Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ця стаття містить правописні лексичні граматичні стилістичні або інші мовні помилки які треба виправити Ви можете допомо

Кубічна пласка крива

Кубічна пласка крива
Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. Ви можете допомогти вдосконалити цю статтю, погодивши її із чинними .

У математиці, плоска кубічна крива — це алгебраїчна крива С, задана кубічним рівнянням

image
Набір кубічних кривих
F(x, y, z) = 0

в однорідних координатах x:y:z проєктивної площини. У випадку неоднорідних координат афінного простору, у рівнянні беруть z = 1. Тут F є ненульовою лінійною комбінацією одночленів третього ступеня

x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz.

Таких одночленів десять, тому кубічні криві утворюють проєктивний простір розмірності 9, відносно будь-якого даного поля К. Кожна точка P повинна належить кривій С, тобто задовольняти рівняння F. Таким чином, ми можемо знайти кубічну криву, яка проходить через будь-які дев'ять заданих точок. Вона може бути виродженою, і може бути не єдиною, але якщо точки знаходяться в загальному положенні, то крива буде унікальною і невиродженою. Це так само, як і те, що дві точки визначають пряму або [en]. Якщо дві криві проходять через задану множину точок, то вони задають сімейство кубічних кривих, а точки мають додаткові властивості; див. [en].

image
Сингулярна кубічна крива y2 = x2 ⋅ (x + 1). Параметризація: t ↦ (t2 − 1, t ⋅ (t2 − 1)).

Кубічна крива може мати сингулярну точку, в цьому випадку вона має параметризацію для проєктивної прямої. У випадку несингулярний кубічної кривої, у неї існує дев'ять точок перегину, над алгебраїчно замкнутим полем, такими як комплексні числа. Це можна показати, якщо взяти однорідну версію матриці Гессе, яка визначає іншу кубічну криву, і перетнути її з C; точки перетину потім підраховують по теоремі Безу. Проте тільки три з цих точок можуть бути дійсними, тому що інші не можуть розглядатися в дійсній проєктивній площині. Дев'ять точок перегину несингулярної кубічної кривої мають властивість, що кожна лінія, що проходить через дві з них містить рівно три точки перегину.

Дійсні точки кубічних кривих вивчалися Ісааком Ньютоном. Дійсні точки несингулярної проєктивної кривої потрапляють до одного або двох «овалів». Один з цих овалів перетинає кожну дійсну проєктивну пряму, і, таким чином, нічим не обмежений у випадку, коли крива розглядається в евклідової площині. Він існує у вигляді одної або трьох нескінченних гілок, що містять три дійсних точок перегину. Інший овал, якщо він існує, не містить жодної дійсної точку перегину і може бути або у вигляді овалу, або у вигляді двох нескінченних гілок. Як і для конічних перетинів, пряма перетинає цей овал не більше ніж у двох точках.

Несингулярна кубічна крива визначає еліптичну криву, над будь-яким полем К, для якого вона має визначену точку. Еліптичні криві тепер, зазвичай, вивчаються у вигляді еліптичних функцій Вейєрштрасса, які визначають квадратичне розширення поля раціональних функцій, зроблених шляхом добування квадратного кореня з кривої. Це залежить від наявності K-раціональної точки, яка слугує точкою на нескінченності в формі Вейерштрасса. Існує багато кубічних кривих, які не мають таку точку, наприклад, коли K — поле раціональних чисел.

Сингулярні точки нескоротної плоскої кубічної кривої достатньо обмежені: одна подвійна точка, або один злам. Скоротна плоска кубічна крива це або конічний переріз та пряма, або три прямих, і, відповідно, мають дві подвійні точки чи точку самодотику (у випадку конічного перерізу і прямої), або до трьох подвійних точок чи однієї потрійної точки (конкурентні прямі), у випадку трьох прямих.

Кубічні криві в площині трикутника

Нехай ABC - трикутник з довжинами сторін a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |. По відношенню до ABC, багато названих кубічних кривих проходять через добре відомі точки. У прикладах, наведених нижче, використовуються два види однорідних координат: трилінійні та барицентричні. Для перетворення трикутних координат у барицентричні в кубічному рівнянні слід зробити заміну наступним чином:

x ↦ bcx, y ↦ cay, z ↦ abz;

для перетворення барицентричних у трилінійні використовується:

x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.

