Це стаття про добування коренів. Див. також Корінь функції та Радикал цілого числа.
Корінь -го степеня із числа визначається як таке число , що Тут — натуральне число, що зветься показником кореня (або степенем кореня); як правило, воно більше або дорівнює 2, тому що випадок є тривіальним (звичайним). Добування кореня є протилежною математичною операцією до операції піднесення числа в степінь.
Позначення: символ (знак кореня) в правій частині називається радикалом. Число (підкореневий вираз) найчастіше дійсне або комплексне.
Приклади для дійсних чисел:
- тому що
- тому що
- тому що
Як видно з першого прикладу, у дійсного кореня можуть бути два значення (додатнє і від'ємне), і це ускладнює роботу з коренем. Щоб забезпечити однозначність, вводиться поняття арифметичного кореня, значення якого завжди невід'ємне, в першому прикладі це число
Означення та пов'язані поняття
Результати обчислення | |
---|---|
Додавання (+) | |
1-й доданок + 2-й доданок = | сума |
Віднімання (−) | |
зменшуване − від'ємник = | різниця |
Множення (×) | |
1-й множник × 2-й множник = | добуток |
Ділення (÷) | |
ділене ÷ дільник = | частка |
Ділення з остачею (mod) | |
ділене mod дільник = | остача |
Піднесення до степеня | |
основа степеняпоказник степеня = | степінь |
Обчислення кореня (√) | |
показник кореня √підкореневий вираз = | корінь |
Логарифм (log) | |
logоснова(число) = | логарифм |
Крім наведеного вище, можна дати два рівносильних означення кореня:
- Коренем -го степеня із числа є розв'язок рівняння (відзначимо, що розв'язків може бути кілька або жодного);
- Коренем -го степеня із числа є корінь многочлена тобто значення , при якому зазначений многочлен дорівнює нулю.
Операція обчислення називається «добуванням кореня -го степеня» із числа . Це одна з двох операцій, обернених піднесенню до степеня, а саме — знаходження основи степеня за відомим показником і результатом піднесення до степеня . Друга обернена операція, логарифмування, знаходить показник степеня за відомою основою та результатом.
Корені другого і третього степеня використовуються особливо часто і тому мають спеціальні назви.
- Квадратний корінь: У цьому випадку показник степеня 2 зазвичай опускається, а термін «корінь» без вказівки степеня найчастіше позначає квадратний корінь. Геометрично можна розглядати як довжину сторони квадрата, площа якого дорівнює .
- Кубічний корінь: Геометрично — це довжина ребра куба, об'єм якого дорівнює .
Корені з дійсних чисел
Корінь -го степеня із дійсного числа , в залежності від парності і знака , може мати від 0 до 2 дійсних значень.
Загальні властивості
- Корінь непарного степеня із додатного числа — додатне число, однозначно визначене.
, де — непарне |
- Наприклад,
- Корінь непарного степеня із від'ємного числа — від'ємне число, однозначно визначене.
, де — непарне |
- Наприклад,
- Корінь парного степеня із додатного числа має два значення з протилежними знаками, але рівні за модулем.
, де — парне |
- Наприклад,
- Корінь парного степеня із від'ємного числа не існує у області дійсних чисел, оскільки при піднесенні будь-якого дійсного числа до степеня з парним показником результатом буде невід'ємне число. Нижче буде показано, як знаходити такі корені в ширшій системі — множині комплексних чисел (тоді значеннями кореня будуть комплексних чисел).
не існує, якщо — парне |
- Корінь будь-якого натурального степеня від нуля — нуль.
де |
Арифметичний корінь
Корені парного степеня визначені, взагалі кажучи, неоднозначно, і цей факт створює незручності при їх використанні. Тому було введено практично важливе обмеження цього поняття.
Арифметичний корінь -го степеня з невід'ємного дійсного числа — це таке невід'ємне число , що Позначається арифметичний корінь тим же знаком радикала.
Таким чином, арифметичний корінь, на відміну від раніше визначеного (алгебраїчного), визначається лише для невід'ємних дійсних чисел, а його значення завжди існує, однозначно і невід'ємне. Наприклад, квадратний корінь з числа має два значення: та , з них арифметичним є перше.
- Оскільки арифметичний корінь і алгебраїчний позначаються одним і тим же символом, але є різними об'єктами, в рамках даної статті арифметичний корінь позначається синім кольором, а алгебраїчний — чорним.
Алгебраїчні властивості
Наведені нижче формули вірні, перш за все, для арифметичних коренів будь-якого степеня, у яких знак радикала виділений синім кольором (крім особливо обумовлених випадків). Вони справедливі також для коренів непарного степеня, у яких допускаються і від'ємні підкореневі вирази.
- Взаємоскорочення кореня і степеня — для непарного : , для парного :
- Якщо , то і
Корінь з добутку дорівнює добутку коренів із співмножників:
Аналогічно для ділення:
Наступна рівність є означенням піднесення у дробову степінь:
Величина кореня не зміниться, якщо його показник і степінь підкореневого виразу розділити на їх спільний множник:
- Приклад:
Для коренів непарного степеня є додаткова властивість:
- непарне.
Добуток кореня та піднесення до степеня
Операція піднесення до степеня спочатку була введена як скорочений запис операції множення натуральних чисел: . Наступним кроком було визначення піднесення в довільну цілу, в тому числі від'ємну, степінь:
Операція здобування арифметичного кореня дозволяє визначити піднесення додатнього числа в будь-яку раціональну (дробову) степінь:
При цьому чисельник дробу може мати знак. Властивості розширеної операції переважно аналогічні піднесенню до цілого степеня.
Це визначення означає, що витяг кореня та зворотне до нього зведення в степінь фактично об'єднуються в одну алгебраїчну операцію. Зокрема:
Спроби зведення в раціональну степінь негативних чисел можуть привести до помилок, оскільки значення алгебраїчного кореня неоднозначне, а область значень арифметичного кореня обмежена невід'ємними числами. Приклад можливої помилки:
Функція кореня
- Функції кореня та зворотні до них статичні функції на інтервалі
- функції кореня:
— арифметичний, парні степені 2, 4, 6
— загальний, непарні степені 3, 5, 7
Якщо розглядати підкорінний вираз як змінну, ми отримаємо функцію кореня -го степеня: .
Функція кореня належить до категорії алгебраїчних функцій.
Графік функції кореня будь-якого степеня проходить через початок координат та точку .
Як сказано раніше про корінь парного степеня, щоб забезпечити однозначність функції його, він повинен бути арифметичним, так що аргумент невід'ємний. Функція кореня непарного степеня однозначна та існує для будь-якого дійсного значення аргументу.
Тип функції кореня | Область визначення | Область значень | Інші властивості |
---|---|---|---|
парні степені | Функція опукла вгору на всій області визначення | ||
непарні степені | функція непарна |
Для будь-якого степеня функція кореня строго зростає, неперервна усюди всередині своєї області визначення. Необмежено диференційована усюди, крім початку координат, де похідна набуває значення нескінченності .
