Відкрито-замкнута множина

Відкрито-замкнута множина — підмножина топологічного простору, яка є в ньому водночас відкритою і замкнутою.

Приклади відкрито-замкнутих множин: (1) кожен з трьох великих графів, (2) сума будь-яких двох графіків, і (3) сума всіх трьох графіків

Приклади

• У кожному топологічному просторі X, порожня множина і весь простір X є відкрито-замкнутими множинами.
• Нехай простір X = [0,1] ∪ [2,3] буде оснащений топологією , успадкованою від звичайної топології дійсних чисел. Тоді простір X має такі відкрито-замкнуті підмножини: порожня множина, X , [0,1], [2,3].
• Розглянемо топологічний простір ${\displaystyle {\mathbb {Q} }}$ раціональних чисел з топологією підпростору, успадкованою від дійсної прямої. Тоді множина ${\displaystyle A=\{r\in {\mathbb {Q} }:r^{2}<2\}}$ є відкрито-замкнутою підмножиною ${\displaystyle {\mathbb {Q} }}$. У більш загальному випадку, якщо ${\displaystyle I}$ інтервал кінці якого є ірраціональними числами, то ${\displaystyle I\cap {\mathbb {Q} }}$ є відкрито-замкнутою підмножиною ${\displaystyle {\mathbb {Q} }}$ (хоча ця множина не є ні відкритою, ні замкнутою у просторі ${\displaystyle \mathbb {R} }$) ,
• Якщо ${\displaystyle J\subseteq {\mathbb {R} }}$ є інтервалом кінці якого є раціональними числами то ${\displaystyle J\setminus {\mathbb {Q} }}$ є відкрито-замкнутою підмножиною простору ірраціональних чисел ${\displaystyle {\mathbb {R} }\setminus {\mathbb {Q} }}$ (але ця множина не є ні відкритою, ні замкнутою в ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$).

Властивості

• Топологічний простір X є зв'язаним тоді і тільки тоді, коли єдиними відкрито-замкнутими підмножинами в X є порожня множина і весь простір X.
• Відкрито-замкнута підмножина є об'єднанням компонент зв'язності простору.
• Якщо у просторі всі компоненти зв'язності є відкритими то його підмножина є відкрито-замкнутою тоді і тільки тоді, коли вона є об'єднанням компонент зв'язності простору.
• Множина є відкрито-замкнутою тоді і тільки тоді, коли її межа є порожньою.
• Топологічний простір є дискретним тоді і тільки тоді, коли всі його підмножини є відкрито-замкнутими.
• Набір Clop(X) всіх відкрито-замкнутих підмножин простору ${\displaystyle X}$ утворює алгебру підмножин цього простору. Зокрема, структура ${\displaystyle ({\rm {Clop}}(X),\cup ,\cap ,{}^{\prime },\varnothing ,X)}$ є булевою алгеброю.
• Теорема Стоуна про представлення булевих алгебр стверджує, що довільна булева алгебра ізоморфна з алгебрі відкрито-замкнутих підмножин деякого топологічного простору.

Джерела

• Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, (англ.)