В геометрії напрямок, кутове положення або положення об'єкта, такого як пряма, площина або тверде тіло є частиною опису того, як воно розташоване в просторі, яке воно займає положення. А саме, це уявне обертання, необхідне для переміщення об'єкта від початкового розташування до його поточного розташування. Обертання може бути недостатньо для досягнення поточного місця розташування. Може знадобитися додати уявне перенесення, який називається місцем знаходження об'єкта (або позицією). Місце знаходження та орієнтація повністю описують, як об'єкт розміщується у просторі. Можна вважати, що вищезгадане уявне обертання і зсув відбуваються в будь-якому порядку, оскільки орієнтація об'єкта не змінюється при його перенесенні, і його місце знаходження не змінюється, коли він обертається.
Теорема обертання Ейлера показує, що в трьох вимірах будь-яка орієнтація може бути досягнута за допомогою одного обертання навколо фіксованої осі. Це дає один загальний спосіб представлення орієнтації за допомогою [en]. Інші широко використовувані методи включають кватерніони повороту, Ейлерові кути, або матриці повороту. До більш спеціалізованого використання відносяться індекси Міллера в кристалографії, простягання і падіння пласта в геології та похил на картах і знаках.
Зазвичай, орієнтація задається щодо системи відліку, як правило, в декартовій системі координат.
Математичні представлення
Три виміри
Взагалі положення і орієнтація в просторі твердого тіла визначаються як положення і орієнтація відносно основної системи відліку або іншої системи відліку, яка фіксується відносно тіла, і, отже, разом з ним паралельно переноситься і обертається (це локальна система відліку або локальна система координат тіла). Для опису орієнтації цієї локальної системи координат необхідні принаймні три незалежних величини. Три інших величини описують положення точки об'єкта.
Всі точки тіла змінюють своє положення під час обертання, окрім тих, що розташовані на осі обертання. Якщо тверде тіло має обертову симетрію, то не всі орієнтації розрізняються, за винятком спостереження, як орієнтація змінюється з часом, починаючи з відомої початкової орієнтації. Наприклад, орієнтацію в просторі прямої, сегменту або вектору можна вказати лише за двома значеннями, наприклад, двома напрямними косинусами. Іншим прикладом є положення точки на землі, яке часто описується за допомогою орієнтації прямої, що з'єднує точку з центром Землі, виміряної за допомогою двох кутів довготи і широти. Аналогічно, орієнтація площини може бути описана двома значеннями, наприклад, можна вказати орієнтацію нормалі прямої до площини, або за допомогою кутів удару і падіння.
Подальші деталі щодо математичних методів представлення орієнтації твердих тіл і площин у трьох вимірах наведені в наступних розділах.
Два виміри
У двох вимірах орієнтація будь-якого об'єкта (пряма, вектор або плоска фігура) задається єдиним значенням: це кут, на який він повернувся. Існує лише один ступінь свободи і лише одна фіксована точка, відносно якої відбувається обертання.
Тверде тіло в трьох вимірах
Існує декілька методів опису орієнтації твердого тіла у тривимірному просторі. Вони наведені у наступних розділах.
Кути Ейлера
Перша спроба описати орієнтацію належить Леонарду Ейлеру. Він уявляв собі три системи відліку, які обертаються одна навколо іншої, і зрозумів, що, якщо почати з фіксованої системи відліку, виконати три повороти, то можна отримати будь-яку систему координат у просторі (використовується два обертання для фіксації вертикальної осі та ще одне обертання фіксує дві осі, що залишились). Значення, які відповідають кутам цих трьох поворотів називаються кутами Ейлера.
Кути Тайт-Брайана
Це три кути, також відомі як крен, рискання й тангаж, кути навігації і кути Кардана. Математично вони складають множину з шести можливостей, що входять до дванадцяти можливих наборів кутів Ейлера. У аерокосмічній техніці їх зазвичай називають кутами Ейлера.