Більшість рівнянь для кубічних кривих мають вигляд

f(a, b, c, x, y, z) + f(b, c, a, y, z, x) + f(c, a, b, z, x, y) = 0.

У наведених нижче прикладах, такі рівняння записуються більш коротко в «циклічному запису суми», тобто:

[cyclic sum f(x, y, z, a, b, c)] = 0.

Кубічні криві, перераховані нижче, можуть бути визначені в термінах ізогонального кон'югату, позначені через X*, точки Х, що не лежить на бічній лінії АВС. Побудова X* наступним чином. Нехай LA - відображення лінії XA на бісектрису внутрішнього кута А, і визначимо LB і LC аналогічно. Тоді три спроєктовані лінії сходяться в X*. В трилінійних координатах, якщо X = x:y:z, тоді X* = 1/x:1/y:1/z.

Кубика Нойберга

Трилінійне рівняння: [cyclic sum (cos A − 2 cos B cos C)x(y2 − z2)] = 0

Барицентричне рівняння: [cyclic sum (a2(b2 + c2) + (b2 − c2)2 − 2a4)x(c2y2 − b2z2)] = 0

Кубика Нойберга (названа на честь [en]) - це ГМТ X таке, що X* знаходиться на прямій EX, де E є точкою нескінченності Ейлера (X(30) в Енциклопедії центрів трикутника). Крім того, ця кубика є ГМТ X, таким, що трикутник XAXBXC є перспективним до ABC, де XAXBXC є відображенням X на прямих  BC, CA, AB, відповідно.

Кубика Нойберга проходить через наступні точки: центр вписаного кола, центр описаного кола, ортоцентр, обидві точки Ферма, обидва ізодинамічних центра, точка нескінченності Ейлера, інші центри трикутників, ексцентрики, проєкції A, B, C на бічні лінії ABC, і вершини з шести рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах ABC.

Графіки і властивості кубиків Нойберга див. K001 на Кубикі Берхарда Гіберта в площині трикутника [ 9 квітня 2017 у Wayback Machine.].

Кубика Томсона

image
Приклад кубики Томсона (чорна крива). X знаходиться на кубикі, таким чином, що ізогональний кон'югат X (X′) на прямій X(2) – X.

Трилінійне рівняння: [cyclic sum bcx(y2 − z2)] = 0

Барицентричне рівняння: [cyclic sum x(c2y2 − b2z2)] = 0

Кубика Томсона - це ГМТ X таке, що X* знаходиться на прямій GX, де G є центром ваги.

Кубика Томсона проходить через наступні точки: центр вписаного кола, центр ваги, центр описаного кола, ортоцентр, точка Лемуана, інші центри трикутників, вершини A, B, C, ексцентрики, середини сторін BC, CA, AB, і середини висот ABC. Для кожної точки Р на кубикі, але не на бічній стороні кубику, ізогональний кон'югат P також на кубику.

Графіки і властивості див. K002 на кубику в площині трикутника [ 24 липня 2012 у Wayback Machine.].

Кубика Дарбу

Трилінійне рівняння: [cyclic sum (cos A − cos B cos C)x(y2 − z2)] = 0

Барицентричне рівняння: [cyclic sum (2a2(b2 + c2) + (b2 − c2)2 − 3a4)x(c2y2 − b2z2)] = 0

Кубика Дарбу - це ГМТ X, таке, що X* лежить на прямій LX, де L = [en]. Також кубика є ГМТ X таке, що педальний трикутник від X - це чевіана деякої точки (яка лежить на кубиці Лукаса). Також ця кубика є ГМТ точки X, таким, що педальний трикутник від X і трикутник античевіани від X будуть проєкціями; перспективна точка лежить на кубиці Томсона. Для кожної точки Р на кубиці, але не на бічній стороні кубики, ізогональний кон'югат P також на кубиці.

