Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
З'єднання многогранників — геометричне тіло, складене з деяких многогранників, що мають спільний центр. З'єднання є тривимірним аналогом багатокутних з'єднань, таких як гексаграма.
Зовнішні вершини з'єднання можна з'єднати, утворивши опуклий многогранник, який називають опуклою оболонкою. З'єднання є огрануванням опуклої оболонки.
Усередині з'єднання утворюється менший опуклий многогогранник, спільна частина всіх членів з'єднання. Його називають ядром набору зірчастих многогранників .
Правильні з'єднання
Правильне з'єднання многогранників можна визначити як з'єднання, яке, як і в разі правильних многогранників, є [en], реберно-транзитивним та гране-транзитивним. Існує п'ять правильних з'єднань многогранників.
| З'єднання | Малюнок | Сферичне подання | Опукла оболонка | Ядро | Симетрія | Підгрупа для одного складника | Двоїстий |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Два тетраедри (зірчастий октаедр) |  |  | Куб | Октаедр | *432 [4,3] O h | *332 [3,3] T d | Самодвоїстий |
| П'ять тетраедрів |  |  | Додекаедр | Ікосаедр | 532 [5,3] + I | 332 [3,3] + T | Енантіоморфнийхіральний двійник |
 |  | Додекаедр | Ікосаедр | *532 [5,3] I h | 332 [3,3] T | Самодвоїстий | |
| [en] |  |  | Додекаедр | Ромботриаконтаедр | *532 [5,3] I h | 3*2 [3,3] T h | П'ять октаедрів |
| [en] |  |  | Ікосододекаедр | Ікосаедр | *532 [5,3] I h | 3*2 [3,3] T h | П'ять кубів |
Найвідомішим є з'єднання двох тетраедрів. Кеплер назвав це з'єднання латиною stella octangula (зірчастий октаедр). Вершини двох тетраедрів задають куб, а їх перетин є октаедром, грані якого лежать на тих самих площинах, що й грані складових тетраедрів. Таким чином, з'єднання є зведенням до зірчастої форми октаедра і фактично його єдиним можливим зведенням.
Зірчастий октаедр можна також розглядати як двоїсто-правильне з'єднання.
З'єднання п'яти тетраедрів має дві дзеркальні версії, які разом дають з'єднання десяти тетраедрів. Всі з'єднання тетраедрів самодвоїсті, а з'єднання п'яти кубів двоїсте з'єднанню п'яти октаедрів.
Двоїсті з'єднання
Двоїсте з'єднання — це з'єднання многогранника і двоїстого йому, розташованих взаємно протилежно відносно спільної вписаної або напіввписаної сфери, так що ребро одного многогранника перетинає двоїсте ребро двоїстого многогранника. Існує п'ять таких з'єднань правильних многогранників.
| Компоненти | Малюнок | Опукла оболонка | Ядро | Симетрія |
|---|---|---|---|---|
| Два тетраедри (зірчастий октаедр) | | Куб | Октаедр | *432 [4,3] Oh |
| [en] |  | Ромбододекаедр | Кубооктаедр | *432 [4,3] Oh |
| [en] |  | Ромботріаконтаедр | Ікосододекаедр | *532 [5,3] Ih |
| [en] |  | Додекаедр | Ікосододекаедр | *532 [5,3] Ih |
| [en] |  | Ікосаедр | Додекаедр | *532 [5,3] Ih |
Тетраедр самодвоїстий, отже, двоїсте з'єднання тетраедра з двоїстим йому є також зірчастим октаедром.
Двоїсті з'єднання куб-октаедр та додекаедр-ікосаедр є ззірченнями кубооктаедра та ікосододекаедра відповідно.
З'єднання малого зірчастого додекаедра і великого додекаедра виглядає зовні як той самий малий зірчастий додекаедр, оскільки великий додекаедр міститься повністю всередині нього. Тому зображення малого зірчастого додекаедра, наведене вище, показано у вигляді реберного каркаса.
Однорідні з'єднання
1976 року Джон Скіллінг (John Skilling) опублікував статтю Однорідні з'єднання однорідних многогранників, у якій перерахував 75 з'єднань (серед них 6 нескінченних множин призматичних з'єднань, № 20-25), отриманих з однорідних многогранників за допомогою обертань. (Кожна вершина є [en].) Список включає п'ять з'єднань правильних многогранників зі списку вище[1].
Ці 75 однорідних з'єднань наведено в таблиці нижче. У більшості з'єднань різні кольори відповідають різним складникам. Деякі хіральні пари розфарбовано згідно з дзеркальною симетрією.
- 1-19: суміш (4,5,6,9,17 є п'ятьма правильними з'єднаннями)
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |
- 20-25: симетрія призм, вкладена в [en],
 |  |  |  |  |  |
- 26-45: симетрія призм, укладена в [en] або [en] симетрію,
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |  |
- 46-67: тетраедрична симетрія, вкладена в октаедричну або ікосаедричну симетрію,
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |
- 68-75: енантіоморфні пари
 |  |  |  |  |  |
 |  |
Інші з'єднання
 |  |
| З'єднання чотирьох кубів (ліворуч) не є ні правильним, ні двоїстим, ні однорідним з'єднанням. Двоїсте йому з'єднання чотирьох октаедрів (праворуч) однорідне. | |
- [en]
- З'єднання чотирьох кубів
Два многогранники, які є з'єднаннями, але їх елементи строго вкладені в [en] (з'єднання ікосаедра та великого додекаедра) і [en] (з'єднання малого зірчастого додекаедра і великого ікосаедра). Якщо прийняти узагальнене визначення однорідного багатогранника, вони будуть однорідними.
Розділ ентіаноморфних пар у списку Скіллінга не містить з'єднань двох [en], оскільки грані- пентаграми збігаються. Видалення граней, що збігаються, приведе до [en].
Чотиривимірні з'єднання
 |  |
| 75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
|---|
У чотиривимірному просторі існує багато правильних з'єднань правильних політопів. Коксетер перерахував деякі з них у своїй книзі [en].
Самодвоїсті:
| З'єднання | Симетрія |
|---|---|
| 120 п'ятикомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
Двоїсті пари:
| З'єднання 1 | З'єднання 2 | Симетрія |
|---|---|---|
| 3 шістнадцятикомірники | 3 тесеракти | [3,4,3], порядок 1152 |
| 15 шістнадцятикомірників | 15 тесерактів | [5,3,3], порядок 14400 |
| 75 шістнадцятикомірників | 75 тесерактів | [5,3,3], порядок 14400 |
| 300 шістнадцятикомірників | 300 тесерактів | [5,3,3] +, порядок 7200 |
| 600 шістнадцятикомірників | 600 тесерактів | [5,3,3], порядок 14400 |
| 25 двадцятичотирьохкомірників | 25 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
Однорідні з'єднання з опуклими чотиривимірними многогранниками:
| З'єднання 1 [en] | З'єднання 2 [en] | Симетрія |
|---|---|---|
| 2 шістнадцятикомірники | 2 тесеракти | [4,3,3], порядок 384 |
| 100 двадцятичотирьохкомірників | 100 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3] +, порядок 7200 |
| 200 двадцятичотирьохкомірників | 200 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 шестисоткомірників | 5 стодвадцятикомірників | [5,3,3] +, порядок 7200 |
| 10 шестисоткомірників | 10 стодвадцятикомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
Двоїсті позиції:
| З'єднання | Симетрія |
|---|---|
| 2 п'ятикомірники {{3,3,3}} | [[3,3,3]], порядок 240 |
| 2 двадцятичотирьохкомірників {{3,4,3}} | [[3,4,3]], порядок 2304 |
З'єднання правильних чотиривимірних многогранників
Самодвоїсті зірчасті з'єднання:
| З'єднання | Симетрія |
|---|---|
| 5 [en] | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 [en] | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 [en] | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 [en] | [5,3,3], порядок 14400 |
Двоїсті пари з'єднань зірок:
| З'єднання 1 | З'єднання 2 | Симетрія |
|---|---|---|
| 5 {3,5,5/2} | 5 {5/2,5,3} | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 {3,5,5/2} | 10 {5/2,5,3} | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 {5,5/2,3} | 5 {3,5/2,5} | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 {5,5/2,3} | 10 {3,5/2,5} | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 {5/2,3,5} | 5 {5,3,5/2} | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 {5/2,3,5} | 10 {5,3,5/2} | [5,3,3], порядок 14400 |
Однорідні з'єднання зірок :
| З'єднання 1 [en] | З'єднання 2 [en] | Симетрія |
|---|---|---|
| 5 [en] | 5 [en] | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 [en] | 10 [en] | [5,3,3], порядок 14400 |
Теорія груп
У термінах теорії груп, якщо G — група симетрії з'єднання многогранників і група діє транзитивно на многогранник (так що будь-який многогранник може перейти в будь-якій іншій, як в однорідних з'єднаннях), тоді, якщо H є (стабілізатором) одного вибраного многогранника, многогранники можна визначити за (орбітою) G/H.
