«Арифмети́чні дослі́дження» (лат. Disquisitiones Arithmeticae) — перша велика праця 24-річного німецького математика Карла Фрідріха Гаусса, опублікована в Лейпцигу у вересні . Ця монографія (понад 600 сторінок) стала ключовим етапом у розвитку теорії чисел; вона містила як докладний виклад результатів попередників (Ферма, Ейлер, Лагранж, Лежандр та інші), так і власні глибокі результати Гаусса. Серед останніх особливо важливими були:
- Квадратичний закон взаємності, основа теорії квадратичних лишків. Гаус першим навів його доведення.
- Теорія композиції класів та родів квадратичних форм, що стала важливим внеском у створення теорії алгебричних чисел.
- Теорія поділу кола. Це не лише приклад застосування загальних методів, але й, як далі з'ясувалося, прообраз на частковому прикладі відкритої в 1830-их роках загальної теорії Галуа.
Арифметичні дослідження | ||||
---|---|---|---|---|
лат. Disquisitiones Arithmeticae яп. ガウス整数論 | ||||
Жанр | трактат, теорія чисел і геометрія | |||
Автор | Карл Фрідріх Гаус | |||
Мова | латина | |||
Опубліковано | 1801 | |||
| ||||
Цей твір у Вікісховищі |
Праці Гаусса з «вищої арифметики» (так він називав теорію чисел) визначили розвиток цього розділу математики більш як століття. Б. М. Делоне розцінює цю працю як «розумовий подвиг» молодого вченого, який має мало рівних у світовій науці.
Стан теорії чисел наприкінці XVIII століття
Давньогрецькі математики розробили кілька тем, які стосуються теорії чисел. Вони дійшли до нас у VII—IX книгах «Начал» Евкліда (III століття до н. е.) і включали найважливіші поняття теорії подільності: ділення націло, ділення з остачею, дільник, кратне, просте число, алгоритм Евкліда для знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел.
Далі розвиток теорії чисел відновився лише через два тисячоліття. Автором нових ідей став П'єр Ферма (XVII століття). Він, зокрема, відкрив невідому древнім властивість подільності (мала теорема Ферма), що має фундаментальний характер. Дослідження Ферма продовжив та поглибив Ейлер, який заснував теорію квадратичних та інших степеневих лишків, відкрив «(тотожність Ейлера)». Декілька великих відкриттів зробив Лагранж, а Лежандр опублікував монографію «Досвід теорії чисел» (1798), перший в історії докладний виклад цього розділу математики. До кінця XVIII століття досягнуто прогресу у вивченні неперервних дробів, розв'язуванні різних типів рівнянь у цілих числах (Валліс, Ейлер, Лагранж), започатковано дослідження розподілу простих чисел (Лежандр).
Гаусс почав працювати над книгою ще в 20-річному віці (1797). Через неквапливість роботи місцевої друкарні робота розтягнулася на 4 роки; крім того, за правилом, якого він дотримувався все життя, Гаусс прагнув публікувати лише завершені дослідження, придатні для безпосереднього практичного застосування. На відміну від Лежандра, Гаус запропонував не просто перелік теорем, але систематичний виклад теорії на основі єдиних ідей та принципів. Всі розглянуті проблеми доведено до рівня алгоритму, книга містить багато чисельних прикладів, таблиць і пояснень.
Зміст книги
Книга складається з посвяти та семи розділів, поділених на параграфи, які мають наскрізну нумерацію. У посвяті Гаус висловлює подяку своєму покровителю Карлу Вільгельму Фердинанду, герцогу Брауншвейзькому.
Перші три розділи по суті не містять нових результатів, хоча в ідейно-методичному плані також становлять чималу цінність.
- Розділ 1. Про порівнянність чисел взагалі
Тут Гаусс, узагальнюючи дослідження Ейлера, вводить ключове поняття порівняння цілих чисел за модулем і зручну символіку цього відношення, що відразу вкоренилася в математиці:
Наведено властивості відношення порівняння, як близькі до відношення рівності, так і специфічні для відношення порівняння. Далі вся теорія чисел будується «мовою порівнянь». Зокрема, вперше в історії будується факторкільце класів лишків.
