Правильногранний многогранник це опуклий многогранник кожна грань якого є правильним многокутником J37 многогранник Джон

Правильногранний многогранник — це опуклий многогранник, кожна грань якого є правильним многокутником.

Цей приклад, що має гранями 24 правильних трикутники, не є тілом Джонсона, оскільки не є опуклим. (Фактично це єдина зірчаста форма, можлива для октаедра.)

Цей приклад, що має 24 квадратних граней, не є тілом Джонсона, оскільки не є строго опуклим (має двогранні кути 180°).

Правильногранний многогранник називають тілом Джонсона або многогранником Джонсона, якщо він не є ні платоновим тілом (правильним многогранником), ні архімедовим, ні призмою, ні антипризмою.

Прикладом тіла Джонсона є піраміда з квадратною основою і бічними гранями у вигляді правильних трикутників (J₁(М₂)). Вона має 1 квадратну грань і 4 трикутних.

Як і в кожного строго опуклого тіла, в цих многогранників до кожної вершини примикає щонайменше три грані і сума їхніх кутів (прилеглих до вершини) менша від 360º. Оскільки правильні многокутники мають кути щонайменше 60º, до вершини можуть прилягати максимум п'ять граней. ^[en] (J₂) є прикладом, у якому є вершина п'ятого порядку (тобто з п'ятьма гранями).

Хоча немає явного обмеження на правильні многокутники, які можуть служити гранями тіл Джонсона, насправді грані можуть мати тільки 3, 4, 5, 6, 8 або 10 сторін, причому трикутні грані (не менше чотирьох) має будь-яке з тіл Джонсона.

(J₃₇), який називають також псевдоромбокубооктаедром єдиний з тіл Джонсона має властивість локальної вершинної однорідності — в кожній вершині сходяться 4 грані і їхнє розташування однакове — 3 квадрати і 1 трикутник. Однак тіло вершинно-транзитивним не є, оскільки має різну ізометрію в різних вершинах, що й робить його тілом Джонсона, а не архімедовим тілом.

Історія

1966 року ^[en] опублікував список усіх 92 тіл і дав їм назви й номери. Він висловив гіпотезу, що їх тільки 92, тобто інших немає.

Раніше, 1946 року Л. Н. Єсаулова надіслала О. Д. Александрову листа, в якому довела, що правильногранних многогранників (крім 5 правильних многогранників, 13 напівправильних і двох нескінченних серій (призм та антипризм) може існувати лише скінченне число. 1961 року Александров передав цього листа ^[ru], можливо через нотатки Джонсона 1960 року. 1967 року Залгаллер опублікував доведення того, що список Джонсона повний. До виконання було залучено групу школярів . Повне доведення зайняло близько 4 років з залученням комп'ютерної техніки. В доведенні також істотно використовувалась теорема Александрова про опуклі многогранники.

Термінологія

Назви тіл Джонсона мають велику описову здатність. Більшість цих тіл можна побудувати з кількох тіл (пірамід, куполів і ротонд), додаючи платонові і архімедові тіла, призми й антипризми.

Бі- означає, що дві копії тіл з'єднані основами. Для куполів і ротонд вони можуть бути з'єднані гранями одного типу (прямі) або різних (повернуті). Октаедр, наприклад, є квадратною біпірамідою, кубооктаедр — повернутим трикутним бікуполом, а ікосододекаедр — повернутою п'ятикутною біротондою.
Подовжений означає, що до тіла приєднано призму або її вставлено між двома частинами тіла. Ромбокубооктаедр, наприклад, є подовженим квадратним прямим куполом.
Скручений подовжений означає, що до тіла приєднано антипризму або її вставлено між двома частинами тіла. Ікосаедр, наприклад, є скрученою подовженою п'ятикутною біпірамідою.
Нарощений означає, що піраміда або купол приєднані до грані тіла.
Відсічений означає, що піраміду або купол відрізано від тіла.
Скручений означає, що купол, який належить многограннику, повернуто так само, як у повернутих бікуполах.

Останні три операції — нарощення, відсікання і поворот — на досить великих многогранниках можуть бути виконані більше одного разу. Для операцій, здійснених два рази, додається двічі. (Двічі скручене тіло має два повернутих куполи.) Для операцій, виконаних три рази, додається тричі. (У тричі відсіченого тіла видалено три піраміди або куполи.)

