Ця стаття є сирим з англійської мови. Можливо, вона створена за допомогою машинного перекладу або перекладачем, який недостатньо володіє обома мовами. (1 березня 2024) |
Біноміальний ряд це ряд Маклорена для функції , де і . Біноміальний ряд є узагальненням полінома, який отримується зі співвідношення для біноміальної формули, наприклад, для цілого невід'ємного числа .
У явній формі записується так:
-
(
)
де коефіцієнти степеневого ряду у правій частині виражаються через ((узагальнені) біноміальні коефіцієнти)
Збіжність
Умови збіжності
Збіжність залежить від значень комплексних чисел і
. Точніше:
- Якщо
, то ряд збігається абсолютно для будь-якого комплексного числа
.
- Якщо
, то ряд збігається абсолютно тоді й лише тоді, коли або
, або
, де
— дійсна частина числа~
.
- Якщо
і
, то ряд збігається тоді й лише тоді, коли
.
- Якщо
, то ряд збігається тоді й лише тоді, коли
або
.
- Якщо
, то ряд [en], окрім випадків, коли
є невід'ємним цілим числом, у цьому випадку ряд є скінченною сумою.
Зокрема, якщо не є цілим невід'ємним числом, ситуація на межі кругу збіжності,
, визначається наступним чином:
- Якщо
, то ряд збігається абсолютно.
- Якщо
, то ряд умовно збігається, якщо
, і розбігається, якщо
.
- Якщо
, то ряд розбігається.
Тотожності, які будуть використані в доведенні
Для будь-якого комплексного числа виконується наступне:
-
(
)
-
(
)
За умови, що є невід'ємним цілим числом (у цьому випадку біноміальні коефіцієнти перетворюються у нуль, якщо
більше ніж
), корисне є наступне асимптотичне співвідношення для біноміальних коефіцієнтів у нотації Ландау:
-
(
)
Це, по суті, еквівалентно означенню Ейлера для гамма-функції:
і відразу передбачає більш грубі оцінки:
-
(
)
для деяких додатних констант і
. Формулу (2) для узагальненого біноміального коефіцієнта можна переписати у вигляді
-
(
)
Доведення
Щоб довести властивості (1) і (5), будемо застосовувати ознаку Даламбера та використовувати формулу (2), щоб показати, що завжди, якщо не є цілим невід'ємним числом, радіус збіжності дорівнює рівно 1. Властивість (2) випливає з формули (5) з використанням ознаки порівняння із p-рядом(p-рядом)
де . Щоб довести властивість (3), спочатку використаємо формулу (3), щоб отримати
-
(
)
а потім знову використаємо властивість (2) і формулу (5), щоб довести збіжність правої частини, коли . З іншого боку, знову за формулою (5), ряд не збігається, якщо
і
. Крім того, можна помітити, що для всіх
,
. Таким чином, за формулою (6), для всіх
. Це завершує доведення властивості (3). Для доведення властивості (4) використовуємо тотожність (7), яка була описана вище, для
і
замість
, разом із формулою~(4), щоб отримати
Властивість (4) тепер випливає з асимптотичної поведінки послідовності (Звичайно
збігається до
, якщо
та розбігається до
, якщо
. Якщо
, тоді
збігається тоді й лише тоді, коли послідовність
збігається
, що, звичайно, вірно, якщо
, але невірно, якщо
: в останньому випадку послідовність збігається
, з огляду на те, що
розбігається і
збігається до нуля).
Підсумовування біноміального ряду
Звичайний спосіб обчислення суми біноміального ряду полягає в наступному. Почленно продиференціювавши біноміальний ряд в межах радіуса збіжності і використавши формули (1), отримаємо, що сума ряду є аналітичною функцією, яка є розв'язком звичайного диференціального рівняння
з [en]
. Єдиним розв'язком цієї задачі є функція
. Дійсно, використавши інтегрувальний множник
, отримаємо
Отже, функція є константою, яка, згідно з початковою умовою, дорівнює~1. Тобто
є сумою біноміального ряду для
. Рівність поширюється на
завжди, коли ряд збігається, як наслідок теореми Абеля та неперервності функції
.
