Лінійно впорядкована множина (ланцюг) — частково впорядкована множина (множина на якій задане відношення нестрогого порядку), в якій для будь-яких двох елементів і виконується чи
Тобто, для вимога рефлексивності посилена до вимоги повноти.
Частковий випадок лінійно впорядкованої множини — цілком впорядкована множина. Іншими словами: лінійний порядок = частковий порядок з умовою повноти.
Лінійний порядок використовується в
- (теорії ґраток),
- теорії порядку,
- теорії категорій.
Ланцюг
Термін ланцюг іноді є синонімом лінійно впорядкованої множини, проте може також використовуватись для означення підмножини деякої множини з частковим порядком. Останнє означення має критичне значення у лемі Цорна.
Хай множина всіх підмножин множини цілих, частково впорядкована за відношенням підмножини (). Тоді множина
, де In - множина натуральних чисел менших за n — ланцюг, лінійно впорядокований за
:
.
Приклади
- (Кардинальні) та порядкові числа є лінійно впорядкованими (точніше цілком впорядкованими).
- Множина
дійсних чисел зі звичайним відношенням порядку є лінійно впорядкованою множиною. Це — надзвичайно важлива властивість дійсних чисел. Виявляється, що існування відношення порядку сумісного з арифметичними операціями й задовільняючого певним додатковим вимогам може буде застосовано для визначення (або характеризації) поля дійсних чисел.
- Натуральні числа, цілі числа, раціональні числа, алгебраїчні числа, ірраціональні числа тощо всі є підмножинами дійсних чисел, тому утворюють лінійно впорядковані множини зі звичайним відношенням порядку. Кожна з цих множин є єдиним прикладом найменшої лінійно впорядкованої множини, що має деяку додаткову властивість:
- Натуральні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має верхньої межі.
- Цілі числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі.
- Раціональні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі та є щільною.
- Дійсні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі та є (зв'язною).
Джерела
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
- Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет