Графи шести en 3 3 3 3 3 4 4 3 3 П ятикомірник 4 симплекс Шістнадцятикомірник Ортоплекс 4 ортоплекс Тесеракт 4 куб 3 4 3

Графи шести ^[en]
{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}
П'ятикомірник 4-симплекс	Шістнадцятикомірник Ортоплекс 4-ортоплекс	Тесеракт 4-куб
{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Октаплекс Двадцятичотирьохкомірник	Додекаплекс Стодвадцятикомірник	Тетраплекс Шестисоткомірник

4-політоп або чотиривимірний політоп — політоп у чотиривимірному просторі. Зв'язана замкнута фігура, що складається з політопів меншої розмірності — вершин, ребер, граней (многокутників) та ^[en] (тривимірних многогранників). Кожна грань належить рівно двом коміркам.

Двовимірним відповідником 4-політопа є многокутник, а тривимірним — тривимірний многогранник.

Топологічно 4-політопи тісно пов'язані з ^[en], такими як кубічний стільник, що замощує тривимірний простір. Подібно тривимірний куб пов'язаний із нескінченним двовимірним квадратним паркетом. Опуклі 4-політопи можна розрізати та розгорнути у вигляді розгорток у тривимірному просторі.

Визначення

4-політоп є замкнутою чотиривимірною фігурою. Він складається з вершин (кутових точок), ребер, граней і ^[en]. Комірка — тривимірний відповідник грані і є тривимірним многогранником. Кожна двовимірна грань повинна з'єднувати рівно дві комірки, аналогічно тому, як ребро тривимірного многогранника з'єднує рівно дві грані. Подібно до інших політопів, елементи 4-політопа не можна розділити на дві або більше множин, які також є 4-політопами, тобто він не є складеним.

Найвідомішим 4-політопом є тесеракт (гіперкуб), чотиривимірний відповідник куба.

Візуалізація

Приклади подання двадцятичотирьохкомірників
Зріз		Розгортка

Проєкції
Шлегель	2D ортогональна	3D ортогональна

4-політопи неможливо уявити в тривимірному просторі через зайву розмірність. Для візуалізації використовують низку технік.

Ортогональна проєкція

Ортогональні проєкції можна використовувати для показу різних симетрій 4-політопа. Проєкції можна подати у вигляді двовимірних графів, а можна — у вигляді тривимірних тіл як ^[en].

Перспективна проєкція

Так само, як тривимірні фігури можна спроєктувати на плоский аркуш, чотиривимірні фігури можна спроєктувати в тривимірний простір або навіть на площину. Найпоширенішим видом проєкції є діаграма Шлегеля, що використовує стереографічну проєкцію точок на поверхню 3-сфери в тривимірному просторі, з'єднаних у тривимірному просторі прямими ребрами, гранями та комірками.

Зріз

Так само, як розріз многогранника виявляє поверхню розрізу, зріз 4-політопа дає «гіперповерхню» в тривимірному просторі. Послідовність таких зрізів можна використати для розуміння будови всієї фігури. Зайву розмірність можна прирівняти до часу для утворення анімації цих перерізів.

Розгортки

Розгортка 4-політопа складається зі многогранних ^[en], з'єднаних гранями і розташованих у тривимірному просторі, так само, як многокутні грані розгортки тривимірного многогранника з'єднані ребрами і розташовуються всі в одній площині.

Топологічні характеристики

Топологія будь-якого заданого 4-політопа визначається його числами Бетті та ^[en].

Значення ейлерової характеристики, що використовується для характеристики многогранників, не узагальнюється належним чином на вищі розмірності і дорівнює нулю для всіх 4-політопів, якою б не була нижча топологія. Ця невідповідність ейлерової характеристики для достеменного розрізнення топологій у високих розмірностях веде до появи більш витончених чисел Бетті.

Подібно, поняття орієнтованості многогранника недостатньо для характеристики закруту поверхонь тороїдальних многогранників, що приводить до використання коефіцієнтів закруту.

Класифікація

Критерії

4-політопи можна класифікувати за властивостями, такими як «опуклість» і «симетрія».

4-політоп є опуклим, якщо його межі (включно з комірками, (тривимірними) гранями та ребрами) не перетинають себе (в принципі, грані політопа можуть проходити всередині оболонки) і відрізки, що з'єднують будь-які дві точки 4-політопа, містяться повністю всередині нього. В іншому випадку політоп вважають неопуклим. 4-політопи, що самоперетинаються, відомі також як зірчасті політопи за аналогією зі схожими на зірки формами неопуклих многогранників Кеплера — Пуансо.
4-політоп є правильним, якщо він транзитивний відносно його прапорів. Це означає, що всі його комірки є конгруентними правильними многогранниками, а також його вершинні фігури конгруентні іншому виду правильних многогранників.
Опуклий 4-політоп є напівправильним, якщо він має групу симетрії, за якої всі вершини еквівалентні (вершинно-транзитивні) і комірки є правильними многогранниками. Комірки можуть бути двох і більше видів, за умови, що вони мають один і той же вид граней. Існує лише 3 таких фігури, які 1900 року знайшов ^[en]: всезрізаний п'ятикомірник, ^[en] і кирпатий двадцятичотирьохкомірник.
4-політоп є однорідним, якщо він має групу симетрії, за якої всі вершини еквівалентні та комірки є однорідними многогранниками. Грані (2-вимірні) однорідного 4-політопа повинні бути правильними многокутниками.
4-політоп є ^[en], якщо він вершинно-транзитивний і має ребра однієї довжини. Тобто дозволяються неоднорідні комірки, наприклад, опуклі многогранники Джонсона.
Про правильний 4-політоп, що є до того ж опуклим, кажуть як про ^[en].
4-політоп є призматичним, якщо він являє собою прямий добуток двох і більше многогранників меншої розмірності. Призматичний 4-політоп є однорідним, якщо його співмножники у прямому добутку однорідні. Гіперкуб є призматичним (добуток двох квадратів або куба і відрізка), але розглядається окремо, оскільки він має вищу симетрію, ніж симетрії, успадковані від співмножників.
Мозаїка або стільники в тривимірному просторі — це розклади тривимірного евклідового простору на повторювану ^[en] многогранних комірок. Такі мозаїки або замощення нескінченні і не обмежені «4D»-об'ємом, тому є прикладами нескінченних 4-політопів. Однорідна мозаїка тривимірного простору — це мозаїка, в якій вершини конгруентні і пов'язані кристалографічною групою, а комірки є однорідними многогранниками.