Похідна функції кореня визначається за формулою:
- . Зокрема, .
Функція необмежено інтегрована на всій області визначення. Невизначений інтеграл можливо знаходити за формулою:
- .
- Зокрема, , де — довільна стала.
- Формула знаходження похідної -го порядку функції :
де |
- Формула знаходження -го невизначеного інтеграла функції :
де |
- Праві частини формул є алгебраїчними виразами, які існують завжди, при натуральному . Отже і ліві теж.
Граничні співвідношення
Наведемо кілька корисних границь, що містять корені.
Практичне обчислення коренів
Функція обчислення квадратних та кубічних коренів передбачена в багатьох калькуляторах; наприклад, калькулятор Windows показує відповідні кнопки в режимі «Інженерний» (Науковий). Для ручного розрахунку можна використовувати метод, викладений у статті «Алгоритм знаходження кореня n-го степеня».
Для степенів вище третьої можна використовувати логарифмічну тотожність:
З неї випливає, що для добування кореня треба знайти логарифм підкореневого виразу, поділити на степінь кореня та знайти антилогарифм результату.
Корінь комплексного числа
Зародження поняття комплексного числа історично було пов'язано з бажанням «легалізувати» квадратні корені з від'ємних чисел. Як поступово з'ясувалося, комплексні числа володіють багатьма алгебраїчними та аналітичними властивостями; зокрема, вилучення коренів з них завжди можливо, хоча і неоднозначно.
Способи знаходження
Запишемо комплексне число в тригонометричної формі:
- .
Тоді корінь -го степеня з визначається формулою Муавра (тригонометрична форма) :
або в показниковій формі:
(комплексне число), |
Корінь степеня з ненульового комплексного числа має значень (це наслідок основної теореми алгебри), і всі вони різні. Значення кореня, що отримане при , часто називається головним.
Оскільки для всіх значень кореня величина модуля однакова (він визначається як арифметичний корінь з модуля початкового комплексного числа), а змінюється лише його аргумент, всі значень кореня розташовуються на комплексній площині на колі радіуса з центром у початку координат. Корені ділять це коло на рівних частин.
Приклади
Знайдемо . Оскільки за формулою отримуємо:
При отримаємо перший корінь , при отримаємо другий корінь
Інший приклад: знайдемо .
Подамо підкорінний вираз в тригонометричній формі:
За формулою Муавра отримуємо:
У підсумку маємо чотири значення кореня:
Можна записати отриману відповідь у вигляді:
Комплексна функція кореня та ріманова поверхня
Розглянемо комплексну функцію кореня -о степеня: Відповідно до сказаного вище, ця функція є багатозначною (точніше, -значною) функцією, і це створює незручності при її дослідженні та застосуванні. В комплексному аналізі замість розгляду багатозначних функцій на комплексній площині прийнято інше рішення: розглядати функцію як однозначну, але визначену не на площині, а на більш складному многовиді, який називається рімановою поверхнею.
- Ріманова поверхня для комплексного квадратного кореня
- Ріманова поверхня для комплексного кореня 4-о степеня
Для комплексної функції кореня -го степеня її ріманова поверхня (див. малюнки) складається з гілок (листів), пов'язаних гвинтоподібно, причому останній лист пов'язаний з першим. Ця поверхня неперервна та однозв'язна. Один з листів містить головні значення кореня, що одержані як аналітичне продовження дійсного кореня з чисел позитивного променя дійсної осі.
Опишемо для простоти комплексну функцію квадратного кореня. Її ріманова поверхня складається з двох листів. Перший лист можна представити як комплексну площину, у якій вирізаний позитивний промінь дійсної осі. Значення функції кореня на цьому листі мають удвічі менший аргумент, ніж , і тому вони заповнюють верхню частину комплексної площини значень. На розрізі перший лист склеєний з другим, і функція неперервно продовжується через розріз на другий лист, де її значення заповнюють нижню частину комплексної площини значень. Решту вільних початок першого листа та кінець другого теж склеємо, після чого отримана функція на рімановій поверхні стає однозначною та всюди неперервною.
Єдиний нуль у функції (першого порядку) виходить при . Особливі точки: та (точки розгалудження нескінченного порядку). Наявність точки розгалудження означає, що замкнутий контур в околі нуля неминуче містить перехід з листа на лист.
З огляду на однозв'язність, ріманові поверхні кореня є універсальним накриттям для комплексної площини без точки .
Варіації та узагальнення
Корінь -о степеня з є рішенням рівняння , і його в принципі можна визначити всюди, де таке рівняння має сенс. Найчастіше розглядають такі узагальнення в алгебраїчних кільцях. Найкраще досліджені узагальнені квадратні корені.
Якщо кільце — область цілісності, то квадратних коренів може бути або два, або жодного. Справді, якщо є два кореня то звідки: , тобто, в силу відсутності дільників нуля, . У більш загальному випадку, коли в кільці є дільники нуля або воно некомутативне, число коренів може бути будь-яким.
Корені для кватерніонів мають багато спільного з комплексними, але є й суттєві особливості. Квадратний кватерніонний корінь зазвичай має 2 значення, але якщо підкоренний вираз — негативне дійсне число, то значень нескінченно багато. Наприклад, квадратні корені з утворюють тривимірну сферу, яка визначається формулою:
Для кільця квадратних матриць доведено, що якщо матриця позитивно визначена, то позитивно визначений квадратний корінь з неї існує та є єдиним. Для матриць інших типів коренів може бути скільки завгодно (в тому числі жодного).
Квадратні корені вводяться також для функцій, операторів та інших математичних об'єктів.
Історія
Розвиток поняття
Перші завдання, пов'язані з добуванням квадратного кореня, виявлені в працях вавилонських математиків (про досягнення стародавнього Єгипту в цьому напрямку нічого не відомо). Серед таких завдань :
- Застосування теореми Піфагора для знаходження сторони прямокутного трикутника за відомими двома іншими сторонами.
- Знаходження сторони квадрата, площа якого задана.
- Розв'язування квадратних рівнянь.
Вавилонські математики (II тисячоліття до н. е.) розробили для добування квадратного кореня особливий чисельний метод. Початкове наближення для розраховувалося виходячи з найближчого до кореня (в меншу сторону) натурального числа . Представивши підкореневий вираз у вигляді: , отримуємо: , потім застосовувався ітеративний процес уточнення, що відповідає методу Ньютона :
Ітерації в цьому методі дуже швидко сходяться. Для , наприклад, і ми отримуємо послідовність наближень:
У заключному значенні правильні всі цифри, крім останньої.