Вектор орієнтації
Ейлер також зрозумів, що композиція двох обертів еквівалентна одному повороту навколо відмінної від них фіксованої осі (див. теорема обертання Ейлера). Тому композиція руху, утвореного за допомогою перших трьох кутів повинна бути рівною лише одному обертанню навколо осі, розрахунок якої був складним, поки не використовувався матричний запис.
На основі цього факту він запровадив спосіб опису будь-якого обертання за допомогою вектора. Сам вектор належав осі обертання, а його модуль дорівнював значенню кута обертання. Отже, будь-яка орієнтація може бути представлена вектором обертання (також званим вектором Ейлера), який задає перетворення системи відліку. При використанні для представлення орієнтації, вектор обертання зазвичай називається вектором орієнтації або вектором позиції.
Подібний метод, що називається [en], описує обертання або орієнтацію за допомогою одиничного вектору, узгодженого з віссю обертання, і окремого значення для позначення кута (див. малюнок).
Матриця орієнтації
З введенням матриць теореми Ейлера були переписані. Повороти стали описувати ортогональними матрицями, які називаються матрицями повороту. При використанні для представлення орієнтації, матриця обертання зазвичай називається матрицею орієнтації.
Вищезгаданий вектор Ейлера є власним вектором матриці повороту (матриця повороту має лише одне дійсне власне значення). Добуток двох матриць повороту — відповідає композиції поворотів. Тому, як і раніше, орієнтація може бути задана як обертання від початкової системи відліку до системи відліку, яку ми хочемо описати.
[en] об'єкта, що не є симетричним в n-вимірному просторі, буде композицією повороту та паралельного перенесення, тобто, — SO(n) Rn. Орієнтацію можна візуалізувати, якщо приєднати до об'єкта базис складений з дотичних векторів. Напрямок, в якому вказує кожен вектор, визначає його орієнтацію.
Орієнтація, яка задається кватерніоном
Інший спосіб опису поворотів полягає у використанні кватерніонів. Вони еквівалентні матрицям повороту і векторам повороту. якщо порівнювати з векторами повороту, то кватерніони можуть бути більш легко перетворені як в матриці, так і отримані з них. Коли вони використовуються для представлення орієнтацій, кватерніони повороту зазвичай називаються кватерніонами орієнтації або кватерніонами відношення.
Площина в трьох вимірах
Індекси Міллера
Прив'язка [en] — орієнтація прямої нормалі до площини, і описує площину індексів Міллера. У тривимірному сімействі площин (ряд паралельних площин) можна позначати індексами Міллера (hkl), так що сімейство площин має спільну прив'язку до всіх його складових площин.
Простягання і падіння
Падіння і простягання — елементи залягання геологічних тіл та структурних поверхонь.
Особливості залягання гірських порід, що описуються в геології, характеризують площинами або прямими, а їх орієнтацію визначають двома кутами.
Ці кути визначають між лінією тренду залягання — занурення (підняття) пласта, пачки тощо і горизонтальною площиною.
Простягання пласта — напрям лінії перетину горизонтальної площини з пластом. Сама лінія називається лінією простягання.
Падіння пласта — найбільший нахил пласта, шару, товщі, жили, а також поверхні розриву до горизонтальної площини (кут падіння) і меридіана місцевості (азимут падіння).
Приклади використання
Тверде тіло
Прив'язкою твердого тіла є його орієнтацією, яка відповідає, наприклад, орієнтації площини, закріпленої відносно тіла, щодо нерухомої системи відліку. Прив'язка описується координатами прив'язки, і складається щонайменше з трьох координат. Одна схема орієнтування твердого тіла заснована на обертанні осей тіла; послідовні обертання тричі по осях фіксованої системи відліку тіла, тим самим встановлюються кути Ейлера тіла. Інший підхід ґрунтується на кутах крену, рискання й тангажа, хоча ці терміни також відносяться до нарощуваних відхилень від номінальної прив'язки.
Див. також
Примітки
- Robert J. Twiss; Eldridge M. Moores (1992). §2.1 The orientation of structures. (вид. 2nd). Macmillan. с. 11. ISBN . Архів оригіналу за 18 серпня 2020. Процитовано 5 травня 2019.