- Розділ 2. Про порівняння першого степеня
На початку розділу розглянуто різні властивості подільності. Серед них (у параграфі 16) вперше повністю сформульовано й доведено основну теорему арифметики — на відміну від попередників, Гаусс ясно вказує, що розклад на прості множники єдиний: «кожне складене число можна розкласти на прості співмножники тільки в один-єдиний спосіб».
Далі розглянуто розв'язок порівняння першого степеня:
та систем таких порівнянь.
- Розділ 3. Про степеневі лишки
У цьому та в наступних розділах автор переходить до порівнянь ступеня вищого від першого для простого модуля . Досліджуючи лишки, Гаусс доводить існування первісних коренів для простого модуля (в Ейлера строгого доведення цього немає). Доведено теорему Лагранжа: порівняння степеня за простим модулем має не більше не порівнянних між собою розв'язків.
- Розділ 4. Про порівняння другого степеня
Тут Гаус доводить знаменитий квадратичний закон взаємності, який заслужено назвав «золотою теоремою» (лат. theorema aureum). Вперше його формулювання дав Ейлер 1772 року (опубліковано в «Opuscula Analytica», 1783), Лежандр прийшов до цієї теореми незалежно (1788), однак довести закон ні той, ні інший не зуміли. Гаус шукав шляхи до доведення цілий рік. Закон взаємності дозволяє, зокрема, для заданого цілого числа знайти модулі, за якими є лишком (або, навпаки, нелишком).
- Розділ 5. Про форми та невизначені рівняння другого степеня
Це найширший розділ книги. На початку розділу Гаус дає ще одне доведення квадратичного закону взаємності (пізніше він запропонував ще шість, а 1832 року опублікував (без доведення) [en] для лишків 4-го степеня). Далі докладно викладено теорію квадратичних форм, яка вирішує питання, яких значень можуть набувати виразу вигляду із цілими коефіцієнтами.
Розділ складається із 4 частин:
- Класифікація, теорія подання цілих чисел бінарними квадратичними формами вигляду , розв'язування в цілих числах загального невизначеного рівняння другого степеня з двома невідомими. Ці результати вже отримано раніше, переважно Лагранжем.
- Теорія композиції класів бінарних квадратичних форм та теорія їх родів.
- Теорія тернарних квадратичних форм, що започаткувала арифметичну теорію квадратичних форм від багатьох змінних.
- Практичні застосування теорії форм: доведення теореми про роди, теорія розкладання чисел на суму трьох квадратів або трьох трикутних чисел, розв'язання невизначеного рівняння , розв'язання загального невизначеного рівняння другого степеня з двома невідомими в раціональних числах та міркування про середню кількість класів у роді.
Значна частина розділу має загальноалгебричний характер, і згодом цей матеріал перенесено в загальну теорію груп та кілець.
- Розділ 6. Різні застосування попередніх досліджень
Гаус розв'язує кілька практично важливих задач
- Розглянемо дріб де знаменник можна подати як добуток взаємно простих чисел: Тоді дріб допускає розклад:
- Теорія подання звичайних дробів періодичними десятковими дробами — докладно досліджено залежність довжини періоду від знаменника дробу, закон утворення цифр періоду, зв'язок із первісними коренями.
- Метод розв'язування порівняння , що не вимагає використання таблиць індексів.
- Метод розв'язування рівняння в цілих числах.
- Два методи перевірки, чи дане ціле число є простим.
- Розділ 7. Про рівняння, від яких залежить поділ кола
Поділ кола на рівних частин або, що еквівалентно, побудову правильного вписаного в коло -кутника, алгебрично можна описати як розв'язування рівняння поділу кола на комплексній площині. Корені цього рівняння називають «коренями з одиниці». Якщо, відповідно до античних принципів, обмежитися лише величинами, які можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, то постає питання: для яких значень така побудова можлива, і як її практично здійснити.