Графіки і властивості див. K004 на кубику в площині трикутника [ 24 липня 2012 у Wayback Machine.].

Кубика Наполеона — Феєрбаха

Трилінійне рівняння: [cyclic sum cos(B − C)x(y2 − z2)] = 0

Барицентричне рівняння: [cyclic sum (a2(b2 + c2) − (b2 − c2)2)x(c2y2 − b2z2)] = 0

Кубика Наполеона — Феєрбаха - це ГМТ X*, яка належить прямій NX, де N - центр дев'яти точок (N = X(5) в Енциклопедії центрів трикутника).

Кубика Наполеона — Феєрбаха проходить через центри вписаного і описаного кіл, ортоцентр, першу і другу точки Наполеона, центри інших трикутників, вершини A, B, C, ексцентрики, проєкції центра ваги на висоти і центри 6 рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах ABC.

Графіки і властивості див. K005 на кубику в площині трикутника [ 15 квітня 2016 у Wayback Machine.].


Кубика Лукаса

Трилінійне рівняння: [cyclic sum (cos A)x(b2y2 − c2z2)] = 0

Барицентричне рівняння: [cyclic sum (b2 + c2 − a2)x(y2 − z2)] = 0

Кубика Лукаса - це ГМТ X, таке, що такий, що чевіанний трикутник X являє собою педальний трикутник деякої точки; точка лежить на кубикі Дарбу.

Кубика Лукаса проходить через центр ваги, ортоцентр, точку Жергона, точку Нагеля, de Longchamps point, центри інших трикутників, вершини антикомпліментраних трикутників і фокуси еліпса Штейнера.

Графіки і властивості див. K007 на кубику в площині трикутника [ 18 січня 2017 у Wayback Machine.].

Див. також

Посилання

  • Bix, Robert (1998), Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves, New York: Springer, ISBN .
  • Cerin, Zvonko (1998), Locus properties of the Neuberg cubic, Journal of Geometry, 63 (1–2): 39—56, doi:10.1007/BF01221237.
  • Cerin, Zvonko (1999), On the cubic of Napoleon, Journal of Geometry, 66 (1–2): 55—71, doi:10.1007/BF01225672.
  • Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1995), Some cubic curves associated with a triangle, Journal of Geometry, 53 (1–2): 41—66, doi:10.1007/BF01224039.
  • Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1999), Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1), Journal of Geometry, 66 (1–2): 72—103, doi:10.1007/BF01225673.
  • Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (2000), Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2), Journal of Geometry, 68 (1–2): 58—75, doi:10.1007/BF01221061.
  • Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), A Morley configuration, Forum Geometricorum, 1: 51—58.
  • Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), The Simson cubic, Forum Geometricorum, 1: 107—114.
  • Gibert, Bernard (2003), Orthocorrespondence and orthopivotal cubics, Forum Geometricorum, 3: 1—27.
  • Kimberling, Clark (1998), Triangle Centers and Central Triangles, Congressus Numerantium, 129: 1—295. See Chapter 8 for cubics.
  • Kimberling, Clark (2001), Cubics associated with triangles of equal areas, Forum Geometricorum, 1: 161—171.
  • Lang, Fred (2002), Geometry and group structures of some cubics, Forum Geometricorum, 2: 135—146.
  • Pinkernell, Guido M. (1996), Cubic curves in the triangle plane, Journal of Geometry, 55 (1–2): 142—161, doi:10.1007/BF01223040.
  • Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (вид. 3rd), New York: Chelea