...the attitude of a plane or a line — that is, its orientation in space — is fundamental to the description of structures.
- William Anthony Granville (1904). §178 Normal line to a surface. . Ginn & Company. с. 275. Архів оригіналу за 12 червня 2019. Процитовано 5 травня 2019.
- Augustus Edward Hough Love (1892). . Т. 1. Cambridge University Press. с. 79 ff. Архів оригіналу за 19 серпня 2020. Процитовано 5 травня 2019.
- Marcus Frederick Charles Ladd; Rex Alfred Palmer (2003). §2.3 Families of planes and interplanar spacings. (вид. 4th). Springer. с. 62 ff. ISBN . Архів оригіналу за 20 серпня 2020. Процитовано 5 травня 2019.
- Stephen Mark Rowland; Ernest M. Duebendorfer; Ilsa M. Schiefelbein (2007). Attitudes of lines and planes. (вид. 3rd). Wiley-Blackwell. с. 1 ff. ISBN . Архів оригіналу за 19 серпня 2020. Процитовано 5 травня 2019.
- Hanspeter Schaub; John L. Junkins (2003). Rigid body kinematics. . American Institute of Aeronautics and Astronautics. с. 71. ISBN . Архів оригіналу за 12 червня 2019. Процитовано 5 травня 2019.
- Jack B. Kuipers (2002). Figure 4.7: Aircraft Euler angle sequence. . Princeton University Press. с. 85. ISBN . Архів оригіналу за 18 серпня 2020. Процитовано 5 травня 2019.
- Bong Wie (1998). §5.2 Euler angles. . American Institute of Aeronautics and Astronautics. с. 310. ISBN . Архів оригіналу за 29 березня 2014. Процитовано 5 травня 2019.
- Lorenzo Sciavicco; Bruno Siciliano (2000). §2.4.2 Roll–pitch–yaw angles. (вид. 2nd). Springer. с. 32. ISBN . Архів оригіналу за 12 лютого 2020. Процитовано 5 травня 2019.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya pro oriyentaciyu abo pro polozhennya ob yekta yak ce rozumiyetsya u fizichnih naukah Pro oriyentaciyu u matematichnomu sensi div Oriyentaciya V geometriyi napryamok kutove polozhennya abo polozhennya ob yekta takogo yak pryama ploshina abo tverde tilo ye chastinoyu opisu togo yak vono roztashovane v prostori yake vono zajmaye polozhennya A same ce uyavne obertannya neobhidne dlya peremishennya ob yekta vid pochatkovogo roztashuvannya do jogo potochnogo roztashuvannya Obertannya mozhe buti nedostatno dlya dosyagnennya potochnogo miscya roztashuvannya Mozhe znadobitisya dodati uyavne perenesennya yakij nazivayetsya miscem znahodzhennya ob yekta abo poziciyeyu Misce znahodzhennya ta oriyentaciya povnistyu opisuyut yak ob yekt rozmishuyetsya u prostori Mozhna vvazhati sho vishezgadane uyavne obertannya i zsuv vidbuvayutsya v bud yakomu poryadku oskilki oriyentaciya ob yekta ne zminyuyetsya pri jogo perenesenni i jogo misce znahodzhennya ne zminyuyetsya koli vin obertayetsya Zmina oriyentaciyi tverdogo tila ye takoyu zh yak obertannya prikriplenih do nogo osej sistemi vidliku Teorema obertannya Ejlera pokazuye sho v troh vimirah bud yaka oriyentaciya mozhe buti dosyagnuta za dopomogoyu odnogo obertannya navkolo fiksovanoyi osi Ce daye odin zagalnij sposib predstavlennya oriyentaciyi za dopomogoyu en Inshi shiroko vikoristovuvani metodi vklyuchayut kvaternioni povorotu Ejlerovi kuti abo matrici povorotu Do bilsh specializovanogo vikoristannya vidnosyatsya indeksi Millera v