Гаусс уперше вичерпно розв'язав цю давню задачу. Стародавні греки вміли ділити коло на частин для таких значень
Гаусс сформулював критерій, який пізніше отримав назву «теорема Гаусса — Ванцеля»: побудова можлива тоді й лише тоді, коли можна подати у вигляді:
де — різні прості числа вигляду
Корені рівняння поділу кола завжди можна виразити «в радикалах», але, загалом, це вираження містить радикали степеня вищого за другий, а застосування циркуля та лінійки дозволяє добувати тільки квадратні корені. Тому критерій Гаусса відбирає ті й лише ті значення для яких степені радикалів не вищі від другого. Зокрема, Гаусс показав, як побудувати правильний 17-кутник, вивівши формулу:
Оскільки ця формула містить тільки квадратні корені, всі величини, що входять до неї, можна побудувати циркулем і лінійкою. Гаус пишався цим відкриттям і заповідав вигравіювати правильний 17-кутник, вписаний у коло, на своєму надгробному пам'ятнику. Він впевнено заявив, що всі спроби побудувати циркулем та лінійкою правильний семикутник, 11-кутник тощо будуть безуспішними.
В «Арифметичних дослідженнях» міститься лише доведення достатності критерію Гаусса, а доведення необхідності, за словами автора, опущено, оскільки «межі цього твору не дозволяють навести тут це доведення». Однак ні в працях, ні в архіві вченого опущене доведення не знайдено; його вперше опублікував 1836 року французький математик П'єр Лоран Ванцель.
Історичний вплив
Творцями теорії чисел історики заслужено називають Ферма та Ейлера, але творцем сучасної теорії чисел слід назвати Гаусса, ідеї якого задали напрямок подальшого розвитку теорії. Одним із головних досягнень «Арифметичних досліджень» стало поступове усвідомлення математичною спільнотою того факту, що багато проблем теорії чисел (і, як невдовзі з'ясувалося, не лише цієї теорії) пов'язані з незвичайними алгебричними структурами, властивості яких треба було вивчити. Неявно в книзі Гаусса вже використано структури груп, кілець і полів, зокрема скінченних, і вирішення викладених у книзі проблем часто полягало в урахуванні їхніх властивостей та особливостей. Вже в цій книзі Гаусс спирається на нестандартну (модулярну) арифметику; у пізніших роботах він використовує незвичну арифметику цілих комплексних (гауссових) чисел. З накопиченням матеріалу необхідність загальної теорії нових структур ставала все яснішою.
Стиль «Арифметичних досліджень» зазнав критики за (місцями) зайву стислість; проте монографію захоплено оцінив Лагранж, у його листі до Гаусса (1804 рік) говориться: «Ваші „Дослідження“ відразу ж підняли Вас до рівня перших математиків, і я вважаю, що остання частина містить найкрасивіше аналітичне відкриття серед зроблених протягом тривалого часу».
Надалі дослідження Гаусса розвинув насамперед сам Гаусс, який опублікував ще кілька праць із теорії чисел, з них особливий резонанс викликали:
- 1811: «Сумування деяких рядів особливого виду».
- 1828—1832: «Теорія біквадратичних лишків». У ній вперше з'явилися гауссові числа.
Піонерські роботи Гауса продовжив Нільс Абель, який довів неможливість розв'язання в радикалах загального рівняння п'ятого степеня. В теорії алгебричних чисел праці Гаусса продовжили Якобі, Айзенштайн і Ерміт. Якобі знайшов закон взаємності для кубічних лишків (1839) та досліджував кватернарні форми. Коші вивчив загальне невизначене тернарне кубічне рівняння (1816). У Діріхле, наступника Гаусса на геттінгенській кафедрі, «Арифметичні дослідження» були настільною книгою, з якою він майже не розлучався, і в багатьох своїх працях він розвивав ідеї Гаусса. Визначним внеском Куммера стала розробка теорії ідеалів, яка розв'язала багато алгебричних задач.
