Теорема Александрова про розгортку

Теорема Александрова про розгортку — теорема про єдиність замкнутого опуклого багатогранника з даною розгорткою, доведена Олександром Даниловичем Александровим. Є узагальненням теореми Коші про багатогранники і має схоже доведення.

Узагальнення цієї теореми на довільні метрики на сфері зіграло ключову роль у становленні та розвитку Александровської геометрії.

Формулювання

Багатогранна метрика на сфері ізометрична поверхні опуклого багатогранника тоді і тільки тоді, коли сума кутів при будь-якій її вершині не перевершує ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$. Більше того, багатогранник визначається метрикою на своїй поверхні з точністю до конгруентності.

При цьому допускається, що багатогранник вироджується у плоский багатокутник, у цьому випадку поверхня багатогранника визначається як подвоєння багатокутника в його межі, тобто дві копії багатокутника склеєні у відповідних точках межі.

Зауваження

Розгортка октаедра з чотирьох шестикутників.

• В оригінальному формулюванні Александров користується поняттям розгортки багатогранника на площині, тобто набору плоских багатокутників і правил склеювання цих багатокутників у багатогранну метрику. Одну з таких розгорток можна отримати з набору всіх граней багатогранника з природним правилом склеювання. Проте в загальному випадку, багатокутники розгортки можуть перекриватися з кількома гранями (дивись малюнок).

Варіації та узагальнення

• (Теорема Александрова) Внутрішня метрика на сфері ізометрична поверхні опуклого тіла тоді і тільки тоді, коли вона має невід'ємну кривину в сенсі Александрова. При цьому допускається, що тіло вироджується у плоску фігуру, у цьому випадку поверхня фігури визначається як її подвоєння.
  • (Теорема Погорєлова) Більше того, опукле тіло визначається однозначно з точністю до конгруентності.
  • (Теорема Оловянишнікова) Повна метрика ${\displaystyle d}$ на площині ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ізометрична поверхні опуклої множини ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{3}}$ тільки тоді, коли вона має невід'ємну кривину в сенсі Александрова. Більше того, конус на нескінченності ${\displaystyle K}$можна задати довільно за умови, що його межа ізометрична конусу на нескінченності ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d)}$.

Див. також

• Теорема монотонності Александрова
• Список об'єктів, названих на честь Олександра Александрова

Примітки

1. А. Д. Александров, Выпуклые многогранники. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.