Аналогічні завдання і методи зустрічаються у старокитайській «Математиці у дев'яти книгах». Стародавні греки зробили важливе відкриття: — ірраціональне число. Детальне дослідження, виконане [en] (IV століття до н. Е.), показало, що якщо корінь з натурального числа не добувається без остачі, то його значення ірраціональне.
Греки сформулювали проблему подвоєння куба, яка зводилася до побудови кубічного кореня за допомогою циркуля і лінійки. Проблема виявилася нерозв'язною. Чисельні алгоритми вилучення кубічного кореня опублікували Герон (в трактаті «Метрика», I століття н. е.) і індійський математик Аріабхата I (V століття).
Алгоритми добування коренів будь-якого степеня з цілого числа, розроблені [en] і ісламськими математиками, були вдосконалені в середньовічній Європі. Микола Орезмський (XIV століття) вперше витлумачив корінь -ого степеня як піднесення до степеня .
Після появи формули Кардано (XVI століття) почалося застосування в математиці уявних чисел, що розуміються як квадратні корені з від'ємних чисел . Основи техніки роботи з комплексними числами розробив в XVI столітті Рафаель Бомбеллі, який також запропонував оригінальний метод обчислення коренів (за допомогою ланцюгових дробів). Відкриття формули Муавра (1707) показало, що добування кореня будь-якого степеня з комплексного числа завжди можливо і не призводить до нового типу чисел .
Комплексні корені довільного степеня на початку XIX століття глибоко дослідив Гаус, хоча перші результати належать Ейлеру . Надзвичайно важливим відкриттям (Галуа) стало доведення того факту, що не всі алгебраїчні числа (корені многочленів) можна отримати з натуральних за допомогою чотирьох арифметичних дій і добування кореня.
Етимологія терміну і походження символіки
Термін корінь має довгу і складну історію. Добування квадратного кореня стародавні греки розуміли строго геометрично: як знаходження сторони квадрата за відомою його площею. Після переведення на санскрит грецьке слово «сторона» перетворилася на «мула» (основа). Слово «мула» мало також значення «корінь», тому при перекладі індійських [en] на арабський використовувався термін «джізре» (корінь рослини). Згодом аналогічне за змістом слово «radix» закріпилося в латинських перекладах з арабської, а через них і в російській математичній термінології («корінь», «радикал») .
Середньовічні математики (наприклад, Кардано) позначали квадратний корінь символом R x, скорочення від слова «radix». Сучасне позначення вперше вжив німецький математик Крістоф Рудольфф, зі школи коссистів (тобто алгебраїстів), у 1525 році. Походить цей символ від стилізованої першої літери того ж слова «radix». Риса над підкореневим виразом спочатку була відсутня; її пізніше ввів Декарт (1637) для іншої мети (замість дужок), і ця риса незабаром злилася зі знаком кореня.
Показник степеня з'явився в знаку кореня завдяки Валлісу і «Універсальній арифметиці» Ньютона (XVIII століття).
Див. також
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
- [ru]. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М. : Наука, 1978. — .
- История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М. : Наука, 1970—1972.
- , Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Москва : Наука, 1973. — 832 с.(рос.)
- Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов, часть 1. — изд. 4-е. — М. : Мнемозина, 2003. — 376 с.
- Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М. : Наука, 1967. — 304 с.
Примітки
- Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
- М. И. Сканави. Элементарная математика. п.1.11, стр.49.
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 64..
- Арифметический корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
- Алгебричний (багатозначний) корінь у джерелах часто називають просто коренем.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Т. I, С. 35—36..
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 141—143..
- Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов, под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 2002, С. 209.
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 183..
- Мордковіч А. Г., 2003.
- Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення, 1966, Т. I, С. 215..
- Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення, 1966, Т. I, С. 233, окремий випадок для ..
- Не плутати з кратними інтегралами. Їх записи вельми схожі, але -й інтеграл є невизначеним, в той час як -кратний інтеграл — має певне значення.
- Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення, 1966, Том I, стор. 67, 131 — 132, 164, 166 — 167..
- Корн Г., Корн Т. Довідник з математики, 1973.
- Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — С. 68.
- Свєшніков А. Г., Тихонов А. Н. Теорія функцій комплексної змінної, 1967.
- Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — С. 112.
- Porteous, Ian R. Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.
- Див., наприклад: Гантмахер Ф. Р.. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219, или: Воеводин В., Воеводин В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
- См., наприклад: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
- Див., наприклад: Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983, или: Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.
- Історія математики та 1970-1972, Том I, С. 42-46..
- Історія математики та 1970-1972, Том I, С. 47..
- Історія математики та 1970-1972, Том I, С. 169-171..
- Башмакова І. Г. Становлення алгебри (з історії математичних ідей). — М. : Знання, 1979. — С. 23. — (Нове у житті, науці, техніці. Математика, кібернетика, № 9)
- Abhishek Parakh. Ariabhata's root extraction methods // Indian Journal of History of Science. — 2007. — Вип. 42.2. — С. 149-161. з джерела 9 червня 2010. Процитовано 2015-05-30.
- Історія математики та 1970-1972, Том I, С. 275-276..
- Історія математики та 1970-1972, Том I, С. 296-298..
- Історія математики та 1970-1972, Том III, С. 56-59..
- Історія математики та 1970-1972, Том III, С. 62..
- Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). {{{Заголовок}}}. — М., 1978. — С. 58-66.
- Історія математики та 1970-1972, Том I, С. 185..
- Нікіфоровський В. А. З історії алгебри XVI-XVII ст. — М., 1979. — С. 81. — (Історія науки і техніки)
- Знаки математичні // Математична енциклопедія. — М. : Радянська Енциклопедія.