Вирішальним кроком у створенні нової алгебри стали роботи Евариста Галуа та Артура Кейлі, з яких починається формування сучасної загальної алгебри.
Публікації
Текст у мережі
- Текст у Вікітеці .
- У PDF-форматі .
Примітки
- Труды по теории чисел, 1959, с. 875—876.
- Труды по теории чисел, 1959, с. 878, 882.
- Труды по теории чисел, 1959, с. 878, 881—882.
- Клейн Ф., 1937, с. 54.
- Математика XIX века. Том I, 1978, с. 62, 82—83.
- Труды по теории чисел, 1959, с. 906.
- Б. Н. Делоне, 1959, с. 957—966.
- Обеліск на могилі Гаусса не містить цієї фігури, однак вона проглядається у формі постаменту, на якому стоїть пам'ятник, див. сайт «Могила Гаусса» (рос.).
- Математика XIX века. Том I, 1978, с. 40.
- Клейн Ф., 1937, с. 55.
- Творцы математики. — М. : Просвещение, 1979. — 256 с. з джерела 23 червня 2017
- Вилейтнер Г., 1960, с. 375—376.
Література
- Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М. : ГИФМЛ, 1960. — 468 с.
- Делоне Б. Н. Работы Гаусса по теории чисел // Карл Фридрих Гаусс. Труды по теории чисел. — М. : Изд-во АН СССР, 1959. — С. 879—976. — (Классики науки)
- Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.-Л. : ГОНТИ, 1937. — Т. I. — 432 с.
- Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М. : Наука, 1978.
- Лисана, Антонио Руфиан. Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел. Серия: Наука. Величайшие теории. Выпуск № 8. М.: DeAgostini, 2015. ISSN 2409-0069. 168 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Arifmeti chni dosli dzhennya lat Disquisitiones Arithmeticae persha velika pracya 24 richnogo nimeckogo matematika Karla Fridriha Gaussa opublikovana v Lejpcigu u veresni Cya monografiya ponad 600 storinok stala klyuchovim etapom u rozvitku teoriyi chisel vona mistila yak dokladnij viklad rezultativ poperednikiv Ferma Ejler Lagranzh Lezhandr ta inshi tak i vlasni gliboki rezultati Gaussa Sered ostannih osoblivo vazhlivimi buli Kvadratichnij zakon vzayemnosti osnova teoriyi kvadratichnih lishkiv Gaus pershim naviv jogo dovedennya Teoriya kompoziciyi klasiv ta rodiv kvadratichnih form sho stala vazhlivim vneskom u stvorennya teoriyi algebrichnih chisel Teoriya podilu kola Ce ne lishe priklad zastosuvannya zagalnih metodiv ale j yak dali z yasuvalosya proobraz na chastkovomu prikladi vidkritoyi v 1830 ih rokah zagalnoyi teoriyi Galua Arifmetichni doslidzhennyalat Disquisitiones Arithmeticae yap ガウス整数論Zhanr traktat teoriya chisel i geometriyaAvtor Karl Fridrih GausMova latinaOpublikovano 1801 Cej tvir u Vikishovishi Praci Gaussa z vishoyi arifmetiki tak vin nazivav teoriyu chisel viznachili rozvitok cogo rozdilu matematiki bilsh yak stolittya B M Delone rozcinyuye cyu pracyu yak rozumovij podvig molodogo vchenogo yakij maye malo rivnih u svitovij nauci Stan teoriyi chisel naprikinci XVIII stolittyaDavnogrecki matematiki rozrobili kilka tem yaki stosuyutsya teoriyi chisel Voni dijshli do nas u VII IX knigah Nachal Evklida III stolittya do n e i vklyuchali najvazhlivishi ponyattya teoriyi podilnosti dilennya nacilo dilennya z ostacheyu dilnik kratne proste chislo algoritm