Іноді слова двічі недостатньо. Необхідно відрізняти тіла, в яких змінено дві протилежні грані від тіл, в яких змінено інші грані. Коли змінені грані паралельні, до назви додається протилежно. (Двічі протилежно нарощене тіло має дві паралельні грані (протилежні) з доданими тілами.) Якщо ж зміни стосуються граней, які не є протилежними, до назви додається, косо. (Двічі косо нарощене тіло має дві грані з доданими тілами, але ці грані не протилежні.)

Кілька назв походять від многокутників, з яких зібрано тіло Джонсона.

Якщо визначити місяць як групу з двох трикутників, приєднаних до квадрата, слово клинокорона відповідає клиноподібній короноподібній групі, утвореній двома місяцями. Слово двоклиноїд або двоклинник означає дві такі групи.

У цій статті використовуються назви зі статті Залгаллера. Разом з номерами многогранників, даними Джонсоном, у дужках наведено складений номер зі статті Залгаллера. У цьому складеному номері

П_n позначає призму з n-кутною основою.

А_n позначає антипризму з n-кутною основою.

М_n позначає тіло з індексом n (тобто в цьому випадку тіло будується на основі іншого тіла).

Підкреслення означає поворот тіла.

Зауваження: М_n не збігається з J_n. Так, квадратна піраміда J₁(М₂) має індекс 1 у Джонсона і індекс 2 у Залгаллера.

Список

Піраміди

Перші два тіла Джонсона, J₁ і J₂, є пірамідами. Трикутна піраміда є правильним тетраедром, тобто не є тілом Джонсона.

Піраміди
Правильні	J₁(М₂)	J₂(М₃)
Трикутна піраміда (тетраедр)	Квадратна піраміда	^[en]

Куполи й ротонди

Наступні чотири многогранники — три куполи й одна ротонда.

Куполи				Ротонди
Однорідні	J₃(М₄)	J₄(М₅)	J₅(М₆)	J₆(М₉)
Трикутна призма	Трисхилий купол	Чотирисхилий купол		П'ятисхила ротонда


Пов'язані однорідні многогранники
	Кубооктаедр	Ромбокубооктаедр	Ромбоікосододекаедр	Ікосододекаедр

Подовжені і скручені подовжені піраміди

Наступні п'ять многогранників Джонсона є подовженими і скрученими подовженими пірамідами. Їх отримують склеюванням двох многогранників. У разі скрученої подовженої трикутної піраміди три пари суміжних трикутників копланарні, тобто тіло не є многогранником Джонсона.

^[en] (або нарощені призми)			^[en] (або нарощені антипризми)
J₇(М₁+П₃)	J₈(М₂+П₄)	J₉(М₃+П₅)	Копланарна	J₁₀(М₂+А₄)	J₁₁(М₃+А₅)
				Скручена подовжена чотирикутна піраміда
Нарощена трикутна призма	Нарощений куб	Нарощена п'ятикутна призма	Нарощений октаедр	Нарощена квадратна антипризма	Нарощена п'ятикутна антипризма


Утворені з многогранників
Тетраедр Трикутна призма	Квадратна піраміда Куб	^[en] П'ятикутна призма	Тетраедр Октаедр	Квадратна піраміда Квадратна антипризма	^[en] П'ятикутна антипризма

Біпіраміди

Наступними многогранниками Джонсона є біпіраміди, ^[en] і ^[en]:

Біпіраміди			^[en]			^[en]
J₁₂(2М₁)	Правильна	J₁₃(2М₃)	J₁₄(М₁+П₃+М₁)	J₁₅(М₂+П₄+М₂)	J₁₆(М₃+П₅+М₃)	Копланарна	J₁₇(М₂+А₄+М₂)	Правильні
Трикутна біпіраміда	Квадратна біпіраміда (октаедр)	П'ятикутна біпіраміда				Скручена подовжена трикутна біпіраміда (ромбоедр)	Скручена подовжена чотирикутна біпіраміда	Скручена подовжена п'ятикутна біпіраміда (ікосаедр)


Утворені з многогранників
Тетраедр	Квадратна піраміда	^[en]	Тетраедр Трикутна призма	Квадратна піраміда Куб	^[en]П'ятикутна призма	Тетраедр Октаедр	Квадратна піраміда Квадратна антипризма	^[en] П'ятикутна антипризма