kristalografiyi prostyagannya i padinnya plasta v geologiyi ta pohil na kartah i znakah Zazvichaj oriyentaciya zadayetsya shodo sistemi vidliku yak pravilo v dekartovij sistemi koordinat Matematichni predstavlennyaTri vimiri Vzagali polozhennya i oriyentaciya v prostori tverdogo tila viznachayutsya yak polozhennya i oriyentaciya vidnosno osnovnoyi sistemi vidliku abo inshoyi sistemi vidliku yaka fiksuyetsya vidnosno tila i otzhe razom z nim paralelno perenositsya i obertayetsya ce lokalna sistema vidliku abo lokalna sistema koordinat tila Dlya opisu oriyentaciyi ciyeyi lokalnoyi sistemi koordinat neobhidni prinajmni tri nezalezhnih velichini Tri inshih velichini opisuyut polozhennya tochki ob yekta Vsi tochki tila zminyuyut svoye polozhennya pid chas obertannya okrim tih sho roztashovani na osi obertannya Yaksho tverde tilo maye obertovu simetriyu to ne vsi oriyentaciyi rozriznyayutsya za vinyatkom sposterezhennya yak oriyentaciya zminyuyetsya z chasom pochinayuchi z vidomoyi pochatkovoyi oriyentaciyi Napriklad oriyentaciyu v prostori pryamoyi segmentu abo vektoru mozhna vkazati lishe za dvoma znachennyami napriklad dvoma napryamnimi kosinusami Inshim prikladom ye polozhennya tochki na zemli yake chasto opisuyetsya za dopomogoyu oriyentaciyi pryamoyi sho z yednuye tochku z centrom Zemli vimiryanoyi za dopomogoyu dvoh kutiv dovgoti i shiroti Analogichno oriyentaciya ploshini mozhe buti opisana dvoma znachennyami napriklad mozhna vkazati oriyentaciyu normali pryamoyi do ploshini abo za dopomogoyu kutiv udaru i padinnya Podalshi detali shodo matematichnih metodiv predstavlennya oriyentaciyi tverdih til i ploshin u troh vimirah navedeni v nastupnih rozdilah Dva vimiri U dvoh vimirah oriyentaciya bud yakogo ob yekta pryama vektor abo ploska figura zadayetsya yedinim znachennyam ce kut na yakij vin povernuvsya Isnuye lishe odin stupin svobodi i lishe odna fiksovana tochka vidnosno yakoyi vidbuvayetsya obertannya Tverde tilo v troh vimirahDokladnishe en Isnuye dekilka metodiv opisu oriyentaciyi tverdogo tila u trivimirnomu prostori Voni navedeni u nastupnih rozdilah Kuti Ejlera Dokladnishe Ejlerovi kuti Kuti Ejlera odin z mozhlivih sposobiv opisu oriyentaciyi Persha sproba opisati oriyentaciyu nalezhit Leonardu Ejleru Vin uyavlyav sobi tri sistemi vidliku yaki obertayutsya odna navkolo inshoyi i zrozumiv sho yaksho pochati z fiksovanoyi sistemi vidliku vikonati tri povoroti to mozhna otrimati bud yaku sistemu koordinat u prostori vikoristovuyetsya dva obertannya dlya fiksaciyi vertikalnoyi osi ta she odne obertannya fiksuye dvi osi sho zalishilis Znachennya yaki vidpovidayut kutam cih troh povorotiv nazivayutsya kutami Ejlera Kuti Tajt Brajana Dokladnishe Zv yazana sistema koordinat litaka Kuti Tajt Brajana Inshij sposib opisu oriyentaciyi Ce tri kuti takozh vidomi yak kren riskannya j tangazh kuti navigaciyi i kuti Kardana Matematichno voni skladayut mnozhinu z shesti mozhlivostej sho vhodyat do dvanadcyati mozhlivih naboriv kutiv Ejlera U aerokosmichnij tehnici yih zazvichaj nazivayut kutami Ejlera A obertannya predstavleno Ejlerovimi osyami i kutom Vektor oriyentaciyi