Evklida dlya znahodzhennya najbilshogo spilnogo dilnika dvoh chisel Dali rozvitok teoriyi chisel vidnovivsya lishe cherez dva tisyacholittya Avtorom novih idej stav P yer Ferma XVII stolittya Vin zokrema vidkriv nevidomu drevnim vlastivist podilnosti mala teorema Ferma sho maye fundamentalnij harakter Doslidzhennya Ferma prodovzhiv ta poglibiv Ejler yakij zasnuvav teoriyu kvadratichnih ta inshih stepenevih lishkiv vidkriv totozhnist Ejlera Dekilka velikih vidkrittiv zrobiv Lagranzh a Lezhandr opublikuvav monografiyu Dosvid teoriyi chisel 1798 pershij v istoriyi dokladnij viklad cogo rozdilu matematiki Do kincya XVIII stolittya dosyagnuto progresu u vivchenni neperervnih drobiv rozv yazuvanni riznih tipiv rivnyan u cilih chislah Vallis Ejler Lagranzh zapochatkovano doslidzhennya rozpodilu prostih chisel Lezhandr Gauss pochav pracyuvati nad knigoyu she v 20 richnomu vici 1797 Cherez nekvaplivist roboti miscevoyi drukarni robota roztyagnulasya na 4 roki krim togo za pravilom yakogo vin dotrimuvavsya vse zhittya Gauss pragnuv publikuvati lishe zaversheni doslidzhennya pridatni dlya bezposerednogo praktichnogo zastosuvannya Na vidminu vid Lezhandra Gaus zaproponuvav ne prosto perelik teorem ale sistematichnij viklad teoriyi na osnovi yedinih idej ta principiv Vsi rozglyanuti problemi dovedeno do rivnya algoritmu kniga mistit bagato chiselnih prikladiv tablic i poyasnen Zmist knigiKniga skladayetsya z posvyati ta semi rozdiliv podilenih na paragrafi yaki mayut naskriznu numeraciyu U posvyati Gaus vislovlyuye podyaku svoyemu pokrovitelyu Karlu Vilgelmu Ferdinandu gercogu Braunshvejzkomu Pershi tri rozdili po suti ne mistyat novih rezultativ hocha v idejno metodichnomu plani takozh stanovlyat chimalu cinnist Rozdil 1 Pro porivnyannist chisel vzagali Tut Gauss uzagalnyuyuchi doslidzhennya Ejlera vvodit klyuchove ponyattya porivnyannya cilih chisel za modulem i zruchnu simvoliku cogo vidnoshennya sho vidrazu vkorenilasya v matematici a b mod m displaystyle a equiv b pmod m Navedeno vlastivosti vidnoshennya porivnyannya yak blizki do vidnoshennya rivnosti tak i specifichni dlya vidnoshennya porivnyannya Dali vsya teoriya chisel buduyetsya movoyu porivnyan Zokrema vpershe v istoriyi buduyetsya faktorkilce klasiv lishkiv Rozdil 2 Pro porivnyannya pershogo stepenya Na pochatku rozdilu rozglyanuto rizni vlastivosti podilnosti Sered nih u paragrafi 16 vpershe povnistyu sformulovano j dovedeno osnovnu teoremu arifmetiki na vidminu vid poperednikiv Gauss yasno vkazuye sho rozklad na prosti mnozhniki yedinij kozhne skladene chislo mozhna rozklasti na prosti spivmnozhniki tilki v odin yedinij sposib Dali rozglyanuto rozv yazok porivnyannya pershogo stepenya a x t 0 mod p displaystyle ax t equiv 0 pmod p ta sistem takih porivnyan Rozdil 3 Pro stepenevi lishki U comu ta v nastupnih rozdilah avtor perehodit do porivnyan stupenya vishogo vid pershogo dlya prostogo modulya p displaystyle p Doslidzhuyuchi lishki Gauss dovodit isnuvannya pervisnih koreniv dlya prostogo modulya v Ejlera strogogo dovedennya cogo nemaye Dovedeno teoremu