Проскінченна група

У математиці проскінченною групою називається топологічна група, яка є проєктивною границею скінченних груп. Для них існують узагальнення багатьох властивостей скінченних груп, зокрема теореми Лагранжа і Силова.

Некомпактним узагальненням проскінченних груп є локально проскінченні групи.

Означення

Існує кілька еквівалентних означень проскінченних груп.

Перше означення

Проскінченною групою називається топологічна група, що є ізоморфною проєктивній границі дискретних скінченних груп.

Докладніше для деякої частково впорядкованої множини ${\displaystyle (I,\leqslant )}$, множина скінченних груп ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{G_{i}:i\in I\}}$ із дискретними топологіями і гомоморфізмів ${\displaystyle \{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leqslant j\}}$ таких, що ${\displaystyle f_{i}^{i}}$ є тотожним гомоморфізмом на ${\displaystyle G_{i}}$ і виконуються умови композиції ${\displaystyle f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}}$, проєктивною границею є множина:

${\displaystyle \varprojlim G_{i}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}G_{i}:f_{i}^{j}(g_{j})=g_{i}{\text{ для all }}j\geqslant i\right\}}$.

На цій множині можна ввести топологію індуковану із добутку топологій, а також структуру групи за допомогою покомпонентного виконання відповідних групових операцій. Із цими структурами ${\displaystyle \varprojlim G_{i}}$ є топологічною групою, яка і називається проскінченною групою.

Якщо позначити ${\displaystyle p_{i}:\varprojlim G_{i}\to G_{i}}$ — проєкції на відповідні компоненти, то для ${\displaystyle i\leqslant j}$ тоді ${\displaystyle p_{i}=f_{i}^{j}\circ p_{j}.}$ Ці проєкції дозволяють також сформулювати означення проєктивної границі за допомогою універсальної властивості: для множини ${\displaystyle \{G_{i}:i\in I\}}$ скінченних груп із гомоморфізмами як вище, проскінченною групою називається група G із гомоморфізмами ${\displaystyle p_{i}:G\to G_{i}}$ для яких ${\displaystyle p_{i}=f_{i}^{j}\circ p_{j}}$ для ${\displaystyle i\leqslant j}$ і до того ж, якщо H є іншою групою для якої існують гомоморфізми ${\displaystyle h_{i}:H\to G_{i}}$ такі, що ${\displaystyle h_{i}=f_{i}^{j}\circ h_{j}}$ для ${\displaystyle i\leqslant j}$, то існує єдиний гомоморфізм ${\displaystyle h:H\to G}$ для якого ${\displaystyle h_{i}=p_{i}\circ h.}$

Друге означення

Проскінченною групою називається гаусдорфова, компактна група для одиничного елемента (і відповідно для будь-якого елемента) якої існує база околів який складається із відкрито-замкнутих підмножин.

Більш того еквівалентно можна вимагати щоб база околів складалася лише із відкритих підгруп (вони тоді також будуть замкнутими і отже відкрито-замкнутими підмножи) і навіть із відкритих (і тому також відкрито-замкнутих) нормальних підгруп.

Третє означення

Проскінченна група є гаусдорфовою, компактною і цілком незв'язною топологічною групою, тобто топологічною групою, яка також є простором Стоуна. При такому означенню перше означення можна одержати розглянувши проєктивну границю ${\displaystyle \varprojlim G/N}$ де ${\displaystyle N}$ є відкритими нормальними підгрупами групи ${\displaystyle G}$ упорядкованими оберненим вкладенням підмножин.

Доведення еквівалентності

(1) -> (2)

Нехай ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ і ${\displaystyle (b_{i})_{i\in I}}$ є двома різними елементами групи G як у першому означенні. Відповідно ${\displaystyle a_{j}\neq b_{j}}$ для деякого ${\displaystyle j\in I}$ і оскільки група ${\displaystyle G_{j}}$ є дискретною то одноелементні підгрупи ${\displaystyle \{a_{j}\},\ \{b_{j}\}\subset G_{j}}$ є відкритими підмножинами. Відповідно їх прообрази при проєкції ${\displaystyle p_{j}^{-1}(\{a_{j}\})}$ і ${\displaystyle p_{j}^{-1}(\{b_{j}\})}$ теж є відкритими і їх перетин є порожнім. Оскільки очевидно ${\displaystyle (a_{i})\in p_{j}^{-1}(\{a_{j}\})}$ і ${\displaystyle b_{i}\in p_{j}^{-1}(\{b_{j}\})}$ то група G є гаусдорфовою.