Dokladnishe en Ejler takozh zrozumiv sho kompoziciya dvoh obertiv ekvivalentna odnomu povorotu navkolo vidminnoyi vid nih fiksovanoyi osi div teorema obertannya Ejlera Tomu kompoziciya ruhu utvorenogo za dopomogoyu pershih troh kutiv povinna buti rivnoyu lishe odnomu obertannyu navkolo osi rozrahunok yakoyi buv skladnim poki ne vikoristovuvavsya matrichnij zapis Na osnovi cogo faktu vin zaprovadiv sposib opisu bud yakogo obertannya za dopomogoyu vektora Sam vektor nalezhav osi obertannya a jogo modul dorivnyuvav znachennyu kuta obertannya Otzhe bud yaka oriyentaciya mozhe buti predstavlena vektorom obertannya takozh zvanim vektorom Ejlera yakij zadaye peretvorennya sistemi vidliku Pri vikoristanni dlya predstavlennya oriyentaciyi vektor obertannya zazvichaj nazivayetsya vektorom oriyentaciyi abo vektorom poziciyi Podibnij metod sho nazivayetsya en opisuye obertannya abo oriyentaciyu za dopomogoyu odinichnogo vektoru uzgodzhenogo z vissyu obertannya i okremogo znachennya dlya poznachennya kuta div malyunok Matricya oriyentaciyi Dokladnishe Matricya povorotu Z vvedennyam matric teoremi Ejlera buli perepisani Povoroti stali opisuvati ortogonalnimi matricyami yaki nazivayutsya matricyami povorotu Pri vikoristanni dlya predstavlennya oriyentaciyi matricya obertannya zazvichaj nazivayetsya matriceyu oriyentaciyi Vishezgadanij vektor Ejlera ye vlasnim vektorom matrici povorotu matricya povorotu maye lishe odne dijsne vlasne znachennya Dobutok dvoh matric povorotu vidpovidaye kompoziciyi povorotiv Tomu yak i ranishe oriyentaciya mozhe buti zadana yak obertannya vid pochatkovoyi sistemi vidliku do sistemi vidliku yaku mi hochemo opisati en ob yekta sho ne ye simetrichnim v n vimirnomu prostori bude kompoziciyeyu povorotu ta paralelnogo perenesennya tobto SO n Rn Oriyentaciyu mozhna vizualizuvati yaksho priyednati do ob yekta bazis skladenij z dotichnih vektoriv Napryamok v yakomu vkazuye kozhen vektor viznachaye jogo oriyentaciyu Oriyentaciya yaka zadayetsya kvaternionom Dokladnishe Kvaternioni i povoroti prostoru Inshij sposib opisu povorotiv polyagaye u vikoristanni kvaternioniv Voni ekvivalentni matricyam povorotu i vektoram povorotu yaksho porivnyuvati z vektorami povorotu to kvaternioni mozhut buti bilsh legko peretvoreni yak v matrici tak i otrimani z nih Koli voni vikoristovuyutsya dlya predstavlennya oriyentacij kvaternioni povorotu zazvichaj nazivayutsya kvaternionami oriyentaciyi abo kvaternionami vidnoshennya Ploshina v troh vimirahIndeksi Millera Dokladnishe Indeksi Millera Ploshini z riznimi indeksami Millera v kubichnih kristalah Priv yazka en oriyentaciya pryamoyi normali do ploshini i opisuye ploshinu indeksiv Millera U trivimirnomu simejstvi ploshin ryad paralelnih ploshin mozhna poznachati indeksami Millera hkl tak sho simejstvo ploshin maye spilnu priv yazku do vsih jogo skladovih ploshin Prostyagannya i padinnya Dokladnishe Prostyagannya ta padinnya plasta Pryama prostyagannya i padinnya ploshini yaka opisuye vidnoshennya vidnosno gorizontalnoyi ploshini i vertikalnoyi ploshini perpendikulyarnoyi liniyi prostyagannya Padinnya i prostyagannya