Lagranzha porivnyannya stepenya n displaystyle n za prostim modulem maye ne bilshe n displaystyle n ne porivnyannih mizh soboyu rozv yazkiv Rozdil 4 Pro porivnyannya drugogo stepenya Tut Gaus dovodit znamenitij kvadratichnij zakon vzayemnosti yakij zasluzheno nazvav zolotoyu teoremoyu lat theorema aureum Vpershe jogo formulyuvannya dav Ejler 1772 roku opublikovano v Opuscula Analytica 1783 Lezhandr prijshov do ciyeyi teoremi nezalezhno 1788 odnak dovesti zakon ni toj ni inshij ne zumili Gaus shukav shlyahi do dovedennya cilij rik Zakon vzayemnosti dozvolyaye zokrema dlya zadanogo cilogo chisla a displaystyle a znajti moduli za yakimi a displaystyle a ye lishkom abo navpaki nelishkom Rozdil 5 Pro formi ta neviznacheni rivnyannya drugogo stepenya Ce najshirshij rozdil knigi Na pochatku rozdilu Gaus daye she odne dovedennya kvadratichnogo zakonu vzayemnosti piznishe vin zaproponuvav she shist a 1832 roku opublikuvav bez dovedennya en dlya lishkiv 4 go stepenya Dali dokladno vikladeno teoriyu kvadratichnih form yaka virishuye pitannya yakih znachen mozhut nabuvati virazu viglyadu a x 2 2 b x y c y 2 displaystyle ax 2 2bxy cy 2 iz cilimi koeficiyentami Rozdil skladayetsya iz 4 chastin Klasifikaciya teoriya podannya cilih chisel binarnimi kvadratichnimi formami viglyadu a x 2 2 b x y c y 2 displaystyle ax 2 2bxy cy 2 rozv yazuvannya v cilih chislah zagalnogo neviznachenogo rivnyannya drugogo stepenya z dvoma nevidomimi Ci rezultati vzhe otrimano ranishe perevazhno Lagranzhem Teoriya kompoziciyi klasiv binarnih kvadratichnih form ta teoriya yih rodiv Teoriya ternarnih kvadratichnih form sho zapochatkuvala arifmetichnu teoriyu kvadratichnih form vid bagatoh zminnih Praktichni zastosuvannya teoriyi form dovedennya teoremi pro rodi teoriya rozkladannya chisel na sumu troh kvadrativ abo troh trikutnih chisel rozv yazannya neviznachenogo rivnyannya a x 2 b y 2 c z 2 0 displaystyle ax 2 by 2 cz 2 0 rozv yazannya zagalnogo neviznachenogo rivnyannya drugogo stepenya z dvoma nevidomimi v racionalnih chislah ta mirkuvannya pro serednyu kilkist klasiv u rodi Znachna chastina rozdilu maye zagalnoalgebrichnij harakter i zgodom cej material pereneseno v zagalnu teoriyu grup ta kilec Rozdil 6 Rizni zastosuvannya poperednih doslidzhen Gaus rozv yazuye kilka praktichno vazhlivih zadach Rozglyanemo drib m n displaystyle frac m n de znamennik n displaystyle n mozhna podati yak dobutok vzayemno prostih chisel n a b c displaystyle n abc dots Todi drib dopuskaye rozklad m n u a v b w c displaystyle frac m n frac u a frac v b frac w c dots Teoriya podannya zvichajnih drobiv periodichnimi desyatkovimi drobami dokladno doslidzheno zalezhnist dovzhini periodu vid znamennika drobu zakon utvorennya cifr periodu zv yazok iz pervisnimi korenyami Metod rozv yazuvannya porivnyannya x 2 a mod m displaystyle x 2 equiv a pmod m sho ne vimagaye vikoristannya tablic indeksiv Metod rozv yazuvannya rivnyannya m x 2 n y 2 a displaystyle mx 2 ny 2 a v cilih chislah Dva metodi perevirki chi dane cile chislo ye prostim Rozdil 7 Pro rivnyannya vid yakih zalezhit