- Александрова Н. В. Історія математичних термінів, понять, позначень: Словник-довідник, вид. 3-е. — СПб. : ЛКІ. — С. 82. — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ce stattya pro dobuvannya koreniv Div takozh Korin funkciyi ta Radikal cilogo chisla Korin n displaystyle n go stepenya iz chisla a displaystyle a viznachayetsya yak take chislo b displaystyle b sho bn a displaystyle b n a Tut n displaystyle n naturalne chislo sho zvetsya pokaznikom korenya abo stepenem korenya yak pravilo vono bilshe abo dorivnyuye 2 tomu sho vipadok n 1 displaystyle n 1 ye trivialnim zvichajnim Dobuvannya korenya ye protilezhnoyu matematichnoyu operaciyeyu do operaciyi pidnesennya chisla v stepin Poznachennya b an displaystyle b sqrt n a simvol znak korenya v pravij chastini nazivayetsya radikalom Chislo a displaystyle a pidkorenevij viraz najchastishe dijsne abo kompleksne Prikladi dlya dijsnih chisel 92 3 displaystyle sqrt 2 9 pm 3 tomu sho 3 2 9 displaystyle pm 3 2 9 643 4 displaystyle sqrt 3 64 4 tomu sho 43 64 displaystyle 4 3 64 8273 23 displaystyle sqrt 3 frac 8 27 frac 2 3 tomu sho 23 3 827 displaystyle left frac 2 3 right 3 frac 8 27 Yak vidno z pershogo prikladu u dijsnogo korenya mozhut buti dva znachennya dodatnye i vid yemne i ce uskladnyuye robotu z korenem Shob zabezpechiti odnoznachnist vvoditsya ponyattya arifmetichnogo korenya znachennya yakogo zavzhdi nevid yemne v pershomu prikladi ce chislo 3 displaystyle 3 Oznachennya ta pov yazani ponyattyaRezultati obchislennyaporDodavannya 1 j dodanok 2 j dodanok sumaVidnimannya zmenshuvane vid yemnik riznicyaMnozhennya 1 j mnozhnik 2 j mnozhnik dobutokDilennya dilene dilnik chastkaDilennya z ostacheyu mod dilene mod dilnik ostachaPidnesennya do stepenyaosnova stepenyapokaznik stepenya stepinObchislennya korenya pokaznik korenya pidkorenevij viraz korinLogarifm log logosnova chislo logarifm Krim navedenogo vishe mozhna dati dva rivnosilnih oznachennya korenya Korenem n displaystyle n go stepenya iz chisla a displaystyle a ye rozv yazok x displaystyle x rivnyannya xn a displaystyle x n a vidznachimo sho rozv yazkiv mozhe buti kilka abo zhodnogo Korenem n displaystyle n go stepenya iz chisla a displaystyle a ye korin mnogochlena xn a displaystyle x n a tobto znachennya x displaystyle x pri yakomu zaznachenij mnogochlen dorivnyuye nulyu Grafik znachen kvadratnogo korenya Operaciya obchislennya an displaystyle sqrt n a nazivayetsya dobuvannyam korenya n displaystyle n go stepenya iz chisla a displaystyle a Ce odna z dvoh operacij obernenih pidnesennyu do stepenya a same znahodzhennya osnovi stepenya b displaystyle b za vidomim pokaznikom n displaystyle n i rezultatom pidnesennya do stepenya a bn displaystyle a b n Druga obernena operaciya logarifmuvannya znahodit pokaznik stepenya za vidomoyu osnovoyu ta rezultatom Koreni drugogo i tretogo stepenya vikoristovuyutsya osoblivo chasto i tomu mayut specialni nazvi Kvadratnij korin a displaystyle sqrt a U comu vipadku pokaznik stepenya 2 zazvichaj opuskayetsya a termin korin bez vkazivki stepenya najchastishe poznachaye kvadratnij korin Geometrichno a displaystyle sqrt a mozhna rozglyadati yak dovzhinu storoni kvadrata plosha yakogo dorivnyuye a displaystyle a Kubichnij korin a3 displaystyle sqrt 3 a Geometrichno a3 displaystyle sqrt 3 a ce dovzhina rebra kuba ob yem yakogo dorivnyuye a displaystyle a Koreni z dijsnih chiselKorin n displaystyle n go stepenya iz dijsnogo chisla a displaystyle a v zalezhnosti vid parnosti n displaystyle n i znaka a displaystyle a mozhe mati vid 0 do 2 dijsnih znachen Zagalni vlastivosti Korin neparnogo stepenya iz dodatnogo chisla dodatne chislo odnoznachno viznachene an b displaystyle sqrt n a b de a b gt 0 n N displaystyle a b gt 0 n in mathbb N n displaystyle n neparne Napriklad 1253 5 325 2 115 1 displaystyle sqrt 3 125 5 sqrt 5 32 2 sqrt 15 1 1 Korin neparnogo stepenya iz vid yemnogo chisla vid yemne chislo odnoznachno viznachene an b displaystyle sqrt n a b de a b lt 0 n N displaystyle a b lt 0 n in mathbb N n displaystyle n neparne Napriklad 83 2 2435 3 17 1 displaystyle sqrt 3 8 2 sqrt 5 243 3 sqrt 7 1 1 Korin parnogo stepenya iz dodatnogo chisla maye dva znachennya z protilezhnimi znakami ale rivni za modulem an b displaystyle sqrt n a pm b de a b gt 0 n N displaystyle a b gt 0 n in mathbb N n displaystyle n parne Napriklad 4 2 814 3 102410 2 displaystyle sqrt 4 pm 2 sqrt 4 81 pm 3 sqrt 10 1024 pm 2 Korin parnogo stepenya iz vid yemnogo chisla ne isnuye u oblasti dijsnih chisel oskilki pri pidnesenni bud yakogo dijsnogo chisla do stepenya z parnim pokaznikom rezultatom bude nevid yemne chislo Nizhche bude pokazano yak znahoditi taki koreni v shirshij sistemi mnozhini kompleksnih chisel todi znachennyami korenya budut n displaystyle n kompleksnih chisel an displaystyle sqrt n a ne isnuye yaksho a lt 0 n N displaystyle a lt 0 n in mathbb N n displaystyle n parne Korin bud yakogo naturalnogo stepenya vid nulya nul 0n 0 displaystyle sqrt n 0 0 de n N displaystyle n in mathbb N Grafik funkciyi arifmetichnogo kvadratnogo korenyaArifmetichnij korin Koreni parnogo stepenya viznacheni vzagali kazhuchi neodnoznachno i cej fakt stvoryuye nezruchnosti pri yih vikoristanni Tomu bulo vvedeno praktichno vazhlive obmezhennya cogo ponyattya Arifmetichnij korin n displaystyle n go stepenya z nevid yemnogo dijsnogo chisla a displaystyle a ce take nevid yemne chislo b displaystyle b sho bn a displaystyle b n a Poznachayetsya arifmetichnij korin tim zhe znakom radikala Takim chinom arifmetichnij korin na vidminu vid ranishe viznachenogo algebrayichnogo viznachayetsya lishe dlya nevid yemnih dijsnih chisel