Від'ємний біноміальний ряд
Із біноміальним рядом тісно пов'язаний від'ємний біноміальний ряд, визначений рядом Маклорена для функції , де
і
.
Формулу ряда можна записати як:
Де мультимножинний коефіцієнт:
Спеціальні випадки
Якщо - невід'ємне ціле число
, то член
і всі наступні члени ряду дорівнюють
, оскільки кожен добуток містить множник
.
В такому випадку, у цьому випадку ряд скінченний, а коефіцієнти представлляють собою алгебраїчну біноміальну формулу коефіцієнтів.
Якщо є натуральним числом, то очевидними є кілька спеціальних послідовностей.
У випадку, якщо , то отримаємо ряд
, де коефіцієнт кожного члена ряду дорівнює 1.
У випадку отримаємо ряд
, який має натуральні числа як коефіцієнти.
У випадку отримаємо ряд
, який має трикутні числа як коефіцієнти.
У випадку отримаємо ряд
, який має тетраедричні числа як коефіцієнти, і аналогічно для вищих наткральних значень
.
Від'ємний біноміальний ряд включає випадок геометричного ряду, тобто степеневого ряду(це від'ємний біноміальний ряд, якщо
, що збігається у крузі
), та в більш загальному випадку, ряди, отримані диференціюванням геометричних степеневих рядів:
де — натуральне число.
Історія
Перші результати щодо біноміальних рядів для показників, відмінних від натуральних чисел, були дані Ісааком Ньютоном під час дослідження площ, утворених під певними кривими. Джон Уолліс спирався на цю роботу, розглядаючи вирази у формі , де
— дріб. Він показав, що послідовні коефіцієнти
від
можна знайти шляхом множення попереднього коефіцієнта на
(як у випадку цілих степенів), тим самим неявно даючи формулу для цих коефіцієнтів. Він явно представив наступні випадки
Тому біноміальний ряд іноді називають біноміальною теоремою Ньютона. Ньютон не наводив жодних доведень і не говорив чітко про природу цього ряду. Пізніше, у 1826 році, Нільс Хенрік Абель обговорював цю тему в статті, опублікованій у [en], зокрема розглядаючи питання збіжності.
Див. також
Виноски
Примітки
- Насправді цей підхід дає всі непостійні члени з від'ємним знаком, що не є правильним для другого рівняння; треба припустити, що це помилка транскрипції.
Джерела
- George Andrews (2018), The geometric series in calculus (PDF), The American Mathematical Monthly, 105 (1): 36—40, doi:10.1080/00029890.1998.12004846
- Knopp, Konrad (1944), Theory and applications of infinite series, Blackie and Son, § 22.
- Coolidge, 1949.
- Abel, 1826.
Література
- Abel, Niels (1826), Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m − 1)/1.2)x2 + (m(m − 1)(m − 2)/1.2.3)x3 + …, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1: 311—339
- Coolidge, J. L. (1949), The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly, 56 (3): 147—157, doi:10.2307/2305028, JSTOR 2305028
Посилання
- Weisstein, Eric W. Біноміальний ряд(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Біноміальна теорема(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Біноміальна формула на PlanetMath.(англ.)