З'єднання мозаїк
Існує вісімнадцять двопараметричних сімейств правильних з'єднань мозаїк на евклідовій площині. У гіперболічному просторі відомі п'ять однопараметричних сімейств та сімнадцять ізольованих мозаїк, але список не завершено.
Евклідові та гіперболічні сімейства 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, p ціле) аналогічні сферичним зірчастим октаедрам, 2 {3,3}.
| Самодвоїсті | Двоїсті | Самодвоїсті | |
|---|---|---|---|
| 2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 [en] |
 |  |  |  |
| 3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 [en] | |
 |  |  | |
Відомим сімейством правильних евклідових з'єднань стільників у просторах розмірності п'ять і вище є нескінченне сімейство [en], що мають спільні вершини та грані. Таке з'єднання може мати довільне число гіперкубічних стільників.
Існують також двоїсто-правильні з'єднання мозаїк. Простим прикладом є E2-з'єднання шестикутної мозаїки та її двоїстої трикутної. Евклідове з'єднання двох гіперкубічних стільників правильне і двоїсто правильне.
Примітки
- Skilling, 1976, с. 447–457.
- Coxeter, 1973, с. 305, Таблица VII.
- Richard Klitzing, Uniform compound Звёздчатый икосаэдр [ 2016-03-04 у Wayback Machine.]
Література
- John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79 (16 червня). — DOI:..
- P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom : Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — .
- Magnus Wenninger. Dual Models. — Cambridge : Cambridge University Press, 1983. — P. 51–53..
- Michael G. Harman. Polyhedral Compounds. — unpublished manuscript, 1974..
- Edmund Hess. Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder. — Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg. — 1876. — Т. 11. — С. 5–97.
- H.S.M Coxeter. Chapter 8: Truncation // [en]. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc, 1973. — .