Усі групи ${\displaystyle G_{i}}$ в означенні є скінченними дискретними, а тому компактними. Відповідно і їх добуток є компактним. Оскільки ${\displaystyle G_{i}}$ також є гаусдорфовими, то всі підгрупи G, що є розв'язками рівнянь ${\displaystyle p_{j}=f_{j}^{k}\circ p_{k}}$ для ${\displaystyle j\leqslant k}$ є замкнутими. Оскільки проєктивна границя є рівною перетину таких підгруп вона є замкнутою як підмножина добутку ${\displaystyle G_{i}}$ і тому компактною, як замкнута підмножина компактного простору.

Також як підпростір добутку просторів G має базу топології виду ${\displaystyle G\cap \prod _{i\in I}U_{i}}$ де всі ${\displaystyle U_{i}}$ є відкритими підмножинами ${\displaystyle G_{i}}$ і всі вони за винятком скінченної кількості є рівними ${\displaystyle G_{i}}$. Нехай тепер ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ є довільною точкою G і ${\displaystyle G\cap \prod _{i\in I}U_{i}}$ є деякою множиною із базиса, що містить цю точку. Якщо ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}}$ є скінченною множиною індексів для яких ${\displaystyle U_{i}\neq G_{i}}$ то всі ${\displaystyle a_{i_{k}}\in U_{i_{k}}}$ і, оскільки всі групи ${\displaystyle G_{i}}$ є дискретними і томі всі одноточкові підмножини відкрито-замкнутими, прообрази ${\displaystyle p_{i_{k}}^{-1}(\{a_{i_{k}}\})}$ є відкрито-замкнутими. Тому також їх перетин ${\displaystyle p_{i_{1}}^{-1}(\{a_{i_{1}}\})\cap \ldots \cap p_{i_{n}}^{-1}(\{a_{i_{n}}\})}$ є відкрито-замкнутою підмножиною і до того ж цей перетин міститься у ${\displaystyle G\cap \prod _{i\in I}U_{i}}$. Тобто для кожної точки і множини із бази, що містить цю точку знайдено відкрито-замкнутий окіл точки, що міститься у множині бази. Тому відкрито-замкнуті околи точки утворюють базу околів точки. Зрозуміло, що для топологічних груп достатньо розглядати лише околи одиничного елемента e оскільки кожен окіл елемента ${\displaystyle g\in G}$ має вигляд ${\displaystyle gU,}$ де U — окіл одиничного елемента і цей окіл є відкритим, замкнутим чи відкрито-замкнутим тоді і тільки тоді коли таким є U.

Розглянемо тепер відкрито-замкнуті околи одиничного елемента і доведемо, що кожен такий окіл містить відкриту підгрупу і навіть нормальну підгрупу. Кожна відкрито-замкнута підмножина A є компактною і відкритою, а тому із загальних властивостей топологічних груп випливає існування відкритого околу V одиничного елемента для якого ${\displaystyle VA\subset A}$. Якщо позначити ${\displaystyle W=V\cap V^{-1}}$, то W є відкритим околом одиничного елемента і ${\displaystyle W=W^{-1}}$. Також ${\displaystyle WA=W^{-1}A\subset A}$ і за індукцією ${\displaystyle W^{n}A\subset A}$ для всіх цілих чисел n. Якщо H є групою породженою елементами із W, то ${\displaystyle H=\cup _{n\in \mathbb {Z} }W^{n}A}$, тож H є відкритою підгрупою і ${\displaystyle H\subset A,}$ що доводить першу частину твердження.

Як відкрита підгрупа у компактній групі H має скінченний індекс і тому скінченну кількість різних груп виду ${\displaystyle g^{-1}Hg}$ для ${\displaystyle g\in G}$. Їх перетин буде відкритою нормальною групою, що міститься в H і тому в A.

(2) -> (3)

Оскільки G є компактним простором, то компонента зв'язності точки ${\displaystyle g\in G}$ є перетином всіх відкрито-замкнутих підмножин, що містять цю точку. Також G є гаусдорфовим тому перетин всіх відкритих околів ${\displaystyle g}$ є рівним цій точці. Оскільки за означенням 2 кожен відкритий окіл містить відкрито-замкнутий окіл, то перетин відкрито-замкнутих околів є рівним ${\displaystyle g}$. Тобто всі компоненти зв'язності є одноточковими і простір є цілком незв'язним.