podil kola Podil kola na n displaystyle n rivnih chastin abo sho ekvivalentno pobudovu pravilnogo vpisanogo v kolo n displaystyle n kutnika algebrichno mozhna opisati yak rozv yazuvannya rivnyannya podilu kola x n 1 0 displaystyle x n 1 0 na kompleksnij ploshini Koreni cogo rivnyannya nazivayut korenyami z odinici Yaksho vidpovidno do antichnih principiv obmezhitisya lishe velichinami yaki mozhna pobuduvati za dopomogoyu cirkulya ta linijki to postaye pitannya dlya yakih znachen n displaystyle n taka pobudova mozhliva i yak yiyi praktichno zdijsniti Gauss upershe vicherpno rozv yazav cyu davnyu zadachu Starodavni greki vmili diliti kolo na n displaystyle n chastin dlya takih znachen n displaystyle n 2 k 3 2 k 5 2 k 15 2 k displaystyle 2 k quad 3 cdot 2 k quad 5 cdot 2 k quad 15 cdot 2 k Gauss sformulyuvav kriterij yakij piznishe otrimav nazvu teorema Gaussa Vancelya pobudova mozhliva todi j lishe todi koli n displaystyle n mozhna podati u viglyadi n p 1 p 2 p t 2 k displaystyle n p 1 p 2 dots p t cdot 2 k de p 1 p 2 p t displaystyle p 1 p 2 dots p t rizni prosti chisla viglyadu 2 m 1 displaystyle 2 m 1 Koreni rivnyannya podilu kola zavzhdi mozhna viraziti v radikalah ale zagalom ce virazhennya mistit radikali stepenya vishogo za drugij a zastosuvannya cirkulya ta linijki dozvolyaye dobuvati tilki kvadratni koreni Tomu kriterij Gaussa vidbiraye ti j lishe ti znachennya n displaystyle n dlya yakih stepeni radikaliv ne vishi vid drugogo Zokrema Gauss pokazav yak pobuduvati pravilnij 17 kutnik vivivshi formulu cos 360 17 1 16 1 17 2 17 17 2 17 3 17 2 17 17 2 2 17 17 displaystyle cos frac 360 circ 17 frac 1 16 left 1 sqrt 17 sqrt 2 left 17 sqrt 17 right 2 sqrt 17 3 sqrt 17 sqrt 2 left 17 sqrt 17 right 2 sqrt 2 left 17 sqrt 17 right right Oskilki cya formula mistit tilki kvadratni koreni vsi velichini sho vhodyat do neyi mozhna pobuduvati cirkulem i linijkoyu Gaus pishavsya cim vidkrittyam i zapovidav vigraviyuvati pravilnij 17 kutnik vpisanij u kolo na svoyemu nadgrobnomu pam yatniku Vin vpevneno zayaviv sho vsi sprobi pobuduvati cirkulem ta linijkoyu pravilnij semikutnik 11 kutnik tosho budut bezuspishnimi V Arifmetichnih doslidzhennyah mistitsya lishe dovedennya dostatnosti kriteriyu Gaussa a dovedennya neobhidnosti za slovami avtora opusheno oskilki mezhi cogo tvoru ne dozvolyayut navesti tut ce dovedennya Odnak ni v pracyah ni v arhivi vchenogo opushene dovedennya ne znajdeno jogo vpershe opublikuvav 1836 roku francuzkij matematik P yer Loran Vancel Istorichnij vplivGauss u 1803 roci Tvorcyami teoriyi chisel istoriki zasluzheno nazivayut Ferma ta Ejlera ale tvorcem suchasnoyi teoriyi chisel slid nazvati Gaussa ideyi yakogo zadali napryamok podalshogo rozvitku teoriyi Odnim iz golovnih dosyagnen Arifmetichnih doslidzhen stalo postupove usvidomlennya matematichnoyu spilnotoyu togo faktu sho bagato problem teoriyi chisel i yak nevdovzi z yasuvalosya ne lishe ciyeyi teoriyi pov yazani z nezvichajnimi algebrichnimi strukturami vlastivosti yakih treba bulo vivchiti Neyavno v knizi Gaussa vzhe vikoristano strukturi grup