- Anthony Pugh. Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — . стор. 87 Five regular compounds
Посилання
- MathWorld: Polyhedron Compound
- Compound polyhedra — від Virtual Reality Polyhedra
- Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
- Skilling's 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
- Skilling's Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
- http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
- Compound of Small Stellated Dodecahedron and Great Dodecahedron {5/2,5}+{5,5/2}
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Z yednannya mnogogrannikiv geometrichne tilo skladene z deyakih mnogogrannikiv sho mayut spilnij centr Z yednannya ye trivimirnim analogom bagatokutnih z yednan takih yak geksagrama Zovnishni vershini z yednannya mozhna z yednati utvorivshi opuklij mnogogrannik yakij nazivayut opukloyu obolonkoyu Z yednannya ye ogranuvannyam opukloyi obolonki Useredini z yednannya utvoryuyetsya menshij opuklij mnogogogrannik spilna chastina vsih chleniv z yednannya Jogo nazivayut yadrom naboru zirchastih mnogogrannikiv Pravilni z yednannyaPravilne z yednannya mnogogrannikiv mozhna viznachiti yak z yednannya yake yak i v razi pravilnih mnogogrannikiv ye en reberno tranzitivnim ta grane tranzitivnim Isnuye p yat pravilnih z yednan mnogogrannikiv Z yednannya Malyunok Sferichne podannya Opukla obolonka Yadro Simetriya Pidgrupa dlya odnogo skladnika Dvoyistij Dva tetraedri zirchastij oktaedr Kub Oktaedr 432 4 3 O h 332 3 3 T d Samodvoyistij P yat tetraedriv Dodekaedr Ikosaedr 532 5 3 I 332 3 3 T Enantiomorfnijhiralnij dvijnik Dodekaedr Ikosaedr 532 5 3 I h 332 3 3 T Samodvoyistij en Dodekaedr Rombotriakontaedr 532 5 3 I h 3 2 3 3 T h P yat oktaedriv en Ikosododekaedr Ikosaedr 532 5 3 I h 3 2 3 3 T h P yat kubiv Najvidomishim ye z yednannya dvoh tetraedriv Kepler nazvav ce z yednannya latinoyu stella octangula zirchastij oktaedr Vershini dvoh tetraedriv zadayut kub a yih peretin ye oktaedrom grani yakogo lezhat na tih samih ploshinah sho j grani skladovih tetraedriv Takim chinom z yednannya ye zvedennyam do zirchastoyi formi oktaedra i faktichno jogo yedinim mozhlivim zvedennyam Zirchastij oktaedr mozhna takozh rozglyadati yak dvoyisto pravilne z yednannya Z yednannya p yati tetraedriv maye dvi dzerkalni versiyi yaki razom dayut z yednannya desyati tetraedriv Vsi z yednannya tetraedriv samodvoyisti a z yednannya p yati kubiv dvoyiste z yednannyu p yati oktaedriv Dvoyisti z yednannyaDvoyiste z yednannya ce z yednannya mnogogrannika i dvoyistogo jomu roztashovanih vzayemno protilezhno vidnosno spilnoyi vpisanoyi abo napivvpisanoyi sferi tak sho rebro odnogo mnogogrannika peretinaye dvoyiste rebro dvoyistogo mnogogrannika Isnuye p yat takih z yednan pravilnih mnogogrannikiv Komponenti Malyunok Opukla obolonka Yadro Simetriya Dva tetraedri zirchastij oktaedr Kub Oktaedr 432 4 3 Oh en Rombododekaedr Kubooktaedr 432 4 3 Oh en Rombotriakontaedr Ikosododekaedr 532 5 3 Ih en Dodekaedr Ikosododekaedr 532 5 3 Ih en Ikosaedr Dodekaedr 532 5 3 Ih Tetraedr samodvoyistij otzhe dvoyiste z yednannya tetraedra z dvoyistim jomu ye takozh zirchastim oktaedrom Dvoyisti z yednannya kub oktaedr ta dodekaedr ikosaedr ye zzirchennyami kubooktaedra ta