoyi masshtaboprostorovoyi teoriyi do zagalnishih afinnih ta prostorovo chasovih prostoriv masshtabiv Na dodatok do minlivosti za masshtabom dlya obrobki yakoyi bulo rozrobleno originalnu masshtaboprostorovu teoriyu cya uzagalnena masshtaboprostorova teoriya angl generalized scale space theory mistit takozh j inshi tipi minlivosti vklyuchno z deformaciyami zobrazhennya sprichinyuvanimi zminoyu tochki oglyadu nablizhuvanimi lokalnimi afinnimi peretvorennyami ta vidnosnimi ruhami ob yektiv svitu ta sposterigacha nablizhuvanimi lokalnimi peretvorennyami Galileya U cij teoriyi obertova simetriya ne ye neobhidnoyu masshtaboprostorovoyu aksiomoyu yiyi natomist zaminyuyut vimogi afinnoyi ta abo galileyevoyi kovariantnosti Uzagalnena masshtaboprostorova teoriya daye peredbachennya profiliv receptivnih poliv yaki dobre uzgodzhuyutsya z profilyami receptivnih poliv vimiryuvanimi zapisuvannyam nejroniv u biologichnomu zori U literaturi z komp yuternogo bachennya obrobki zobrazhen ta obrobki signaliv isnuye bagato inshih bagatomasshtabnih pidhodiv iz vikoristannyam vejvletiv ta riznomanitnih inshih yader yaki ne vikoristovuyut i ne visuvayut takih zhe vimog sho j opisi prostoru masshtabiv div stattyu pro pov yazani Bagatomasshtabni pidhodi Bula takozh robota nad diskretnimi masshtaboprostorovimi koncepciyami yaki perenosyat masshtaboprostorovi vlastivosti v diskretnu oblast prikladi ta posilannya div u statti pro vtilennya prostoru masshtabiv Div takozhProstir masshtabiv Vtilennya prostoru masshtabivPrimitkiKoenderink Jan The structure of images Biological Cybernetics 50 363 370 1984 angl J Babaud A P Witkin M Baudin and R O Duda Uniqueness of the Gaussian kernel for scale space filtering IEEE Trans Pattern Anal Machine Intell 8 1 26 33 1986 angl A Yuille T A Poggio Scaling theorems for zero crossings IEEE Trans Pattern Analysis amp Machine Intelligence Vol PAMI 8 no 1 pp 15 25 Jan 1986 angl Lindeberg T Scale space for discrete signals PAMI 12 No 3 March 1990 pp 234 254 28 travnya 2022 u Wayback Machine angl Lindeberg Tony Scale Space Theory in Computer Vision Kluwer 1994 30 listopada 2020 u Wayback Machine angl Pauwels E van Gool L Fiddelaers P and Moons T An extended class of scale invariant and recursive scale space filters IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence Vol 17 No 7 pp 691 701 1995 angl Lindeberg T On the axiomatic foundations of linear scale space Combining semi group structure with causality vs scale invariance In J Sporring et al eds Gaussian Scale Space Theory Proc PhD School on Scale Space Theory Copenhagen Denmark May 1996 pages 75 98 Kluwer Academic Publishers 1997 angl Florack Luc Image Structure Kluwer Academic Publishers 1997 angl Weickert J Linear scale space has first been proposed in Japan Journal of Mathematical Imaging and Vision 10 3 237 252 1999 angl Lindeberg T Generalized Gaussian scale space axiomatics comprising linear scale space affine scale space and spatio temporal scale space Journal of Mathematical Imaging and Vision Volume 40 Number 1 36 81 2011 28 travnya 2022 u Wayback Machine angl Lindeberg T Generalized axiomatic scale space theory Advances in Imaging and Electron Physics Elsevier volume 178 pages 1 96 2013 angl Lindeberg T A computational theory of visual receptive fields Biological Cybernetics 107 6 589 635 2013 angl Lindeberg T Invariance of visual operations at the level of receptive fields PLoS ONE 8 7 e66990 2013 angl T Lindeberg Normative theory of visual receptive fields Heliyon 7 1 e05897 2021 angl