a jogo znachennya zavzhdi isnuye odnoznachno i nevid yemne Napriklad kvadratnij korin z chisla 4 displaystyle 4 maye dva znachennya 2 displaystyle 2 ta 2 displaystyle 2 z nih arifmetichnim ye pershe Oskilki arifmetichnij korin i algebrayichnij poznachayutsya odnim i tim zhe simvolom ale ye riznimi ob yektami v ramkah danoyi statti arifmetichnij korin poznachayetsya sinim kolorom a algebrayichnij chornim Algebrayichni vlastivosti Navedeni nizhche formuli virni persh za vse dlya arifmetichnih koreniv bud yakogo stepenya u yakih znak radikala vidilenij sinim kolorom krim osoblivo obumovlenih vipadkiv Voni spravedlivi takozh dlya koreniv neparnogo stepenya u yakih dopuskayutsya i vid yemni pidkorenevi virazi Vzayemoskorochennya korenya i stepenya dlya neparnogo n displaystyle n ann a displaystyle sqrt n a n a dlya parnogo n displaystyle n ann a displaystyle color blue sqrt color black n color black a n a Yaksho a lt b displaystyle a lt b to i an lt bn displaystyle color blue sqrt color black n color black a lt color blue sqrt color black n color black b Korin z dobutku dorivnyuye dobutku koreniv iz spivmnozhnikiv abn anbn displaystyle color blue sqrt color black n color black ab color blue sqrt color black n color black a color blue sqrt color black n color black b Analogichno dlya dilennya abn anbn b 0 displaystyle color blue sqrt color black n color black frac a b frac color blue sqrt color black n color black a color blue sqrt color black n color black b b neq 0 Nastupna rivnist ye oznachennyam pidnesennya u drobovu stepin am n amn an m a1 n m displaystyle a m n color blue sqrt color black n color black a m left color blue sqrt color black n color black a right m left a 1 n right m Velichina korenya ne zminitsya yaksho jogo pokaznik i stepin pidkorenevogo virazu rozdiliti na yih spilnij mnozhnik amknk amn n k N displaystyle color blue sqrt color black nk color black a mk color blue sqrt color black n color black a m n k in mathbb N Priklad 646 432 3 4 2 displaystyle color blue sqrt color black 6 color black 64 color blue sqrt color black 2 cdot 3 color black 4 3 color blue sqrt color black 4 2 akn ank n k N displaystyle color blue sqrt color black n color blue sqrt color black k color black a color blue sqrt color black nk color black a n k in mathbb N Dlya koreniv neparnogo stepenya ye dodatkova vlastivist an an n displaystyle sqrt n a sqrt n a quad n neparne Dobutok korenya ta pidnesennya do stepenya Dokladnishe Pidnesennya do stepenya Operaciya pidnesennya do stepenya spochatku bula vvedena yak skorochenij zapis operaciyi mnozhennya naturalnih chisel mn m m m n displaystyle m n color Gray underbrace color Black m cdot m cdot dots cdot m color Black n Nastupnim krokom bulo viznachennya pidnesennya v dovilnu cilu v tomu chisli vid yemnu stepin m n 1mn displaystyle m n frac 1 m n Operaciya zdobuvannya arifmetichnogo korenya dozvolyaye viznachiti pidnesennya dodatnogo chisla v bud yaku racionalnu drobovu stepin amn amn gt 0 displaystyle a frac m n color blue sqrt color black n color black a m quad gt 0 Pri comu chiselnik m displaystyle m drobu mn displaystyle frac m n mozhe mati znak Vlastivosti rozshirenoyi operaciyi perevazhno analogichni pidnesennyu do cilogo stepenya Ce viznachennya oznachaye sho vityag korenya ta zvorotne do nogo zvedennya v stepin faktichno ob yednuyutsya v odnu algebrayichnu operaciyu Zokrema an a1n displaystyle color blue sqrt color black n color black a a frac 1 n Sprobi zvedennya v racionalnu stepin negativnih chisel mozhut privesti do pomilok oskilki znachennya algebrayichnogo korenya neodnoznachne a oblast znachen arifmetichnogo korenya obmezhena nevid yemnimi chislami Priklad mozhlivoyi pomilki 1 1 2 12 1 2 12 112 1 1 displaystyle 1 1 2 cdot frac 1 2 left 1 2 right frac 1 2 1 frac 1 2 color blue sqrt color black 1 1 Funkciya korenya Grafiki funkcij korenya Funkciyi korenya ta zvorotni do nih statichni funkciyi na intervali 0 1 displaystyle 0 1 funkciyi korenya arifmetichnij parni stepeni 2 4 6 zagalnij neparni stepeni 3 5 7 Yaksho rozglyadati pidkorinnij viraz yak zminnu mi otrimayemo funkciyu korenya n displaystyle n go stepenya y xn displaystyle y sqrt n x Funkciya korenya nalezhit do kategoriyi algebrayichnih funkcij Grafik funkciyi korenya bud yakogo stepenya prohodit cherez pochatok koordinat ta tochku 1 1 displaystyle 1 1 Yak skazano ranishe pro korin parnogo stepenya shob zabezpechiti odnoznachnist funkciyi jogo vin povinen buti arifmetichnim tak sho argument x displaystyle x nevid yemnij Funkciya korenya neparnogo stepenya odnoznachna ta isnuye dlya bud yakogo dijsnogo znachennya argumentu Tip funkciyi korenya Oblast viznachennya Oblast znachen Inshi vlastivostiparni stepeni 0 displaystyle 0 infty 0 displaystyle 0 infty Funkciya opukla vgoru na vsij oblasti viznachennyaneparni stepeni displaystyle infty infty displaystyle infty infty funkciya neparna Dlya bud yakogo stepenya funkciya korenya strogo zrostaye neperervna usyudi vseredini svoyeyi oblasti viznachennya Neobmezheno diferencijovana usyudi krim pochatku koordinat de pohidna nabuvaye znachennya neskinchennosti Pohidna funkciyi korenya viznachayetsya za formuloyu ddxxn 1nxn 1n displaystyle frac d dx sqrt n x frac 1 n sqrt n x n 1 Zokrema ddxx 12x displaystyle frac d dx sqrt x frac 1 2 sqrt x Funkciya neobmezheno integrovana na vsij oblasti viznachennya Neviznachenij integral mozhlivo znahoditi za formuloyu xndx xn 1n1 1n C displaystyle int sqrt n x dx frac sqrt n x n 1 1 frac 1 n C Zokrema xdx 2x33 C displaystyle int sqrt x dx frac 2 sqrt x 3 3 C de C displaystyle C dovilna stala Neobmezheni diferencijovnist ta integrovnist