Інтегрувальний множник (англ. integrating factor) — функція, за допомогою якої спрощують розв'язування певного рівняння із диференціалами. Інтегрувальний множник часто використовують для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, але також використовується в аналізі функцій багатьох змінних, де множення на такий множник дозволяє неточний диференціал перевести в (який вже можна інтегрувати для отримання скалярного поля). Це особливо корисно в термодинаміці, де температура стає інтегрувальним множником, який робить ентропію точним диференціалом.
Використання для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь
Інтегрувальні множники стають у пригоді під час ров'язання звичайних диференціальних рівнянь, які можна записати в формі
Ідея полягає у віднайдені деякої функції , яка зветься "інтегрувальний множник," на яку ми можемо помножити наше диференціальне рівняння з тим, щоб отримати ліворуч похідну. Для лінійного диференціального рівняння в канонічній формі як наведено вище, інтегрувальний множник буде
І множення на дає
Використовуючи правило добутку в зворотньому напрямку, ми бачимо, що лівий бік рівняння можна виразити як одну похідну по
Ми використовуємо цей факт, щоб спростити вираз до
Тоді ми інтегруємо обидва боки по , спочатку через перейменування
у
, отримуємо
Насамкінець, ми можемо перенести показникову функцію праворуч для отримання загального розв'язку:
У випадку однорідного диференціального рівняння, коли , ми отримуємо
де є сталою.
Приклад
Розв'яжемо диференціальне рівняння
Можна побачити, що в цьому випадку
(Зауважте, що ми не мусимо включати сталу інтегрування - нам потрібен лише розв'язок, а не загальний розв'язок)
Множимо на і отримуємо
Згадуємо як брати похідну від дробу і робимо це у зворотньому напрямку
або
що нам дає
Посилання
Weisstein, Eric W. Інтегрувальний множник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Integruvalnij mnozhnik angl integrating factor funkciya za dopomogoyu yakoyi sproshuyut rozv yazuvannya pevnogo rivnyannya iz diferencialami Integruvalnij mnozhnik chasto vikoristovuyut dlya rozv yazannya zvichajnih diferencialnih rivnyan ale takozh vikoristovuyetsya v analizi funkcij bagatoh zminnih de mnozhennya na takij mnozhnik dozvolyaye netochnij diferencial perevesti v yakij vzhe mozhna integruvati dlya otrimannya skalyarnogo polya Ce osoblivo korisno v termodinamici de temperatura staye integruvalnim mnozhnikom yakij robit entropiyu tochnim diferencialom Vikoristannya dlya rozv yazannya zvichajnih diferencialnih rivnyanIntegruvalni mnozhniki stayut u prigodi pid chas rov yazannya zvichajnih diferencialnih rivnyan yaki mozhna zapisati v formi y P x y Q x displaystyle y P x y Q x Ideya polyagaye u vidnajdeni deyakoyi funkciyi M x displaystyle M x yaka zvetsya integruvalnij mnozhnik na yaku mi mozhemo pomnozhiti nashe diferencialne rivnyannya z tim shob otrimati livoruch pohidnu Dlya linijnogo diferencialnogo rivnyannya v kanonichnij formi yak navedeno vishe integruvalnij mnozhnik bude M x e s 0 x P s d s displaystyle M x e int s 0 x P s ds I mnozhennya na M x displaystyle M x daye y e s 0 x P s d s P x y e s 0 x P s d s Q x e s 0 x P s d s displaystyle y e int s 0 x P s ds P x ye int s 0 x P s ds Q x e int s 0 x P s ds Vikoristovuyuchi pravilo dobutku v zvorotnomu napryamku mi bachimo sho livij bik rivnyannya mozhna viraziti yak odnu pohidnu po x displaystyle x y e s 0 x P s d s P x y e s 0 x P s d s d d x y e s 0 x P s d s displaystyle y e int s 0 x P s ds P x ye int s 0 x P s ds frac d dx ye int s 0 x P s ds Mi vikoristovuyemo cej fakt shob sprostiti viraz do d d x y e s 0 x P s d s Q x e s 0 x P s d s displaystyle frac d dx ye int s 0 x P s ds Q x e int s 0 x P s ds Todi mi integruyemo obidva boki po x displaystyle x spochatku cherez perejmenuvannya x displaystyle x u t displaystyle t otrimuyemo y e s 0 x P s d s t 0 x Q t e s 0 t P s d s d t C displaystyle ye int s 0 x P s ds int t 0 x Q t e int s 0 t P s ds dt C Nasamkinec mi mozhemo perenesti pokaznikovu funkciyu pravoruch dlya otrimannya zagalnogo rozv yazku y e s 0 x P s d s t 0 x Q t e s 0 t P s d s d t C e s 0 x P s d s displaystyle y e int s 0 x P s ds int t 0 x Q t e int s 0 t P s ds dt Ce int s 0 x P s ds U vipadku odnoridnogo diferencialnogo rivnyannya koli Q x 0 displaystyle Q x 0 mi otrimuyemo y C e s 0 x P s d s displaystyle y frac C e int s 0 x P s ds de C displaystyle C ye staloyu Priklad Rozv yazhemo diferencialne rivnyannya y 2 y x 0 displaystyle y frac 2y x 0 Mozhna pobachiti sho v comu vipadku P x 2 x displaystyle P x frac 2 x M x e P x d x displaystyle M x e int P x dx M x e 2 x d x e 2 ln x e ln x 2 x 2 displaystyle M x e int frac 2 x dx e 2 ln x e ln x 2 x 2 Zauvazhte sho mi ne musimo vklyuchati stalu integruvannya nam potriben lishe rozv yazok a ne zagalnij rozv yazok M x 1 x 2 displaystyle M x frac 1 x 2 Mnozhimo na M x displaystyle M x i otrimuyemo y x 2 2 y x 3 0 displaystyle frac y x 2 frac 2y x 3 0 y x 3 2 x 2 y x 5 0 displaystyle frac y x 3 2x 2 y x 5 0 x y x 2 2 x y x 5 0 displaystyle frac x y x 2 2xy x 5 0 y x 2 2 x y x 4 0 displaystyle frac y x 2 2xy x 4 0 Zgaduyemo yak brati pohidnu vid drobu i robimo ce u zvorotnomu napryamku y x 2 0 displaystyle left frac y x 2 right 0 abo y x 2 C displaystyle frac y x 2 C sho nam daye y x C x 2 displaystyle y left x right Cx 2 PosilannyaWeisstein Eric W Integruvalnij mnozhnik angl na sajti Wolfram MathWorld