Класи

Наведемо список різних категорій 4-політопів, класифікований згідно з викладеними вище критеріями:

^[en] — один із 47 опуклих непризматичних однорідних 4-політопів

^[en] (вершинно-транзитивний).

Опуклі однорідні 4-політопи (64 + два нескінченних сімейства)
- 47 непризматичних опуклих однорідних 4-політопи включають:
  - 6 ^[en].
- ^[en]:
  - {} × {p, q} : 18 ^[en] (включно з кубічними гіперпризмами, правильними гіперкубами);
  - Призми, побудовані на антипризмах (нескінченне сімейство);
  - {p} × {q} : ^[en] (нескінченне сімейство)
Неопуклі однорідні 4-політопи (10 + невідомо):
^[en], що має 600 вершин, є найбільшим із 10 правильних 4-політопів
- 10 (правильних) ^[en];
- 57 гіперпризм, побудованих на неопуклих однорідних многогранниках;
- Невідома кількість неопуклих однорідних 4-політопів — ^[en] та інші співавтори знайшли 1849 многогранників (опуклих і зірчастих); усі вони побудовані на вершинних фігурах за допомогою програми ^[en].

Інші опуклі 4-політопи:

^[en];
^[en].

Правильний кубічний стільник — єдиний правильний нескінченний 4-політоп у евклідовому тривимірному просторі

Нескінченні однорідні 4-політопи в евклідовому 3-вимірному просторі (однорідні замощення опуклими однорідними комірками):

28 ^[en] (однорідних опуклих замощень), зокрема:
- 1 правильне замощення, ^[en]: {4,3,4}.

Нескінченні однорідні 4-політопи гіперболічного тривимірного простору (однорідні замощення опуклими однорідними комірками):

76 вітгофових ^[en], зокрема:
- ^[en]: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}.

Двоїсті ^[en] (^[en]):

41 унікальний двоїстий однорідний 4-політоп;
17 унікальних двоїстих однорідних многогранних призм;
нескінченне сімейство двоїстих опуклих однорідних дуопризм (з неправильними тетраедричними комірками);
27 унікальних двоїстих однорідних стільників, зокрема:
- ^[en] ;
- ^[en].

Інші:

^[en] періодичного стільника з неправильними комірками, що заповнює простір.

Одинадцятикомірник — абстрактний правильний 4-політоп, що існує в дійсній проєктивній площині. Його можна уявити, намалювавши його 11 напівікосаедричних вершин і комірок у кольорі.

Абстрактні правильні 4-політопи:

Одинадцятикомірник
^[en]

Ці категорії включають лише 4-політопи з високим ступенем симетрії. Можливе існування багатьох інших 4-політопів, але їх не вивчали настільки інтенсивно, як перелічені вище.

Див. також

^[en]
3-сфера — інша широко обговорювана фігура, в чотиривимірному просторі. Але вона не є 4-політопом, оскільки не обмежена многогранними комірками.
^[en] — фігура в чотиривимірному просторі, пов'язана з , хоча це не многогранник.
Кубічна піраміда
Ікосаедрична піраміда

Примітки

Vialar, 2009, с. 674.
Capecchi, Buscema, D'Amore, 2010, с. 598.
Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
В англійській мові використано слово scaliform, утворене від двох слів — scale (багатозначне слово, тут — розмір, шкала) і uniform (однорідний). Назву запропонував Джонатан Боуерс (Jonathan Bowers)
Uniform Polychora, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005

Література

T. Vialar. Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. — Springer, 2009. — С. 674. — .
V. Capecchi, P. Capecchi, M. Buscema, B. D'Amore. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. — Springer, 2010. — С. 598. — . — DOI:10.1007/978-90-481-8581-8.
H.S.M. Coxeter:
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
- . ^[en]. — 3rd (1947, 63, 73). — New York : Dover Publications Inc, 1973. — .
H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — .
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380—407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559—591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
J.H. Conway, M.J.T. Guy. Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen. — 1965. — С. 38-39.
. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — Ph.D. Dissertation. — University of Toronto, 1966.
Four-dimensional Archimedean Polytopes (German), Marco Möller, 2004 PhD dissertation [1]

Посилання

Weisstein, Eric W. Polychoron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Polyhedral formula(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Regular polychoron Euler characteristics(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
^[pt]
^[pt] на Glossary for Hyperspace
Uniform Polychora, Jonathan Bowers
Dr. R. Klitzing, polychora

[FOOTNOTEVialar2009674-1] Vialar, 2009, с. 674.

[FOOTNOTECapecchi,_Buscema,_D'Amore2010598-2] Capecchi, Buscema, D'Amore, 2010, с. 598.

[richeson-3] Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.

[4] В англійській мові використано слово scaliform, утворене від двох слів — scale (багатозначне слово, тут — розмір, шкала) і uniform (однорідний). Назву запропонував Джонатан Боуерс (Jonathan Bowers)

[5] Uniform Polychora, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005