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), series Binomial series, Математична енциклопедія, , ISBN
- Як Ісаак Ньютон відкрив біноміальний степеневий ряд. Серпень 31, 2022.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya ye sirim perekladom z anglijskoyi movi Mozhlivo vona stvorena za dopomogoyu mashinnogo perekladu abo perekladachem yakij nedostatno volodiye oboma movami Bud laska dopomozhit polipshiti pereklad 1 bereznya 2024 Binomialnij ryad ce ryad Maklorena dlya funkciyi f x 1 x a displaystyle f x 1 x alpha de a C displaystyle alpha in mathbb C i x lt 1 displaystyle x lt 1 Binomialnij ryad ye uzagalnennyam polinoma yakij otrimuyetsya zi spivvidnoshennya dlya binomialnoyi formuli napriklad 1 x n displaystyle 1 x n dlya cilogo nevid yemnogo chisla n displaystyle n U yavnij formi zapisuyetsya tak 1 x a k 0 a k x k 1 a x a a 1 2 x 2 a a 1 a 2 3 x 3 displaystyle begin aligned 1 x alpha sum k 0 infty binom alpha k x k 1 alpha x frac alpha alpha 1 2 x 2 frac alpha alpha 1 alpha 2 3 x 3 cdots end aligned 1 de koeficiyenti stepenevogo ryadu u pravij chastini virazhayutsya cherez uzagalneni binomialni koeficiyenti a k a a 1 a 2 a k 1 k displaystyle binom alpha k frac alpha alpha 1 alpha 2 cdots alpha k 1 k ZbizhnistUmovi zbizhnosti Zbizhnist zalezhit vid znachen kompleksnih chisel a displaystyle alpha i x displaystyle x Tochnishe Yaksho x lt 1 displaystyle x lt 1 to ryad zbigayetsya absolyutno dlya bud yakogo kompleksnogo chisla a displaystyle alpha Yaksho x 1 displaystyle x 1 to ryad zbigayetsya absolyutno todi j lishe todi koli abo Re a gt 0 displaystyle operatorname Re alpha gt 0 abo a 0 displaystyle alpha 0 de Re a displaystyle operatorname Re alpha dijsna chastina chisla a displaystyle alpha Yaksho x 1 displaystyle x 1 i x 1 displaystyle x neq 1 to ryad zbigayetsya todi j lishe todi koli Re a gt 1 displaystyle operatorname Re alpha gt 1 Yaksho x 1 displaystyle x 1 to ryad zbigayetsya todi j lishe todi koli Re a gt 0 displaystyle operatorname Re alpha gt 0 abo a 0 displaystyle alpha 0 Yaksho x gt 1 displaystyle x gt 1 to ryad en okrim vipadkiv koli a displaystyle alpha ye nevid yemnim cilim chislom u comu vipadku ryad ye skinchennoyu sumoyu Zokrema yaksho a displaystyle alpha ne ye cilim nevid yemnim chislom situaciya na mezhi krugu zbizhnosti x 1 displaystyle x 1 viznachayetsya nastupnim chinom Yaksho Re a gt 0 displaystyle operatorname Re alpha gt 0 to ryad zbigayetsya absolyutno Yaksho 1 lt Re a 0 displaystyle 1 lt operatorname Re alpha leq 0 to ryad umovno zbigayetsya yaksho x 1 displaystyle x neq 1 i rozbigayetsya yaksho x 1 displaystyle x 1 Yaksho Re a 1 displaystyle operatorname Re alpha leq 1 to ryad rozbigayetsya Totozhnosti yaki budut vikoristani v dovedenni Dlya bud yakogo kompleksnogo chisla a displaystyle alpha vikonuyetsya nastupne a 0 1 displaystyle alpha choose 0 1 a k 1 a k a k k 1 displaystyle alpha choose k 1 alpha choose k frac alpha k k 1 2 a k 1 a k a 1 k displaystyle alpha choose k 1 alpha choose k alpha 1 choose k 3 Za umovi sho a displaystyle alpha ye nevid yemnim cilim chislom u comu vipadku binomialni