funkciyiFormula znahodzhennya pohidnoyi k displaystyle k go poryadku funkciyi xn displaystyle sqrt n x dkdxkxn 1 k m 0k 1 mn 1 nkxkn 1n displaystyle frac d k dx k sqrt n x 1 k frac prod m 0 k 1 mn 1 n k sqrt n x kn 1 de k n N x 0 displaystyle k n in mathbb N x neq 0 Formula znahodzhennya k displaystyle k go neviznachenogo integrala funkciyi xn displaystyle sqrt n x kxn dx dx k nkxkn 1n m 1k 1 mn C displaystyle underbrace int cdots int k sqrt n x underbrace dx cdots dx k frac n k sqrt n x kn 1 prod m 1 k 1 mn C de k n N C const displaystyle k n in mathbb N C const Pravi chastini formul ye algebrayichnimi virazami yaki isnuyut zavzhdi pri naturalnomu k displaystyle k Otzhe i livi tezh Granichni spivvidnoshennya Navedemo kilka korisnih granic sho mistyat koreni limn nn limn ln nn 1 displaystyle lim n to infty sqrt n n lim n to infty sqrt n ln n 1 limn n xn 1 limn n 1 1xn ln x displaystyle lim n to infty n left sqrt n x 1 right lim n to infty n left 1 frac 1 sqrt n x right ln x limx 0 x 1 mn 1x mn displaystyle lim x to 0 frac sqrt n x 1 m 1 x frac m n limn an bn2 n ab displaystyle lim n to infty left frac sqrt n a sqrt n b 2 right n sqrt ab Praktichne obchislennya koreniv Funkciya obchislennya kvadratnih ta kubichnih koreniv peredbachena v bagatoh kalkulyatorah napriklad kalkulyator Windows pokazuye vidpovidni knopki v rezhimi Inzhenernij Naukovij Dlya ruchnogo rozrahunku mozhna vikoristovuvati metod vikladenij u statti Algoritm znahodzhennya korenya n go stepenya Dlya stepeniv vishe tretoyi mozhna vikoristovuvati logarifmichnu totozhnist loga xn loga x n displaystyle log a sqrt n x frac log a x n Z neyi viplivaye sho dlya dobuvannya korenya treba znajti logarifm pidkorenevogo virazu podiliti na stepin korenya ta znajti antilogarifm rezultatu Korin kompleksnogo chislaZarodzhennya ponyattya kompleksnogo chisla istorichno bulo pov yazano z bazhannyam legalizuvati kvadratni koreni z vid yemnih chisel Yak postupovo z yasuvalosya kompleksni chisla volodiyut bagatma algebrayichnimi ta analitichnimi vlastivostyami zokrema viluchennya koreniv z nih zavzhdi mozhlivo hocha i neodnoznachno Sposobi znahodzhennya Zapishemo kompleksne chislo z displaystyle z v trigonometrichnoyi formi z r cos f isin f displaystyle z r left cos varphi i sin varphi right Todi korin n displaystyle n go stepenya z z displaystyle z viznachayetsya formuloyu Muavra trigonometrichna forma zn rn cos f 2pkn isin f 2pkn k 0 1 n 1 displaystyle sqrt n z color blue sqrt color black n color black r left cos frac varphi 2 pi k n i sin frac varphi 2 pi k n right k 0 1 dots n 1 Korinnya tretoyi ta shostogo stepenya z odinici vershini trikutnika ta shestikutnika vidpovidno abo v pokaznikovij formi z reif displaystyle z re i varphi zn rne if 2pkn k 0 1 n 1 displaystyle sqrt n z color blue sqrt color black n color black r e left i frac varphi 2 pi k n right k 0 1 dots n 1 z x iy z C displaystyle z x iy z in mathbb C kompleksne chislo x Re z R displaystyle x operatorname Re z in mathbb R dijsna chastina kompleksnogo chisla y Im z R displaystyle y operatorname Im z in mathbb R uyavna chastina kompleksnogo chisla i displaystyle i uyavna odinicya r z x2 y2 displaystyle r z color blue sqrt color black x 2 y 2 modul kompleksnogo chisla f arg z arctg yx displaystyle varphi operatorname arg z operatorname arctg frac y x argument kompleksnogo chisla e displaystyle e osnova naturalnih logarifmiv Korin stepenya n displaystyle n z nenulovogo kompleksnogo chisla maye n displaystyle n znachen ce naslidok osnovnoyi teoremi algebri i vsi voni rizni Znachennya korenya sho otrimane pri k 0 displaystyle k 0 chasto nazivayetsya golovnim Oskilki dlya vsih znachen korenya velichina modulya odnakova vin viznachayetsya yak arifmetichnij korin z modulya pochatkovogo kompleksnogo chisla a zminyuyetsya lishe jogo argument vsi n displaystyle n znachen korenya roztashovuyutsya na kompleksnij ploshini na koli radiusa rn displaystyle color blue sqrt color black n color black r z centrom u pochatku koordinat Koreni dilyat ce kolo na n displaystyle n rivnih chastin Prikladi Znajdemo 4 displaystyle sqrt 4 Oskilki 4 4 cos p isin p displaystyle 4 4 cos pi i sin pi za formuloyu otrimuyemo 4 2 cos p 2pk2 isin p 2pk2 k 0 1 displaystyle sqrt 4 2 left cos frac pi 2 pi k 2 i sin frac pi 2 pi k 2 right k 0 1 Pri k 0 displaystyle k 0 otrimayemo pershij korin 2i displaystyle 2i pri k 1 displaystyle k 1 otrimayemo drugij korin 2i displaystyle 2i Inshij priklad znajdemo 164 displaystyle sqrt 4 16 Podamo pidkorinnij viraz v trigonometrichnij formi 16 16 cos p 2kp isin p 2kp displaystyle 16 16 cos pi 2k pi i sin pi 2k pi Za formuloyu Muavra otrimuyemo zk 164 164 cos p 2kp4 isin p 2kp4 displaystyle z k sqrt 4 16 sqrt 4 16 left cos frac pi 2k pi 4 i sin frac pi 2k pi 4 right U pidsumku mayemo chotiri znachennya korenya z0 2 cos p4 isin p4 2 1 i displaystyle z 0 2 left cos frac pi 4 i sin frac pi 4 right sqrt 2 1 i z1 2 cos 3p4 isin 3p4 2 1 i displaystyle z 1 2 left cos frac 3 pi 4 i sin frac 3 pi 4 right sqrt 2 1 i z2 2 cos 5p4 isin 5p4 2 1 i displaystyle z 2 2 left cos frac 5 pi 4 i sin frac 5 pi 4 right sqrt 2 1 i z3 2 cos 7p4 isin 7p4 2 1 i displaystyle z 3 2 left cos frac 7 pi 4 i sin frac 7 pi 4 right sqrt 2 1 i Mozhna zapisati otrimanu vidpovid u viglyadi 164 2 1 i displaystyle sqrt 4 16 sqrt 2 pm 1 pm i Kompleksna funkciya korenya ta rimanova poverhnya Rozglyanemo kompleksnu funkciyu korenya n displaystyle n o stepenya w zn displaystyle w sqrt n z Vidpovidno do skazanogo vishe cya funkciya ye bagatoznachnoyu tochnishe n displaystyle n znachnoyu funkciyeyu i ce stvoryuye nezruchnosti pri yiyi doslidzhenni ta