elementi zalyagannya geologichnih til ta strukturnih poverhon Osoblivosti zalyagannya girskih porid sho opisuyutsya v geologiyi harakterizuyut ploshinami abo pryamimi a yih oriyentaciyu viznachayut dvoma kutami Ci kuti viznachayut mizh liniyeyu trendu zalyagannya zanurennya pidnyattya plasta pachki tosho i gorizontalnoyu ploshinoyu Prostyagannya plasta napryam liniyi peretinu gorizontalnoyi ploshini z plastom Sama liniya nazivayetsya liniyeyu prostyagannya Padinnya plasta najbilshij nahil plasta sharu tovshi zhili a takozh poverhni rozrivu do gorizontalnoyi ploshini kut padinnya i meridiana miscevosti azimut padinnya Prikladi vikoristannyaTverde tilo Dokladnishe Tverde tilo Oriyentaciya tverdogo tila viznachayetsya troma kutami Priv yazkoyu tverdogo tila ye jogo oriyentaciyeyu yaka vidpovidaye napriklad oriyentaciyi ploshini zakriplenoyi vidnosno tila shodo neruhomoyi sistemi vidliku Priv yazka opisuyetsya koordinatami priv yazki i skladayetsya shonajmenshe z troh koordinat Odna shema oriyentuvannya tverdogo tila zasnovana na obertanni osej tila poslidovni obertannya trichi po osyah fiksovanoyi sistemi vidliku tila tim samim vstanovlyuyutsya kuti Ejlera tila Inshij pidhid gruntuyetsya na kutah krenu riskannya j tangazha hocha ci termini takozh vidnosyatsya do naroshuvanih vidhilen vid nominalnoyi priv yazki Div takozhSistema oriyentaciyi kosmichnogo priladu Poverhnya obertannya en en PrimitkiRobert J Twiss Eldridge M Moores 1992 2 1 The orientation of structures vid 2nd Macmillan s 11 ISBN 0 7167 2252 6 Arhiv originalu za 18 serpnya 2020 Procitovano 5 travnya 2019 the attitude of a plane or a line that is its orientation in space is fundamental to the description of structures William Anthony Granville 1904 178 Normal line to a surface Ginn amp Company s 275 Arhiv originalu za 12 chervnya 2019 Procitovano 5 travnya 2019 Augustus Edward Hough Love 1892 T 1 Cambridge University Press s 79 ff Arhiv originalu za 19 serpnya 2020 Procitovano 5 travnya 2019 Marcus Frederick Charles Ladd Rex Alfred Palmer 2003 2 3 Families of planes and interplanar spacings vid 4th Springer s 62 ff ISBN 0 306 47454 9 Arhiv originalu za 20 serpnya 2020 Procitovano 5 travnya 2019 Stephen Mark Rowland Ernest M Duebendorfer Ilsa M Schiefelbein 2007 Attitudes of lines and planes vid 3rd Wiley Blackwell s 1 ff ISBN 1 4051 1652 8 Arhiv originalu za 19 serpnya 2020 Procitovano 5 travnya 2019 Hanspeter Schaub John L Junkins 2003 Rigid body kinematics American Institute of Aeronautics and Astronautics s 71 ISBN 1 56347 563 4 Arhiv originalu za 12 chervnya 2019 Procitovano 5 travnya 2019 Jack B Kuipers 2002 Figure 4 7 Aircraft Euler angle sequence Princeton University Press s 85 ISBN 0 691 10298 8 Arhiv originalu za 18 serpnya 2020 Procitovano 5 travnya 2019 Bong Wie 1998 5 2 Euler angles American Institute of Aeronautics and Astronautics s 310 ISBN 1 56347 261 9 Arhiv originalu za 29 bereznya 2014 Procitovano 5 travnya 2019 Lorenzo Sciavicco Bruno Siciliano 2000 2 4 2 Roll pitch yaw angles vid 2nd Springer s 32 ISBN 1 85233 221 2 Arhiv originalu za 12 lyutogo 2020 Procitovano 5 travnya 2019