koeficiyenti peretvoryuyutsya u nul yaksho k displaystyle k bilshe nizh a displaystyle alpha korisne ye nastupne asimptotichne spivvidnoshennya dlya binomialnih koeficiyentiv u notaciyi Landau a k 1 k G a k 1 a 1 o 1 pri k displaystyle alpha choose k frac 1 k Gamma alpha k 1 alpha 1 o 1 quad text pri k to infty 4 Ce po suti ekvivalentno oznachennyu Ejlera dlya gamma funkciyi G z lim k k k z z z 1 z k displaystyle Gamma z lim k to infty frac k k z z z 1 cdots z k i vidrazu peredbachaye bilsh grubi ocinki m k 1 Re a a k M k 1 Re a displaystyle frac m k 1 operatorname Re alpha leq left alpha choose k right leq frac M k 1 operatorname Re alpha 5 dlya deyakih dodatnih konstant m displaystyle m i M displaystyle M Formulu 2 dlya uzagalnenogo binomialnogo koeficiyenta mozhna perepisati u viglyadi a k j 1 k a 1 j 1 displaystyle alpha choose k prod j 1 k left frac alpha 1 j 1 right 6 Dovedennya Shob dovesti vlastivosti 1 i 5 budemo zastosovuvati oznaku Dalambera ta vikoristovuvati formulu 2 shob pokazati sho zavzhdi yaksho a displaystyle alpha ne ye cilim nevid yemnim chislom radius zbizhnosti dorivnyuye rivno 1 Vlastivist 2 viplivaye z formuli 5 z vikoristannyam oznaki porivnyannya iz p ryadomp ryadom k 1 1 k p displaystyle sum k 1 infty frac 1 k p de p 1 Re a displaystyle p 1 operatorname Re alpha Shob dovesti vlastivist 3 spochatku vikoristayemo formulu 3 shob otrimati 1 x k 0 n a k x k k 0 n a 1 k x k a n x n 1 displaystyle 1 x sum k 0 n alpha choose k x k sum k 0 n alpha 1 choose k x k alpha choose n x n 1 7 a potim znovu vikoristayemo vlastivist 2 i formulu 5 shob dovesti zbizhnist pravoyi chastini koli Re a gt 1 displaystyle operatorname Re alpha gt 1 Z inshogo boku znovu za formuloyu 5 ryad ne zbigayetsya yaksho x 1 displaystyle x 1 i Re a 1 displaystyle operatorname Re alpha leq 1 Krim togo mozhna pomititi sho dlya vsih j displaystyle j a 1 j 1 1 Re a 1 j 1 textstyle left frac alpha 1 j 1 right geq 1 frac operatorname Re alpha 1 j geq 1 Takim chinom za formuloyu 6 dlya vsih k a k 1 textstyle k left alpha choose k right geq 1 Ce zavershuye dovedennya vlastivosti 3 Dlya dovedennya vlastivosti 4 vikoristovuyemo totozhnist 7 yaka bula opisana vishe dlya x 1 displaystyle x 1 i a 1 displaystyle alpha 1 zamist a displaystyle alpha razom iz formuloyu 4 shob otrimati k 0 n a k 1 k a 1 n 1 n 1 G a 1 n a 1 o 1 yaksho n displaystyle sum k 0 n alpha choose k 1 k alpha 1 choose n 1 n frac 1 Gamma alpha 1 n alpha 1 o 1 quad text yaksho n to infty Vlastivist 4 teper viplivaye z asimptotichnoyi povedinki poslidovnosti n a e a log n displaystyle n alpha mathrm e alpha log n Zvichajno e a log n e Re a log n displaystyle left mathrm e alpha log n right mathrm e operatorname Re alpha log n zbigayetsya do 0 displaystyle 0 yaksho Re a gt 0 displaystyle operatorname Re alpha gt 0 ta rozbigayetsya do displaystyle infty yaksho Re a lt 0 displaystyle operatorname Re alpha lt 0 Yaksho Re a 0 displaystyle operatorname Re alpha 0 todi n a e i Im a log n displaystyle n alpha mathrm e mathrm i operatorname Im alpha log n zbigayetsya todi j lishe todi koli poslidovnist Im a log n displaystyle