kilec i poliv zokrema skinchennih i virishennya vikladenih u knizi problem chasto polyagalo v urahuvanni yihnih vlastivostej ta osoblivostej Vzhe v cij knizi Gauss spirayetsya na nestandartnu modulyarnu arifmetiku u piznishih robotah vin vikoristovuye nezvichnu arifmetiku cilih kompleksnih gaussovih chisel Z nakopichennyam materialu neobhidnist zagalnoyi teoriyi novih struktur stavala vse yasnishoyu Stil Arifmetichnih doslidzhen zaznav kritiki za miscyami zajvu stislist prote monografiyu zahopleno ociniv Lagranzh u jogo listi do Gaussa 1804 rik govoritsya Vashi Doslidzhennya vidrazu zh pidnyali Vas do rivnya pershih matematikiv i ya vvazhayu sho ostannya chastina mistit najkrasivishe analitichne vidkrittya sered zroblenih protyagom trivalogo chasu Nadali doslidzhennya Gaussa rozvinuv nasampered sam Gauss yakij opublikuvav she kilka prac iz teoriyi chisel z nih osoblivij rezonans viklikali 1811 Sumuvannya deyakih ryadiv osoblivogo vidu 1828 1832 Teoriya bikvadratichnih lishkiv U nij vpershe z yavilisya gaussovi chisla Pionerski roboti Gausa prodovzhiv Nils Abel yakij doviv nemozhlivist rozv yazannya v radikalah zagalnogo rivnyannya p yatogo stepenya V teoriyi algebrichnih chisel praci Gaussa prodovzhili Yakobi Ajzenshtajn i Ermit Yakobi znajshov zakon vzayemnosti dlya kubichnih lishkiv 1839 ta doslidzhuvav kvaternarni formi Koshi vivchiv zagalne neviznachene ternarne kubichne rivnyannya 1816 U Dirihle nastupnika Gaussa na gettingenskij kafedri Arifmetichni doslidzhennya buli nastilnoyu knigoyu z yakoyu vin majzhe ne rozluchavsya i v bagatoh svoyih pracyah vin rozvivav ideyi Gaussa Viznachnim vneskom Kummera stala rozrobka teoriyi idealiv yaka rozv yazala bagato algebrichnih zadach Virishalnim krokom u stvorenni novoyi algebri stali roboti Evarista Galua ta Artura Kejli z yakih pochinayetsya formuvannya suchasnoyi zagalnoyi algebri PublikaciyiTekst u merezhi Tekst u Vikiteci U PDF formati PrimitkiTrudy po teorii chisel 1959 s 875 876 Trudy po teorii chisel 1959 s 878 882 Trudy po teorii chisel 1959 s 878 881 882 Klejn F 1937 s 54 Matematika XIX veka Tom I 1978 s 62 82 83 Trudy po teorii chisel 1959 s 906 B N Delone 1959 s 957 966 Obelisk na mogili Gaussa ne mistit ciyeyi figuri odnak vona proglyadayetsya u formi postamentu na yakomu stoyit pam yatnik div sajt Mogila Gaussa ros Matematika XIX veka Tom I 1978 s 40 Klejn F 1937 s 55 Tvorcy matematiki M Prosveshenie 1979 256 s z dzherela 23 chervnya 2017 Vilejtner G 1960 s 375 376 LiteraturaVilejtner G Istoriya matematiki ot Dekarta do serediny XIX stoletiya M GIFML 1960 468 s Delone B N Raboty Gaussa po teorii chisel Karl Fridrih Gauss Trudy po teorii chisel M Izd vo AN SSSR 1959 S 879 976 Klassiki nauki Klejn F Lekcii o razvitii matematiki v XIX stoletii M L GONTI 1937 T I 432 s Kolmogorov A N Yushkevich A P red Matematika XIX veka Tom I Matematicheskaya logika algebra teoriya chisel teoriya veroyatnostej M Nauka 1978 Lisana Antonio Rufian Esli by chisla mogli govorit Gauss Teoriya chisel Seriya Nauka Velichajshie teorii Vypusk 8 M DeAgostini 2015 ISSN 2409 0069 168 s