zastosuvanni V kompleksnomu analizi zamist rozglyadu bagatoznachnih funkcij na kompleksnij ploshini prijnyato inshe rishennya rozglyadati funkciyu yak odnoznachnu ale viznachenu ne na ploshini a na bilsh skladnomu mnogovidi yakij nazivayetsya rimanovoyu poverhneyu Rimanova poverhnya dlya kompleksnogo kvadratnogo korenya Rimanova poverhnya dlya kompleksnogo korenya 4 o stepenya Dlya kompleksnoyi funkciyi korenya n displaystyle n go stepenya yiyi rimanova poverhnya div malyunki skladayetsya z n displaystyle n gilok listiv pov yazanih gvintopodibno prichomu ostannij list pov yazanij z pershim Cya poverhnya neperervna ta odnozv yazna Odin z listiv mistit golovni znachennya korenya sho oderzhani yak analitichne prodovzhennya dijsnogo korenya z chisel pozitivnogo promenya dijsnoyi osi Opishemo dlya prostoti kompleksnu funkciyu kvadratnogo korenya Yiyi rimanova poverhnya skladayetsya z dvoh listiv Pershij list mozhna predstaviti yak kompleksnu ploshinu u yakij virizanij pozitivnij promin dijsnoyi osi Znachennya funkciyi korenya w displaystyle w na comu listi mayut udvichi menshij argument nizh z displaystyle z i tomu voni zapovnyuyut verhnyu chastinu kompleksnoyi ploshini znachen Na rozrizi pershij list skleyenij z drugim i funkciya neperervno prodovzhuyetsya cherez rozriz na drugij list de yiyi znachennya zapovnyuyut nizhnyu chastinu kompleksnoyi ploshini znachen Reshtu vilnih pochatok pershogo lista ta kinec drugogo tezh skleyemo pislya chogo otrimana funkciya na rimanovij poverhni staye odnoznachnoyu ta vsyudi neperervnoyu Yedinij nul u funkciyi pershogo poryadku vihodit pri z 0 displaystyle z 0 Osoblivi tochki z 0 displaystyle z 0 ta z displaystyle z infty tochki rozgaludzhennya neskinchennogo poryadku Nayavnist tochki rozgaludzhennya oznachaye sho zamknutij kontur v okoli nulya neminuche mistit perehid z lista na list Z oglyadu na odnozv yaznist rimanovi poverhni korenya ye universalnim nakrittyam dlya kompleksnoyi ploshini bez tochki 0 displaystyle 0 Variaciyi ta uzagalnennyaKorin n displaystyle n o stepenya z a displaystyle a ye rishennyam rivnyannya xn a displaystyle x n a i jogo v principi mozhna viznachiti vsyudi de take rivnyannya maye sens Najchastishe rozglyadayut taki uzagalnennya v algebrayichnih kilcyah Najkrashe doslidzheni uzagalneni kvadratni koreni Yaksho kilce oblast cilisnosti to kvadratnih koreniv mozhe buti abo dva abo zhodnogo Spravdi yaksho ye dva korenya a b displaystyle a b to a2 b2 displaystyle a 2 b 2 zvidki a b a b 0 displaystyle a b a b 0 tobto v silu vidsutnosti dilnikiv nulya a b displaystyle a pm b U bilsh zagalnomu vipadku koli v kilci ye dilniki nulya abo vono nekomutativne chislo koreniv mozhe buti bud yakim Koreni dlya kvaternioniv mayut bagato spilnogo z kompleksnimi ale ye j suttyevi osoblivosti Kvadratnij kvaternionnij korin zazvichaj maye 2 znachennya ale yaksho pidkorennij viraz negativne dijsne chislo to znachen neskinchenno bagato Napriklad kvadratni koreni z 1 displaystyle 1 utvoryuyut trivimirnu sferu yaka viznachayetsya formuloyu ai bj ck a2 b2 c2 1 displaystyle ai bj ck mid a 2 b 2 c 2 1 Dlya kilcya kvadratnih matric dovedeno sho yaksho matricya pozitivno viznachena to pozitivno viznachenij kvadratnij korin z neyi isnuye ta ye yedinim Dlya matric inshih tipiv koreniv mozhe buti skilki zavgodno v tomu chisli zhodnogo Kvadratni koreni vvodyatsya takozh dlya funkcij operatoriv ta inshih matematichnih ob yektiv IstoriyaRozvitok ponyattya Vavilonska tablichka blizko 1800 1600 r Do n e z obchislennyam 2 1 24 60 51 602 10 603 displaystyle sqrt 2 approx 1 24 60 51 60 2 10 60 3 1 41421296 displaystyle 1 41421296 dots Pershi zavdannya pov yazani z dobuvannyam kvadratnogo korenya viyavleni v pracyah vavilonskih matematikiv pro dosyagnennya starodavnogo Yegiptu v comu napryamku nichogo ne vidomo Sered takih zavdan Zastosuvannya teoremi Pifagora dlya znahodzhennya storoni pryamokutnogo trikutnika za vidomimi dvoma inshimi storonami Znahodzhennya storoni kvadrata plosha yakogo zadana Rozv yazuvannya kvadratnih rivnyan Vavilonski matematiki II tisyacholittya do n e rozrobili dlya dobuvannya kvadratnogo korenya osoblivij chiselnij metod Pochatkove nablizhennya dlya a displaystyle sqrt a rozrahovuvalosya vihodyachi z najblizhchogo do korenya v menshu storonu naturalnogo chisla n displaystyle n Predstavivshi pidkorenevij viraz u viglyadi a n2 r displaystyle a n 2 r otrimuyemo x0 n r2n displaystyle x 0 n frac r 2n potim zastosovuvavsya iterativnij proces utochnennya sho vidpovidaye metodu Nyutona xn 1 12 xn axn displaystyle x n 1 frac 1 2 x n frac a x n Iteraciyi v comu metodi duzhe shvidko shodyatsya Dlya 5 displaystyle sqrt 5 napriklad a 5 n 2 r 1 x0 94 2 25 displaystyle a 5 n 2 r 1 x 0 frac 9 4 2 25 i mi otrimuyemo poslidovnist nablizhen x1 16172 2 23611 x2 5184123184 2 2360679779 displaystyle x 1 frac 161 72 2 23611 x 2 frac 51841 23184 2 2360679779 U zaklyuchnomu znachenni pravilni vsi cifri krim ostannoyi Analogichni zavdannya i metodi zustrichayutsya u starokitajskij Matematici u dev yati knigah Starodavni greki zrobili vazhlive vidkrittya 2 displaystyle sqrt 2 irracionalne chislo Detalne doslidzhennya vikonane en IV stolittya do n E pokazalo sho yaksho korin z naturalnogo chisla ne dobuvayetsya bez ostachi to jogo znachennya irracionalne Greki sformulyuvali problemu podvoyennya kuba yaka zvodilasya do pobudovi kubichnogo korenya za dopomogoyu cirkulya i linijki Problema viyavilasya nerozv yaznoyu Chiselni algoritmi viluchennya kubichnogo korenya opublikuvali Geron v traktati Metrika I stolittya n e i indijskij matematik Ariabhata I V stolittya Algoritmi dobuvannya koreniv bud yakogo stepenya