operatorname Im alpha log n zbigayetsya mod 2 p displaystyle operatorname mod 2 pi sho zvichajno virno yaksho a 0 displaystyle alpha 0 ale nevirno yaksho Im a 0 displaystyle operatorname Im alpha neq 0 v ostannomu vipadku poslidovnist zbigayetsya mod 2 p displaystyle operatorname mod 2 pi z oglyadu na te sho log n displaystyle log n rozbigayetsya i log n 1 log n displaystyle log n 1 log n zbigayetsya do nulya Pidsumovuvannya binomialnogo ryaduZvichajnij sposib obchislennya sumi binomialnogo ryadu polyagaye v nastupnomu Pochlenno prodiferenciyuvavshi binomialnij ryad v mezhah radiusa zbizhnosti x lt 1 displaystyle x lt 1 i vikoristavshi formuli 1 otrimayemo sho suma ryadu ye analitichnoyu funkciyeyu yaka ye rozv yazkom zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya 1 x u x a u x 0 displaystyle 1 x u x alpha u x 0 z en u 0 1 displaystyle u 0 1 Yedinim rozv yazkom ciyeyi zadachi ye funkciya u x 1 x a displaystyle u x 1 x alpha Dijsno vikoristavshi integruvalnij mnozhnik 1 x a 1 displaystyle 1 x alpha 1 otrimayemo 0 1 x a u x a 1 x a 1 u x 1 x a u x displaystyle 0 1 x alpha u x alpha 1 x alpha 1 u x big 1 x alpha u x big Otzhe funkciya 1 x a u x displaystyle 1 x alpha u x ye konstantoyu yaka zgidno z pochatkovoyu umovoyu dorivnyuye 1 Tobto u x 1 x a displaystyle u x 1 x alpha ye sumoyu binomialnogo ryadu dlya x lt 1 displaystyle x lt 1 Rivnist poshiryuyetsya na x 1 displaystyle x 1 zavzhdi koli ryad zbigayetsya yak naslidok teoremi Abelya ta neperervnosti funkciyi 1 x a displaystyle 1 x alpha Vid yemnij binomialnij ryadIz binomialnim ryadom tisno pov yazanij vid yemnij binomialnij ryad viznachenij ryadom Maklorena dlya funkciyi g x 1 x a displaystyle g x 1 x alpha de a C displaystyle alpha in mathbb C i x lt 1 displaystyle x lt 1 Formulu ryada mozhna zapisati yak 1 1 x a k 0 g k 0 k x k 1 a x a a 1 2 x 2 a a 1 a 2 3 x 3 displaystyle begin aligned frac 1 1 x alpha amp sum k 0 infty frac g k 0 k x k amp 1 alpha x frac alpha alpha 1 2 x 2 frac alpha alpha 1 alpha 2 3 x 3 cdots end aligned De multimnozhinnij koeficiyent a k a k 1 k a a 1 a 2 a k 1 k displaystyle left alpha choose k right alpha k 1 choose k frac alpha alpha 1 alpha 2 cdots alpha k 1 k Specialni vipadkiYaksho a displaystyle alpha nevid yemne cile chislo n displaystyle n to chlen x n 1 displaystyle x n 1 i vsi nastupni chleni ryadu dorivnyuyut 0 displaystyle 0 oskilki kozhen dobutok mistit mnozhnik n n displaystyle n n V takomu vipadku u comu vipadku ryad skinchennij a koeficiyenti predstavllyayut soboyu algebrayichnu binomialnu formulu koeficiyentiv n k C n k n k n k displaystyle n choose k C n k frac n k n k Yaksho a displaystyle alpha ye naturalnim chislom to ochevidnimi ye kilka specialnih poslidovnostej U vipadku yaksho a 1 displaystyle alpha 1 to otrimayemo ryad 1 x x 2 x 3 displaystyle 1 x x 2 x 3 cdots de koeficiyent kozhnogo chlena ryadu dorivnyuye 1 U vipadku a 2 displaystyle alpha 2 otrimayemo ryad 1 2 x 3 x 2 4 x 3 displaystyle 1 2x 3x 2 4x 3 cdots yakij maye naturalni chisla yak koeficiyenti U vipadku a 3 displaystyle alpha 3 otrimayemo ryad 1 3 x 6 x 2 10 x 3 displaystyle 