(3) -> (1)

Оскільки простір є гаусдорфовим, компактним і цілком незв'язним то його одиничний елемент, як компонент зв'язності є рівним перетину всіх відкрито-замкнутих околів і оскільки як і вище кожен відкрито-замкнутий окіл містить відкриту нормальну підгрупу, то перетин всіх таких груп є теж рівним одиничному елементу. Позначимо ${\displaystyle N_{i}:i\in I}$ систему таких підгруп. Оскільки G є компактним простором і усі ${\displaystyle N_{i}}$ є відкритими підгрупами, то факторгрупи ${\displaystyle A_{i}:=G/N_{i},\ i\in I}$ є скінченними. Введемо на I відношення часткового порядку: ${\displaystyle i\leqslant j}$ якщо ${\displaystyle N_{j}\subseteq N_{i}}$ і у цьому випадку визначені стандартні гомоморфізми ${\displaystyle f_{i}^{j}:A_{j}\to A_{i}}$ задані як ${\displaystyle f_{i}^{j}(gN_{j})=gN_{i}.}$ Для таких груп і гомоморфізмів можна ввести проєктивну границю ${\displaystyle A=\varprojlim A_{i}}$ із стандартними проєкціями ${\displaystyle p_{i}:A\to A_{i}}$ для яких ${\displaystyle p_{i}=f_{i}^{j}\circ p_{j}}$. Група A буде проскінченною за означенням 1.

Для групи G також існують неперервні гомоморфізми факторизації ${\displaystyle q_{i}:G\to A_{i}}$ для яких ${\displaystyle q_{i}=f_{i}^{j}\circ q_{j}}$. Із універсальної властивості проєктивної границі випливає існування неперервного гомоморфізму ${\displaystyle f:G\to H}$ для якого ${\displaystyle q_{i}=p_{i}\circ f}$ для всіх i.

f є ін'єктивним гомоморфізмом. Справді одиничний елемент групи A має вигляд ${\displaystyle E=(eN_{i}),\ i\in I}$ і якщо для якогось елемента ${\displaystyle f(g)=E}$ то ${\displaystyle g\in N_{i}}$ для всіх i. Оскільки перетин ${\displaystyle N_{i}}$ є рівним одиничному елементу, то ${\displaystyle g=i.}$

Якщо ${\displaystyle (g_{i}N_{i}),\ i\in I}$ є якимось елементом A, то всі ${\displaystyle g_{i}N_{i}}$ є замкнутими підмножинами оскільки ${\displaystyle N_{i}}$ є відкрито-замкнутими. Для скінченної множини індексів ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}}$ перетин ${\displaystyle \cap _{i_{k}}N_{i_{k}}}$ теж є нормальною підгрупою ${\displaystyle N_{r}}$, а тому ${\displaystyle g_{r}N_{r}\subset \cap _{i_{k}}g_{i_{k}}N_{i_{k}}}$ тобто перетин довільної скінченної кількості множин виду ${\displaystyle g_{i}N_{i}}$ є непорожнім. Із компактності звідси випливає існування ${\displaystyle g\in \cap _{i\in I}g_{i}N_{i}.}$ Але тоді ${\displaystyle gN_{i}=g_{i}N_{i}}$ для всіх i тобто елемент ${\displaystyle (g_{i}N_{i}),\ i\in I}$ елемента g при гомоморфізмі f. Звідси f є сюр'єктивним.

Загалом f є бієктивним неперервним гомоморфізмом. Але G компактним простором і A є гаусдорфовим, а тому бієктивне неперервне відображення між такими просторами є гомеоморфізмом. Тобто G і A є ізоморфними як топологічні групи і G є проскінченною у першому означенні.

Приклади

• Скінченні групи із дискретною топологією є проскінченними.
• Група p-адичних цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ із операцією додавання є проскінченною (навіть проциклічною). Вона є проєктивною границею скінченних груп ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ де n є натуральними числами і стандартних відображень ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ для ${\displaystyle n\geqslant m}$. Топологія ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ як проскінченної групи є рівною топології одержаної із p-адичного нормування елементів ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.
• Група проскінченних цілих чисел ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ є проєктивною границею скінченних груп ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ де ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ і стандартних відображень ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ для ${\displaystyle m|n}$. Ця група є добутком усіх груп ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ і є абсолютною групою Галуа для будь-якого скінченного поля.
• У теорії Галуа для нескінченних розширень полів природно виникають групи Галуа, які є проскінченними. А саме, якщо L/K є розширенням Галуа і елементами групи G = Gal(L/K) є автоморфізми поля L, які є тотожними на підгрупі K, то G є проєктивною границею скінченних груп Gal(F/K), де F є підполем L, що містить K і розширення F/K є скінченним розширенням Галуа. Проєктивна границя будується для гомоморфізмів включення Gal(F₁/K) → Gal(F₂/K), де F₂ ⊆ F₁. Топологія Gal(L/K) як проскінченної групи називається топологією Круля. Кожна проскінченна група є ізоморфною групі Галуа для деякого поля K але наразі невідомі методи визначення для якого саме поля. Більш того для багатьох полів невідомо які скінченні групи є групами Галуа для якогось розширення K. Не кожна проскінченна група є абсолютною групою Галуа для деякого поля.