ikosododekaedra vidpovidno Z yednannya malogo zirchastogo dodekaedra i velikogo dodekaedra viglyadaye zovni yak toj samij malij zirchastij dodekaedr oskilki velikij dodekaedr mistitsya povnistyu vseredini nogo Tomu zobrazhennya malogo zirchastogo dodekaedra navedene vishe pokazano u viglyadi rebernogo karkasa Odnoridni z yednannya1976 roku Dzhon Skilling John Skilling opublikuvav stattyu Odnoridni z yednannya odnoridnih mnogogrannikiv u yakij pererahuvav 75 z yednan sered nih 6 neskinchennih mnozhin prizmatichnih z yednan 20 25 otrimanih z odnoridnih mnogogrannikiv za dopomogoyu obertan Kozhna vershina ye en Spisok vklyuchaye p yat z yednan pravilnih mnogogrannikiv zi spisku vishe 1 Ci 75 odnoridnih z yednan navedeno v tablici nizhche U bilshosti z yednan rizni kolori vidpovidayut riznim skladnikam Deyaki hiralni pari rozfarbovano zgidno z dzerkalnoyu simetriyeyu 1 19 sumish 4 5 6 9 17 ye p yatma pravilnimi z yednannyami 20 25 simetriya prizm vkladena v en 26 45 simetriya prizm ukladena v en abo en simetriyu 46 67 tetraedrichna simetriya vkladena v oktaedrichnu abo ikosaedrichnu simetriyu 68 75 enantiomorfni pariInshi z yednannyaZ yednannya chotiroh kubiv livoruch ne ye ni pravilnim ni dvoyistim ni odnoridnim z yednannyam Dvoyiste jomu z yednannya chotiroh oktaedriv pravoruch odnoridne en Z yednannya chotiroh kubiv Dva mnogogranniki yaki ye z yednannyami ale yih elementi strogo vkladeni v en z yednannya ikosaedra ta velikogo dodekaedra i en z yednannya malogo zirchastogo dodekaedra i velikogo ikosaedra Yaksho prijnyati uzagalnene viznachennya odnoridnogo bagatogrannika voni budut odnoridnimi Rozdil entianomorfnih par u spisku Skillinga ne mistit z yednan dvoh en oskilki grani pentagrami zbigayutsya Vidalennya granej sho zbigayutsya privede do en Chotirivimirni z yednannyaOrtogonalni proekciyi 75 4 3 3 75 3 3 4 U chotirivimirnomu prostori isnuye bagato pravilnih z yednan pravilnih politopiv Kokseter pererahuvav deyaki z nih u svoyij knizi en Samodvoyisti Z yednannya Simetriya 120 p yatikomirnikiv 5 3 3 poryadok 14400 5 dvadcyatichotirohkomirnikiv 5 3 3 poryadok 14400 Dvoyisti pari Z yednannya 1 Z yednannya 2 Simetriya 3 shistnadcyatikomirniki 3 teserakti 3 4 3 poryadok 1152 15 shistnadcyatikomirnikiv 15 teseraktiv 5 3 3 poryadok 14400 75 shistnadcyatikomirnikiv 75 teseraktiv 5 3 3 poryadok 14400 300 shistnadcyatikomirnikiv 300 teseraktiv 5 3 3 poryadok 7200 600 shistnadcyatikomirnikiv 600 teseraktiv 5 3 3 poryadok 14400 25 dvadcyatichotirohkomirnikiv 25 dvadcyatichotirohkomirnikiv 5 3 3 poryadok 14400 Odnoridni z yednannya z opuklimi chotirivimirnimi mnogogrannikami Z yednannya 1 en Z yednannya 2 en Simetriya 2 shistnadcyatikomirniki 2 teserakti 4 3 3 poryadok 384 100 dvadcyatichotirohkomirnikiv 100 dvadcyatichotirohkomirnikiv 5 3 3 poryadok 7200 200 dvadcyatichotirohkomirnikiv 200 dvadcyatichotirohkomirnikiv 5 3 3 poryadok 14400 5 shestisotkomirnikiv 5 stodvadcyatikomirnikiv 5 3 3 poryadok 7200 10 shestisotkomirnikiv 10 stodvadcyatikomirnikiv 5 3 3 poryadok 14400 Dvoyisti poziciyi Z yednannya Simetriya 2 p yatikomirniki 3 3 3 3 3 3 poryadok 240 2 dvadcyatichotirohkomirnikiv 3 4 3 3 4 3 poryadok 2304 Z yednannya pravilnih chotirivimirnih mnogogrannikiv Samodvoyisti zirchasti