1 3x 6x 2 10x 3 cdots yakij maye trikutni chisla yak koeficiyenti U vipadku a 4 displaystyle alpha 4 otrimayemo ryad 1 4 x 10 x 2 20 x 3 displaystyle 1 4x 10x 2 20x 3 cdots yakij maye tetraedrichni chisla yak koeficiyenti i analogichno dlya vishih natkralnih znachen a displaystyle alpha Vid yemnij binomialnij ryad vklyuchaye vipadok geometrichnogo ryadu tobto stepenevogo ryadu1 1 x n 0 x n displaystyle frac 1 1 x sum n 0 infty x n ce vid yemnij binomialnij ryad yaksho a 1 displaystyle alpha 1 sho zbigayetsya u kruzi x lt 1 displaystyle x lt 1 ta v bilsh zagalnomu vipadku ryadi otrimani diferenciyuvannyam geometrichnih stepenevih ryadiv 1 1 x n 1 n 1 d n 1 d x n 1 1 1 x displaystyle frac 1 1 x n frac 1 n 1 frac mathrm d n 1 mathrm d x n 1 frac 1 1 x de a n displaystyle alpha n naturalne chislo IstoriyaPershi rezultati shodo binomialnih ryadiv dlya pokaznikiv vidminnih vid naturalnih chisel buli dani Isaakom Nyutonom pid chas doslidzhennya plosh utvorenih pid pevnimi krivimi Dzhon Uollis spiravsya na cyu robotu rozglyadayuchi virazi u formi y 1 x 2 m displaystyle y 1 x 2 m de m displaystyle m drib Vin pokazav sho poslidovni koeficiyenti c k displaystyle c k vid x 2 k displaystyle x 2 k mozhna znajti shlyahom mnozhennya poperednogo koeficiyenta na m k 1 k displaystyle frac m k 1 k yak u vipadku cilih stepeniv tim samim neyavno dayuchi formulu dlya cih koeficiyentiv Vin yavno predstaviv nastupni vipadki 1 x 2 1 2 1 x 2 2 x 4 8 x 6 16 displaystyle 1 x 2 1 2 1 frac x 2 2 frac x 4 8 frac x 6 16 cdots 1 x 2 3 2 1 3 x 2 2 3 x 4 8 x 6 16 displaystyle 1 x 2 3 2 1 frac 3x 2 2 frac 3x 4 8 frac x 6 16 cdots 1 x 2 1 3 1 x 2 3 x 4 9 5 x 6 81 displaystyle 1 x 2 1 3 1 frac x 2 3 frac x 4 9 frac 5x 6 81 cdots Tomu binomialnij ryad inodi nazivayut binomialnoyu teoremoyu Nyutona Nyuton ne navodiv zhodnih doveden i ne govoriv chitko pro prirodu cogo ryadu Piznishe u 1826 roci Nils Henrik Abel obgovoryuvav cyu temu v statti opublikovanij u en zokrema rozglyadayuchi pitannya zbizhnosti Div takozhBinom Nyutona Binomialnij koeficiyentVinoskiPrimitki Naspravdi cej pidhid daye vsi nepostijni chleni z vid yemnim znakom sho ne ye pravilnim dlya drugogo rivnyannya treba pripustiti sho ce pomilka transkripciyi Dzherela George Andrews 2018 The geometric series in calculus PDF The American Mathematical Monthly 105 1 36 40 doi 10 1080 00029890 1998 12004846 Knopp Konrad 1944 Theory and applications of infinite series Blackie and Son 22 Coolidge 1949 Abel 1826 LiteraturaAbel Niels 1826 Recherches sur la serie 1 m 1 x m m 1 1 2 x2 m m 1 m 2 1 2 3 x3 Journal fur die reine und angewandte Mathematik 1 311 339 Coolidge J L 1949 The Story of the Binomial Theorem The American Mathematical Monthly 56 3 147 157 doi 10 2307 2305028 JSTOR 2305028PosilannyaWeisstein Eric W Binomialnij ryad angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Binomialna teorema angl na sajti Wolfram MathWorld Binomialna formula na PlanetMath angl Hazewinkel Michiel red 2001 series Binomial series Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Yak Isaak Nyuton vidkriv binomialnij stepenevij ryad Serpen 31 2022