Властивості

• Добуток довільної кількості проскінченних груп є проскінченною групою; топологія її як проскінченної групи є рівною. Проєктивна границя оберненої системи проскінченних груп із неперервними гомоморфізмами є проскінченною групою і функтор проєктивної границі є точним на категорії проскінченних груп.
• Кожна замкнута підгрупа проскінченної групи є проскінченною; топологія топологія її як проскінченної групи є рівною фактортопології. Якщо N є замкнутою нормальною підгрупою проскінченної групи G, тоді факторгрупа G/N є проскінченною; топологія її як проскінченної групи є рівною фактортопології.
• Оскільки кожна проскінченна група G є компактною і Гаусдорфовою на G існує міра Хаара.
• Підгрупа проскінченної групи є відкритою якщо і тільки якщо вона є замкнутою і має скінченний індекс.
• Теорема Ніколова — Сегала. У топологічно скінченнопородженій проскінченній групі (тобто проскінченній групі для якої існує щільна скінченно породжена підгрупа) підгрупи скінченного індекса є відкритими.
• Як наслідок із попередньої властивості, якщо φ: G → H є сюрєктивним гомоморфізмом проскінченних груп G і H і G є топологічно скінченнопородженою, то φ є неперервним. Справді, кожна підгрупа H має скінченний індекс, тож її прообраз у G теж має скінченний індекс, отже є відкритою підгрупою.
• Нехай G і H є топологічно скінченнопородженими проскінченними групами, що є ізоморфними як абстрактні групи із ізоморфізмом ι. Тоді ι є бієкцією і неперервним відображенням згідно із попереднім результатом. Аналогічно і ι⁻¹ є неперервним, тож ι є гомеоморфізмом. Таким чином топологія на топологічно скінченнопородженій проскінченній групі повністю визначається її алгебричною структурою.

Проскінченне поповнення

Для довільної групи ${\displaystyle G}$ існує пов'язана проскінченна група ${\displaystyle {\widehat {G}}}$, яка називається проскінченним поповненням групи ${\displaystyle G}$. За означенням вона є проєктивною границею груп ${\displaystyle G/N}$, де ${\displaystyle N}$ є нормальними підгрупами у ${\displaystyle G}$, що мають скінченний індекс (як і вище ці нормальні підгрупи можна частково впорядкувати за включенням із природніми гомоморфізмами між факторгрупами можна одержати систему скінченних груп). Існує натуральний гомоморфізм ${\displaystyle \eta :G\rightarrow {\widehat {G}}}$ і образ ${\displaystyle G}$ при цьому є щільним у ${\displaystyle {\widehat {G}}}$. Гомоморфізм ${\displaystyle \eta }$ є ін'єктивним якщо і тільки якщо для групи ${\displaystyle G}$ виконується рівність ${\displaystyle \bigcap {N}=1}$, де перетин береться для всіх нормальних підгруп скінченного індекса. Для гомоморфізма ${\displaystyle \eta }$ виконується універсальна властивість: для будь-якої проскінченної групи ${\displaystyle H}$ і гомоморфізму груп ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ існує єдиний неперервний гомоморфізм груп ${\displaystyle g:{\widehat {G}}\rightarrow H}$ для якого ${\displaystyle f=g\eta }$.

Див. також

• Проєктивна границя
• Скінченна група
• Топологічна група
• Залишково скінченна група
• Локально скінченна група

Література

• Higgins, Philip J. (1974), An Introduction to Topological Groups, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 15, Cambridge University Press, ISBN 
• Benjamin Klopsch, Nikolay Nikolov, Christopher Voll (2011). Lectures on Profinite Topics in Group Theory. London Mathematical Society Student Texts. Т. 77. Cambridge University Press. ISBN .
• Luis Ribes; Pavel Zalesskii (2010). Profinite groups. Springer-Verlag. ISBN .
• Stephen S. Shatz (1972). Profinite Groups, Arithmetic, and Geometry. Annals of Mathematics Studies. Т. 67. Princeton University Press. ISBN .
• Waterhouse, William C. (1974), Profinite groups are Galois groups, Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 42 (2): 639—640, doi:10.2307/2039560, JSTOR 2039560, Zbl 0281.20031.
• Wilson, John S. (John Stuart) (1998). Profinite groups. Oxford: Clarendon Press. ISBN . OCLC 40658188.