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Cya stattya mistit pravopisni leksichni gramatichni stilistichni abo inshi movni pomilki yaki treba vipraviti Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu pogodivshi yiyi iz chinnimi movnimi standartami U matematici ploska kubichna kriva ce algebrayichna kriva S zadana kubichnim rivnyannyamNabir kubichnih krivihF x y z 0 v odnoridnih koordinatah x y z proyektivnoyi ploshini U vipadku neodnoridnih koordinat afinnogo prostoru u rivnyanni berut z 1 Tut F ye nenulovoyu linijnoyu kombinaciyeyu odnochleniv tretogo stupenya x3 y3 z3 x2y x2z y2x y2z z2x z2y xyz Takih odnochleniv desyat tomu kubichni krivi utvoryuyut proyektivnij prostir rozmirnosti 9 vidnosno bud yakogo danogo polya K Kozhna tochka P povinna nalezhit krivij S tobto zadovolnyati rivnyannya F Takim chinom mi mozhemo znajti kubichnu krivu yaka prohodit cherez bud yaki dev yat zadanih tochok Vona mozhe buti virodzhenoyu i mozhe buti ne yedinoyu ale yaksho tochki znahodyatsya v zagalnomu polozhenni to kriva bude unikalnoyu i nevirodzhenoyu Ce tak samo yak i te sho dvi tochki viznachayut pryamu abo en Yaksho dvi krivi prohodyat cherez zadanu mnozhinu tochok to voni zadayut simejstvo kubichnih krivih a tochki mayut dodatkovi vlastivosti div en Singulyarna kubichna kriva y2 x2 x 1 Parametrizaciya t t2 1 t t2 1 Kubichna kriva mozhe mati singulyarnu tochku v comu vipadku vona maye parametrizaciyu dlya proyektivnoyi pryamoyi U vipadku nesingulyarnij kubichnoyi krivoyi u neyi isnuye dev yat tochok pereginu nad algebrayichno zamknutim polem takimi yak kompleksni chisla Ce mozhna pokazati yaksho vzyati odnoridnu versiyu matrici Gesse yaka viznachaye inshu kubichnu krivu i peretnuti yiyi z C tochki peretinu potim pidrahovuyut po teoremi Bezu Prote tilki tri z cih tochok mozhut buti dijsnimi tomu sho inshi ne mozhut rozglyadatisya v dijsnij proyektivnij ploshini Dev yat tochok pereginu nesingulyarnoyi kubichnoyi krivoyi mayut vlastivist sho kozhna liniya sho prohodit cherez dvi z nih mistit rivno tri tochki pereginu Dijsni tochki kubichnih krivih vivchalisya Isaakom Nyutonom Dijsni tochki nesingulyarnoyi proyektivnoyi krivoyi potraplyayut do odnogo abo dvoh ovaliv Odin z cih ovaliv peretinaye kozhnu dijsnu proyektivnu pryamu i takim chinom nichim ne obmezhenij u vipadku koli kriva rozglyadayetsya v evklidovoyi ploshini Vin isnuye u viglyadi odnoyi abo troh neskinchennih gilok sho mistyat tri dijsnih tochok pereginu Inshij oval yaksho vin isnuye ne mistit zhodnoyi dijsnoyi tochku pereginu i mozhe buti abo u viglyadi ovalu abo u viglyadi dvoh neskinchennih gilok Yak i dlya konichnih peretiniv pryama peretinaye cej oval ne bilshe nizh u dvoh tochkah Nesingulyarna kubichna kriva viznachaye eliptichnu krivu nad bud yakim polem K dlya yakogo vona maye viznachenu tochku Eliptichni krivi teper zazvichaj vivchayutsya u viglyadi eliptichnih funkcij Vejyershtrassa yaki viznachayut kvadratichne rozshirennya polya racionalnih funkcij zroblenih shlyahom dobuvannya kvadratnogo korenya z krivoyi Ce zalezhit vid nayavnosti K racionalnoyi tochki yaka sluguye tochkoyu na neskinchennosti v formi Vejershtrassa Isnuye bagato kubichnih krivih yaki ne mayut taku tochku napriklad koli K pole racionalnih chisel Singulyarni tochki neskorotnoyi ploskoyi kubichnoyi krivoyi dostatno