Подовжені куполи та ротонди

^[en]				Подовжена ротонда	^[en]				Скручена подовжена ротонда
Копланарні	J₁₈(М₄+П₆)	J₁₉(М₅+П₈)	J₂₀(М₆+П₁₀)	J₂₁(М₉+П₁₀)	Увігнуті	J₂₂(М₄+А₆)	J₂₃(М₅+А₈)	J₂₄(М₆+А₁₀)	J₂₅(М₉+А₁₀)
	Подовжений трисхилий купол


Утворені з многогранників
Квадратна призма Трикутна призма	Шестикутна призма Трисхилий купол	Чотирисхилий купол		П'ятисхила ротонда	^[en]Трикутна призма	Шестикутна антипризма Трисхилий купол	Восьмикутна антипризма	^[en]	^[en]П'ятисхила ротонда

Бікуполи

Повернуті трикутні бікуполи є напівправильними многогранниками (в цьому випадку — архімедовими тілами), тобто вони не належать до класу многогранників Джонсона.

				Повернуті куполи
Копланарний	J₂₇(2М₄)	J₂₈(2М₅)	J₃₀(2М₆)	J₂₆(П₃+П₃)	Напівправильний	J₂₉(М₅+М₅)	J₃₁(М₆+М₆)
				Двосхилий повернутий бікупол (гіробіфастигіум)	Трикутний повернутий бікупол (кубооктаедр)


Утворені з многогранників

Куполоротонди і біротонди

Куполоротонди		Біротонди
J₃₂(М₆+М₉)	J₃₃(М₆+М₉)	J₃₄(2М₉)	Напівправильна
			П'ятисхила повернута біротонда (ікосододекаедр)


Утворені з многогранників
П'ятисхила ротонда		П'ятисхила ротонда

Подовжені бікуполи

^[en]				^[en]
Копланарний	J₃₅(М₄+П₆+М₄)	Напівправильний	J₃₈(М₆+П₁₀+М₆)	Копланарний	J₃₆(М₄+П₆+М₄)	J₃₇(М₅+П₈+М₅)	J₃₉(М₆+П₁₀+М₆)
		Подовжений квадратний прямий бікупол (ромбокубооктаедр)

Подовжені куполоротонди і біротонди

Подовжені куполоротонди		Подовжені біротонди
J₄₀(М₆+П₁₀+М₉)	J₄₁(М₆+П₁₀+М₉)	J₄₂(М₉+П₁₀+М₉)	J₄₃(М₉+П₁₀+М₉)

Скручені подовжені бікуполи, куполоротонди і біротонди

^[en] антипризми можна побудувати альтеруванням зрізаних антипризм. Два тіла є многогранниками Джонсона, одне тіло правильне, а решту неможливо побудувати за допомогою правильних трикутників.

^[en]				Скручена подовжена куполоротонда	Скручена подовжена біротонда
Неопуклі	J₄₄(М₄+А₆+М₄)	J₄₅(М₅+А₈+М₅)	J₄₆(М₆+А₁₀+М₆)	J₄₇(М₆+А₁₀+М₉)	J₄₈(М₉+А₁₀+М₉)



Утворені з многогранників
Трикутна призма Квадратна антипризма	Трисхилий купол Шестикутна антипризма	Чотирисхилий купол Восьмикутна антипризма	^[en]	П'ятисхила ротонда ^[en]	П'ятисхила ротонда ^[en]

Нарощені трикутні призми

J₇(М₁+ П₃) (повторно)	J₄₉(П₃+М₂)	J₅₀(П₃+2М₂)	J₅₁(П₃+3М₂)



Утворені з многогранників
Трикутна призма Тетраедр	Трикутна призма Квадратна піраміда

Нарощені п'ятикутні і шестикутні призми

Нарощені п'ятикутні призми		Нарощені шестикутні призми
J₅₂(П₅+М₂)	J₅₃(П₅+2М₂)	J₅₄(П₆+М₂)	J₅₅(М₂+П₆+М₂)	J₅₆(П₆+2М₂)	J₅₇(П₆+3М₂)
Нарощена п'ятикутна призма


Утворені з многогранників
П'ятикутна призма Квадратна піраміда		Шестикутна призма Квадратна піраміда