z yednannya Z yednannya Simetriya 5 en 5 3 3 poryadok 7200 10 en 5 3 3 poryadok 14400 5 en 5 3 3 poryadok 7200 10 en 5 3 3 poryadok 14400 Dvoyisti pari z yednan zirok Z yednannya 1 Z yednannya 2 Simetriya 5 3 5 5 2 5 5 2 5 3 5 3 3 poryadok 7200 10 3 5 5 2 10 5 2 5 3 5 3 3 poryadok 14400 5 5 5 2 3 5 3 5 2 5 5 3 3 poryadok 7200 10 5 5 2 3 10 3 5 2 5 5 3 3 poryadok 14400 5 5 2 3 5 5 5 3 5 2 5 3 3 poryadok 7200 10 5 2 3 5 10 5 3 5 2 5 3 3 poryadok 14400 Odnoridni z yednannya zirok Z yednannya 1 en Z yednannya 2 en Simetriya 5 en 5 en 5 3 3 poryadok 7200 10 en 10 en 5 3 3 poryadok 14400Teoriya grupU terminah teoriyi grup yaksho G grupa simetriyi z yednannya mnogogrannikiv i grupa diye tranzitivno na mnogogrannik tak sho bud yakij mnogogrannik mozhe perejti v bud yakij inshij yak v odnoridnih z yednannyah todi yaksho H ye stabilizatorom odnogo vibranogo mnogogrannika mnogogranniki mozhna viznachiti za orbitoyu G H Z yednannya mozayikIsnuye visimnadcyat dvoparametrichnih simejstv pravilnih z yednan mozayik na evklidovij ploshini U giperbolichnomu prostori vidomi p yat odnoparametrichnih simejstv ta simnadcyat izolovanih mozayik ale spisok ne zaversheno Evklidovi ta giperbolichni simejstva 2 p p 4 p p cile analogichni sferichnim zirchastim oktaedram 2 3 3 Deyaki prikladi evklidovih i giperbolichnih pravilnih z yednan Samodvoyisti Dvoyisti Samodvoyisti 2 4 4 2 6 3 2 3 6 2 en 3 6 3 3 3 6 3 en Vidomim simejstvom pravilnih evklidovih z yednan stilnikiv u prostorah rozmirnosti p yat i vishe ye neskinchenne simejstvo en sho mayut spilni vershini ta grani Take z yednannya mozhe mati dovilne chislo giperkubichnih stilnikiv Isnuyut takozh dvoyisto pravilni z yednannya mozayik Prostim prikladom ye E2 z yednannya shestikutnoyi mozayiki ta yiyi dvoyistoyi trikutnoyi Evklidove z yednannya dvoh giperkubichnih stilnikiv pravilne i dvoyisto pravilne PrimitkiSkilling 1976 s 447 457 Coxeter 1973 s 305 Tablica VII Richard Klitzing Uniform compound Zvyozdchatyj ikosaedr 2016 03 04 u Wayback Machine LiteraturaJohn Skilling Uniform Compounds of Uniform Polyhedra Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 1976 T 79 16 chervnya DOI 10 1017 S0305004100052440 P Cromwell Polyhedra United Kingdom Cambridge 1997 S 79 86 Archimedean solids ISBN 0 521 55432 2 Magnus Wenninger Dual Models Cambridge Cambridge University Press 1983 P 51 53 Michael G Harman Polyhedral Compounds unpublished manuscript 1974 Edmund Hess Zugleich Gleicheckigen und Gleichflachigen Polyeder Schriften der Gesellschaft zur Berorderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg 1876 T 11 S 5 97 H S M Coxeter Chapter 8 Truncation en 3rd edition New York Dover Publications Inc 1973 ISBN 0 486 61480 8 Anthony Pugh Polyhedra A visual approach California University of California Press Berkeley 1976 ISBN 0 520 03056 7 stor 87 Five regular compoundsPosilannyaMathWorld Polyhedron Compound Compound polyhedra vid Virtual Reality Polyhedra Uniform Compounds of Uniform Polyhedra Skilling s 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra Skilling s Uniform Compounds of Uniform Polyhedra http users skynet be polyhedra fleurent Compounds 2 Compounds 2 htm Compound of Small Stellated Dodecahedron and Great Dodecahedron 5 2 5 5 5 2