obmezheni odna podvijna tochka abo odin zlam Skorotna ploska kubichna kriva ce abo konichnij pereriz ta pryama abo tri pryamih i vidpovidno mayut dvi podvijni tochki chi tochku samodotiku u vipadku konichnogo pererizu i pryamoyi abo do troh podvijnih tochok chi odniyeyi potrijnoyi tochki konkurentni pryami u vipadku troh pryamih Kubichni krivi v ploshini trikutnikaNehaj ABC trikutnik z dovzhinami storin a BC b CA c AB Po vidnoshennyu do ABC bagato nazvanih kubichnih krivih prohodyat cherez dobre vidomi tochki U prikladah navedenih nizhche vikoristovuyutsya dva vidi odnoridnih koordinat trilinijni ta baricentrichni Dlya peretvorennya trikutnih koordinat u baricentrichni v kubichnomu rivnyanni slid zrobiti zaminu nastupnim chinom x bcx y cay z abz dlya peretvorennya baricentrichnih u trilinijni vikoristovuyetsya x ax y by z cz Bilshist rivnyan dlya kubichnih krivih mayut viglyad f a b c x y z f b c a y z x f c a b z x y 0 U navedenih nizhche prikladah taki rivnyannya zapisuyutsya bilsh korotko v ciklichnomu zapisu sumi tobto cyclic sum f x y z a b c 0 Kubichni krivi pererahovani nizhche mozhut buti viznacheni v terminah izogonalnogo kon yugatu poznacheni cherez X tochki H sho ne lezhit na bichnij liniyi AVS Pobudova X nastupnim chinom Nehaj LA vidobrazhennya liniyi XA na bisektrisu vnutrishnogo kuta A i viznachimo LB i LC analogichno Todi tri sproyektovani liniyi shodyatsya v X V trilinijnih koordinatah yaksho X x y z todi X 1 x 1 y 1 z Kubika Nojberga Trilinijne rivnyannya cyclic sum cos A 2 cos B cos C x y2 z2 0 Baricentrichne rivnyannya cyclic sum a2 b2 c2 b2 c2 2 2a4 x c2y2 b2z2 0 Kubika Nojberga nazvana na chest en ce GMT X take sho X znahoditsya na pryamij EX de E ye tochkoyu neskinchennosti Ejlera X 30 v Enciklopediyi centriv trikutnika Krim togo cya kubika ye GMT X takim sho trikutnik XAXBXC ye perspektivnim do ABC de XAXBXC ye vidobrazhennyam X na pryamih BC CA AB vidpovidno Kubika Nojberga prohodit cherez nastupni tochki centr vpisanogo kola centr opisanogo kola ortocentr obidvi tochki Ferma obidva izodinamichnih centra tochka neskinchennosti Ejlera inshi centri trikutnikiv ekscentriki proyekciyi A B C na bichni liniyi ABC i vershini z shesti rivnostoronnih trikutnikiv pobudovanih na storonah ABC Grafiki i vlastivosti kubikiv Nojberga div K001 na Kubiki Berharda Giberta v ploshini trikutnika 9 kvitnya 2017 u Wayback Machine Kubika Tomsona Priklad kubiki Tomsona chorna kriva X znahoditsya na kubiki takim chinom sho izogonalnij kon yugat X X na pryamij X 2 X Trilinijne rivnyannya cyclic sum bcx y2 z2 0 Baricentrichne rivnyannya cyclic sum x c2y2 b2z2 0 Kubika Tomsona ce GMT X take sho X znahoditsya na pryamij GX de G ye centrom vagi Kubika Tomsona prohodit cherez nastupni tochki centr vpisanogo kola centr vagi centr opisanogo kola ortocentr tochka Lemuana inshi centri trikutnikiv vershini A B C ekscentriki seredini storin BC CA AB i seredini visot ABC Dlya kozhnoyi tochki R na kubiki ale ne na bichnij storoni kubiku izogonalnij kon yugat P takozh na kubiku Grafiki i vlastivosti div K002 na kubiku v ploshini trikutnika 24 lipnya 2012 u Wayback Machine Kubika Darbu Trilinijne rivnyannya cyclic sum cos A cos B cos C x y2 z2 0 Baricentrichne rivnyannya cyclic sum 2a2 b2 c2 b2 c2 2 3a4 x c2y2 b2z2 0 Kubika Darbu ce GMT X take sho X lezhit na pryamij LX de L en