Александровська геометрія

Александровська геометрія — своєрідний розвиток аксіоматичного підходу в сучасній геометрії. Ідея полягає в заміні певної рівності в аксіоматиці евклідового простору на нерівність.

Історія

Перше синтетичне визначення обмежень на кривину знизу і зверху дав Абрахам Вальд у своїй студентській роботі, написаній під керівництвом ^[ru]. Ця робота була забута аж до 1980-их років.

Подібні визначення були перевідкриті Олександром Даниловичем Александровим. Він також дав перші значні застосування цієї теорії, зокрема до завдань вкладення і згинання поверхонь.

Близьке визначення метричних просторів недодатною кривиною було дане майже одночасно ^[ru].

Дослідження Александрова та його учнів велись за двома основним напрямками:

• Двовимірні простори з кривиною, обмеженою знизу;
• Простори довільної розмірності з кривиною обмеженою зверху.
  • ^[ru] є продовженням цієї теорії для дискретних просторів. Воно має значні застосування в теорії груп.

Простори довільної розмірності з кривиною, обмеженою знизу, почали вивчати тільки в кінці 90-х років. Поштовхом до цих досліджень стала теорема Громова про компактність. Основна робота була написана ^[ru], Михайлом Леонідовичем Громовим і Григорієм Яковичем Перельманом.

Основні визначення

Трикутник порівняння для трійки точок ${\displaystyle xyz}$ метричного простору ${\displaystyle X}$ це трикутник ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]}$ на евклідовій площині ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$ з тими ж довжинами сторін; тобто

${\displaystyle {\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|x-y|_{X},\\|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|y-z|_{X},\\|{\tilde {z}}-{\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|z-x|_{X}.\end{aligned}}}$

Кут при вершині ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ у трикутнику порівняння ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]}$ називаються кутом порівняння трійки ${\displaystyle xyz}$ і позначаються ${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})}$.

В геометрії Александрова розглядаються повні метричні простори ${\displaystyle X}$ з внутрішньої метрикою з однією з двох таких нерівностей на 6 відстаней між 4 довільними точками.

Недодатна кривина

Перша нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок ${\displaystyle x,y,p,q\in X}$ розглянемо кілька трикутників порівняння ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]}$ і ${\displaystyle [{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]}$. Тоді для довільної точки ${\displaystyle {\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]}$ виконується нерівність

${\displaystyle |x-y|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.}$

У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє ${\displaystyle \mathrm {CAT} [0]}$-нерівності. У разі локального виконання цієї нерівності, кажуть, що простір має недодатну кривину в сенсі Александрова.

Невід'ємна кривина

Друга нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок ${\displaystyle p,x,y,z\in X}$ виконується нерівність

${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .}$

У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє ${\displaystyle \mathrm {CBB} [0]}$-нерівності або кажуть, що простір має невід'ємну кривину в сенсі Александрова.

Загальні обмеження на кривину

Замість Евклідової площини можна взяти простір ${\displaystyle \mathbb {M} [k]}$ — модельну площину кривини ${\displaystyle k}$. Тобто

• ${\displaystyle \mathbb {M} [0]}$ є евклідова площина,
• ${\displaystyle \mathbb {M} [k]}$ при ${\displaystyle k>0}$ є сфера радіуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {k}}}$,
• ${\displaystyle \mathbb {M} [k]}$ при ${\displaystyle k<0}$ є площина Лобачевського кривини ${\displaystyle k}$.

Тоді вищенаведені визначення перетворюються на визначення CAT[k] і CBB[k] просторів та просторів з кривиною ${\displaystyle \leq k}$ і ${\displaystyle \geq k}$ у сенсі Александрова У разі ${\displaystyle k>0}$, трикутник порівняння трійки ${\displaystyle (xyz)}$ вважається визначеним, якщо виконана така нерівність

${\displaystyle |x-y|_{X}+|y-z|_{X}+|z-x|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k}}}$.

Основні теореми

• ^[ru] — важливе технічне твердження про кути порівняння
• ^[ru] — дозволяє конструювати CAT(k) простору шляхом склеювання CAT(k) просторів за опуклими множинами.
• ^[ru] — дає зручне еквівалентне визначення CAT(k) просторів.
• Теорема глобалізації для CAT(k) просторів, є узагальненням теореми Адамара — Картана.
• Теорема глобалізації для CBB(k) просторів, є узагальненням ^[ru].

Див. також

• Синтетична геометрія

Примітки

1. Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. — 1935. — Bd. 6. — S. 24—46.
2. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Гостехиздат, 1948.
3. Александров А. Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения // Тр. МИАН СССР. — 1951. — Т. 38. — С. 5—23.
4. Busemann, Herbert with Spaces non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259—310.
5. Ю. Д. Бураго, М. Л. Громов, Г. Я. Перельман. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами // УМН. — 1992. — Т. 47, № 2(284). — С. 3—51.

Література

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — .
• Лекция 5, Геометрия Александрова [ 29 квітня 2017 у Wayback Machine.]
• Антон Петрунин, Александровская геометрия [ 27 грудня 2018 у Wayback Machine.] видео лекции
• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. Invitation to Alexandrov geometry: CAT[0] spaces. arXiv:1701.03483 [math.DG].