Нарощені додекаедри

Правильний	J₅₈(М₁₅+М₃)	J₅₉(М₃+М₁₅+М₃)	J₆₀(М₁₅+2М₃)	J₆₁(М₁₅+3М₃)
Додекаедр


Утворені з многогранників
Додекаедр і ^[en]

Інші

Правильний	J₁₁(М₃+А₅) (повторно)	J₆₃(М₇)
Ікосаедр	Відсічений ікосаедр ()	Тричі відсічений ікосаедр


Утворені з многогранників
Тричі відсічений ікосаедр, ^[en] і тетраедр

Нарощені зрізані тетраедри і куби

J₆₅(М₁₀+М₄)	J₆₆(М₁₁+М₅)	J₆₇(М₅+М₁₁+М₅)



Утворені з многогранників
Зрізаний тетраедр Трисхилий купол	Зрізаний куб Чотирисхилий купол

Нарощені зрізані додекаедри

Напівправильний	J₆₈(М₆+М₁₂)	J₆₉(М₆+М₁₂+М₆)	J₇₀(М₁₂+2М₆)	J₇₁(М₁₂+3М₆)
Зрізаний додекаедр

Скручені ромбоікосододекаедри

J₇₂(М₆+М₁₄+М₆=М₆+М₁₃+2М₆)	J₇₃(М₆+М₁₄+М₆)	J₇₄(2М₆+М₁₃+М₆)	J₇₅(3М₆+М₁₃)

Відсічені ромбоікосододекаедри

J₇₆(М₆+М₁₄=2М₆+М₁₃)	J₇₇(М₁₄+М₆)	J₇₈(М₁₃+М₆+М₆)	J₇₉(М₁₃+2М₆)




J₈₀(М₁₄)	J₈₁(М₁₃+М₆)	J₈₂(М₁₄+М₆)	J₈₃(М₁₃)

Кирпаті антипризми

^[en] антипризми можна побудувати альтеруванням зрізаних антипризм. Два тіла є многогранниками Джонсона, одне тіло правильне, а решту неможливо побудувати за допомогою правильних трикутників.

J₈₄(М₂₅)	Правильний	J₈₅(М₂₈)	Неправильний
Тіло Джонсона	Правильний	Тіло Джонсона	Увігнутий…
ss{2,4}	Ікосаедр ss{2,6}	ss{2,8}	ss{2,10}…

Відсічені ікосаедри

J₈₆(М₂₂)	J₈₇(М₂₂+М₃)	J₈₈(М₂₃)



J₈₉(М₂₁)	J₉₀(М₂₄)	J₉₁(М₈)	J₉₂(М₂₀)
		Подвійна серпоротонда

Класифікація за типами граней

Трикутні грані

П'ять многогранників Джонсона є дельтаедрами, тобто, всі їх грані — правильні трикутники:

J₁₂(2М₁) Трикутна біпіраміда : J₁₃(2М₃) П'ятикутна біпіраміда : J₁₇(М₂+А₄+М₂) Скручена подовжена чотирикутна біпіраміда	J₅₁(П₃+3М₂) : J₈₄(М₂₅)

Трикутні та квадратні грані

Двадцять чотири многогранники Джонсона мають тільки трикутні та чотирикутні грані:

J₁(М₂) Квадратна піраміда : J₇(М₁+П₃) : J₈(М₂+П₄) : J₁₀(М₂+А₄) Скручена подовжена чотирикутна піраміда : J₁₄(М₁+П₃+М₁) : J₁₅(М₂+П₄+М₂) : J₁₆(М₃+П₅+М₃) : J₂₆(П₃+П₃) Двосхилий повернутий бікупол (гіробіфастигіум)	J₂₇ (2М₄) : J₂₈ (2М₅) : J₂₉(М₅+М₅) : J₃₅(М₄+П₆+М₄) : J₃₆(М₄+П₆+М₄) : J₃₇(М₅+П₈+М₅) : J₄₄(М₄+А₆+М₄) : J₄₅(М₅+А₈+М₅)	J₄₉(П₃+М₂) : J₅₀(П₃+2М₂) : J₈₅(М₂₈) : J₈₆(М₂₂) : J₈₇(М₂₂+М₃) : J₈₈(М₂₃) : J₈₉(М₂₁) : J₉₀(М₂₄)

Трикутні і п'ятикутні грані

Одинадцять тіл Джонсона мають тільки трикутні і п'ятикутні грані:

J₂(М₃) ^[en] : J₁₁(М₃+А₅) : J₃₄(2М₉) : J₄₈(М₉+А₁₀+М₉) : J₅₈(П₁₅+М₃) : J₅₉(М₃+М₁₅+М₃)	J₆₀(М₁₅+2М₃) : J₆₁(М₁₅+2М₃) : J₆₂(М₇+М₃) : J₆₃(М₇) Тричі відсічений ікосаедр : J₆₄(М₇+М₁)

Трикутні, квадратні і шестикутні грані

Вісім многогранників Джонсона мають тільки трикутні, квадратні і шестикутні грані:

J₃(М₄) Трисхилий купол : J₁₈(М₄+П₆) Подовжений трисхилий купол : J₂₂(М₄+А₆) : J₅₄(П₆+М₂)	J₅₅(М₂+П₆+М₂) : J₅₆(П₆+2М₂) J₅₇(П₆+3М₂) : J₆₅(М₁₀+М₄)

Трикутні, квадратні і восьмикутні грані

П'ять многогранників Джонсона мають тільки трикутні, квадратні і восьмикутні грані:

J₄(М₅) Чотирисхилий купол : J₁₉(М₅+ П₈) : J₂₃(М₅+ А₈)	J₆₆(М₁₁+М₅) : J₆₇(М₅+М₁₁+М₅)

Вписувані у сферу многогранники Джонсона

25 многогранників Джонсона мають вершини, які лежать на одній сфері: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Всі ці многогранники можна отримати з правильних або однорідних многогранників шляхом повороту (купола) або відсікання (купола чи піраміди).

Октаедр	Кубооктаедр		Ромбокубооктаедр
J₁(М₂)	J₃(М₄)		J₄(М₅)

Ікосаедр				Ікосододекаедр
^[en]	J₆₃(М₇)			J₆(М₉)

Ромбоікосододекаедр (відсічений)

Ромбоікосододекаедр (+ поворот)

Див. також

Примітки

Pseudo Rhombicuboctahedra.
Johnson N. W. Convex polyhedra with regular faces (preliminary report) // Notices Amer. Math. Soc. — 1960. — 16 червня. — С. 952.
Залгаллер, 1967.
Johnson solids et al.

Література

Гурин А. М. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями // Сиб. электрон. матем. изв. — 2010. — Т. 7 (16 июня). — С. A.5—A.23.
^[en]. Convex Solids with Regular Faces // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Т. 18 (16 червня). — С. 169—200. — ISSN 0008-414X. — DOI:10.4153/cjm-1966-021-8. (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.)
Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями. — М.—Л. : Наука, 1967. — Т. 2. — 221 с. — (Зап. научн. сем. ЛОМИ) (Перший доказ, що існує тільки 92 тел Джонсона.)
Anthony Pugh. Глава 3. Дальнейшие выпуклые многогранники // Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — .
Брёндстед А. Введение в теорию выпуклых многогранников. — М. : Мир, 1988.
Sylvain Gagnon. «Convex многогранників with regular faces^{[недоступне посилання з листопада 2017]}», Structural Topology. — 1982. — № 6. — P. 83-95.
Paper Models of Многогранників Many links
Johnson Solids by George W. Hart.
Weisstein, Eric W. Johnson Solid (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
VRML models of Johnson Solids by Jim McNeill
VRML models of Johnson Solids by Vladimir Bulatov
CRF polychora discovery project attempts to discover CRF polychora, a generalization of the Johnson solids to 4 dimensional space

Посилання

Sylvain Gagnon. «Convex многогранників with regular faces^{[недоступне посилання з листопада 2017]}». — Structural Topology. — 1982. — № 6. — P. 83-95.
Паперові моделі многогранників Багато посилань
Johnson Solids by George W. Hart.
Weisstein, Eric W. Johnson Solid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
VRML models of Johnson Solids by Jim McNeill
VRML models of Johnson Solids by Vladimir Bulatov
CRF polychora discovery project attempts to discover CRF polychora, a generalization of the Johnson solids to 4-dimensional space

[1] Pseudo Rhombicuboctahedra.

[2] Johnson N. W. Convex polyhedra with regular faces (preliminary report) // Notices Amer. Math. Soc. — 1960. — 16 червня. — С. 952.

[FOOTNOTEЗалгаллер1967-3] Залгаллер, 1967.

[4] Johnson solids et al.