Takozh kubika ye GMT X take sho pedalnij trikutnik vid X ce cheviana deyakoyi tochki yaka lezhit na kubici Lukasa Takozh cya kubika ye GMT tochki X takim sho pedalnij trikutnik vid X i trikutnik anticheviani vid X budut proyekciyami perspektivna tochka lezhit na kubici Tomsona Dlya kozhnoyi tochki R na kubici ale ne na bichnij storoni kubiki izogonalnij kon yugat P takozh na kubici Grafiki i vlastivosti div K004 na kubiku v ploshini trikutnika 24 lipnya 2012 u Wayback Machine Kubika Napoleona Feyerbaha Trilinijne rivnyannya cyclic sum cos B C x y2 z2 0 Baricentrichne rivnyannya cyclic sum a2 b2 c2 b2 c2 2 x c2y2 b2z2 0 Kubika Napoleona Feyerbaha ce GMT X yaka nalezhit pryamij NX de N centr dev yati tochok N X 5 v Enciklopediyi centriv trikutnika Kubika Napoleona Feyerbaha prohodit cherez centri vpisanogo i opisanogo kil ortocentr pershu i drugu tochki Napoleona centri inshih trikutnikiv vershini A B C ekscentriki proyekciyi centra vagi na visoti i centri 6 rivnostoronnih trikutnikiv pobudovanih na storonah ABC Grafiki i vlastivosti div K005 na kubiku v ploshini trikutnika 15 kvitnya 2016 u Wayback Machine Kubika Lukasa Trilinijne rivnyannya cyclic sum cos A x b2y2 c2z2 0 Baricentrichne rivnyannya cyclic sum b2 c2 a2 x y2 z2 0 Kubika Lukasa ce GMT X take sho takij sho cheviannij trikutnik X yavlyaye soboyu pedalnij trikutnik deyakoyi tochki tochka lezhit na kubiki Darbu Kubika Lukasa prohodit cherez centr vagi ortocentr tochku Zhergona tochku Nagelya de Longchamps point centri inshih trikutnikiv vershini antikomplimentranih trikutnikiv i fokusi elipsa Shtejnera Grafiki i vlastivosti div K007 na kubiku v ploshini trikutnika 18 sichnya 2017 u Wayback Machine Div takozhEliptichna kriva en en Konhoyida Slyuza Trisektrisa MaklorenaPosilannyaBix Robert 1998 Conics and Cubics A Concrete Introduction to Algebraic Curves New York Springer ISBN 0 387 98401 1 Cerin Zvonko 1998 Locus properties of the Neuberg cubic Journal of Geometry 63 1 2 39 56 doi 10 1007 BF01221237 Cerin Zvonko 1999 On the cubic of Napoleon Journal of Geometry 66 1 2 55 71 doi 10 1007 BF01225672 Cundy H M amp Parry Cyril F 1995 Some cubic curves associated with a triangle Journal of Geometry 53 1 2 41 66 doi 10 1007 BF01224039 Cundy H M amp Parry Cyril F 1999 Geometrical properties of some Euler and circular cubics part 1 Journal of Geometry 66 1 2 72 103 doi 10 1007 BF01225673 Cundy H M amp Parry Cyril F 2000 Geometrical properties of some Euler and circular cubics part 2 Journal of Geometry 68 1 2 58 75 doi 10 1007 BF01221061 Ehrmann Jean Pierre amp Gibert Bernard 2001 A Morley configuration Forum Geometricorum 1 51 58 Ehrmann Jean Pierre amp Gibert Bernard 2001 The Simson cubic Forum Geometricorum 1 107 114 Gibert Bernard 2003 Orthocorrespondence and orthopivotal cubics Forum Geometricorum 3 1 27 Kimberling Clark 1998 Triangle Centers and Central Triangles Congressus Numerantium 129 1 295 See Chapter 8 for cubics Kimberling Clark 2001 Cubics associated with triangles of equal areas Forum Geometricorum 1 161 171 Lang Fred 2002 Geometry and group structures of some cubics Forum Geometricorum 2 135 146 Pinkernell Guido M 1996 Cubic curves in the triangle plane Journal of Geometry 55 1 2 142 161 doi 10 1007 BF01223040 Salmon George 1879 Higher Plane Curves vid 3rd New York Chelea

Дата публікації:
Топ