z cilogo chisla rozrobleni en i islamskimi matematikami buli vdoskonaleni v serednovichnij Yevropi Mikola Orezmskij XIV stolittya vpershe vitlumachiv korin n displaystyle n ogo stepenya yak pidnesennya do stepenya 1n displaystyle frac 1 n Pislya poyavi formuli Kardano XVI stolittya pochalosya zastosuvannya v matematici uyavnih chisel sho rozumiyutsya yak kvadratni koreni z vid yemnih chisel Osnovi tehniki roboti z kompleksnimi chislami rozrobiv v XVI stolitti Rafael Bombelli yakij takozh zaproponuvav originalnij metod obchislennya koreniv za dopomogoyu lancyugovih drobiv Vidkrittya formuli Muavra 1707 pokazalo sho dobuvannya korenya bud yakogo stepenya z kompleksnogo chisla zavzhdi mozhlivo i ne prizvodit do novogo tipu chisel Kompleksni koreni dovilnogo stepenya na pochatku XIX stolittya gliboko doslidiv Gaus hocha pershi rezultati nalezhat Ejleru Nadzvichajno vazhlivim vidkrittyam Galua stalo dovedennya togo faktu sho ne vsi algebrayichni chisla koreni mnogochleniv mozhna otrimati z naturalnih za dopomogoyu chotiroh arifmetichnih dij i dobuvannya korenya Etimologiya terminu i pohodzhennya simvoliki Termin korin maye dovgu i skladnu istoriyu Dobuvannya kvadratnogo korenya starodavni greki rozumili strogo geometrichno yak znahodzhennya storoni kvadrata za vidomoyu jogo plosheyu Pislya perevedennya na sanskrit grecke slovo storona peretvorilasya na mula osnova Slovo mula malo takozh znachennya korin tomu pri perekladi indijskih en na arabskij vikoristovuvavsya termin dzhizre korin roslini Zgodom analogichne za zmistom slovo radix zakripilosya v latinskih perekladah z arabskoyi a cherez nih i v rosijskij matematichnij terminologiyi korin radikal Serednovichni matematiki napriklad Kardano poznachali kvadratnij korin simvolom Rx skorochennya vid slova radix Suchasne poznachennya vpershe vzhiv nimeckij matematik Kristof Rudolff zi shkoli kossistiv tobto algebrayistiv u 1525 roci Pohodit cej simvol vid stilizovanoyi pershoyi literi togo zh slova radix Risa nad pidkorenevim virazom spochatku bula vidsutnya yiyi piznishe vviv Dekart 1637 dlya inshoyi meti zamist duzhok i cya risa nezabarom zlilasya zi znakom korenya Pokaznik stepenya z yavivsya v znaku korenya zavdyaki Vallisu i Universalnij arifmetici Nyutona XVIII stolittya Div takozhKorin z odinici Pidnesennya do stepenya Kvadratnij korin Kubichnij korin LogarifmLiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2100 s ukr ru Spravochnik po elementarnoj matematike izd 25 e M Nauka 1978 ISBN 5 17 009554 6 Istoriya matematiki v tryoh tomah Pod redakciej A P Yushkevicha M Nauka 1970 1972 Spravochnik po matematike dlya nauchnyh rabotnikov i inzhenerov Moskva Nauka 1973 832 s ros Mordkovich A G Algebra i nachala analiza Uchebnik dlya 10 11 klassov chast 1 izd 4 e M Mnemozina 2003 376 s Sveshnikov A G Tihonov A N Teoriya funkcij kompleksnoj peremennoj M Nauka 1967 304 s PrimitkiKoren Matematicheskaya enciklopediya v 5 tomah M Sovetskaya Enciklopediya 1982 T 3 M I Skanavi Elementarnaya matematika p 1 11 str 49 Vygodskij M Ya Spravochnik po elementarnoj matematike 1978 s 64 Arifmeticheskij koren Matematicheskaya enciklopediya v 5 tomah M Sovetskaya Enciklopediya 1982 T 1 Algebrichnij bagatoznachnij korin u dzherelah chasto nazivayut prosto korenem Fihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya 1966 T I S 35 36 Vygodskij M Ya Spravochnik po elementarnoj matematike 1978 s 141 143 Algebra i nachala analiza Uchebnik dlya 10 11 klassov pod red A N Kolmogorova M Prosveshenie 2002 S 209 Vygodskij M Ya Spravochnik po elementarnoj matematike 1978 s 183 Mordkovich A G 2003 Fihtengolc G M Kurs diferencialnogo j integralnogo chislennya 1966 T I S 215 Fihtengolc G M Kurs diferencialnogo j integralnogo chislennya 1966 T I S 233 okremij vipadok dlya m 1n displaystyle mu frac 1 n Ne plutati z kratnimi integralami Yih zapisi velmi shozhi ale k displaystyle k j integral ye neviznachenim v toj chas yak k displaystyle k kratnij integral maye pevne znachennya Fihtengolc G M Kurs diferencialnogo j integralnogo chislennya 1966 Tom I stor 67 131 132 164 166 167 Korn G Korn T Dovidnik z matematiki 1973 Zajcev V V Ryzhkov V V Skanavi M I Elementarnaya matematika Povtoritelnyj kurs izdanie trete stereotipnoe M Nauka 1976 S 68 Svyeshnikov A G Tihonov A N Teoriya funkcij kompleksnoyi zminnoyi 1967 Boltyanskij V G Efremovich V A Naglyadnaya topologiya M Nauka 1982 S 112 Porteous Ian R Clifford Algebras and the Classical Groups Cambridge 1995 page 60 Div napriklad Gantmaher F R Teoriya matric M GITTL 1953 S 212 219 ili Voevodin V Voevodin V Enciklopediya linejnoj algebry Elektronnaya sistema LINEAL Spb BHV Peterburg 2006 Sm napriklad Ershov L V Rajhmist R B Postroenie grafikov funkcij M Prosveshenie 1984 ili Kaplan I A Prakticheskie zanyatiya po vysshej matematike Harkov Izd vo HGU 1966 Div napriklad Hatson V Pim Dzh Prilozheniya funkcionalnogo analiza i teorii operatorov M Mir 1983 ili Halmosh P Gilbertovo prostranstvo v zadachah M Mir 1970 Istoriya matematiki ta 1970 1972 Tom I S 42 46 Istoriya matematiki ta 1970 1972 Tom I S 47 Istoriya matematiki ta 1970 1972 Tom I S 169 171 Bashmakova I G Stanovlennya algebri z istoriyi matematichnih idej M Znannya 1979 S 23 Nove u zhitti nauci tehnici Matematika kibernetika 9 Abhishek Parakh Ariabhata s root extraction methods Indian Journal of History of Science 2007 Vip 42 2 S 149 161 z dzherela 9 chervnya 2010 Procitovano 2015 05 30 Istoriya matematiki ta 1970 1972 Tom I S 275 276 Istoriya matematiki ta 1970 1972 Tom I S 296 298 Istoriya matematiki ta 1970 1972 Tom III S 56 59 Istoriya matematiki ta 1970 1972 Tom III S 62 Kolmogorov A N Yushkevich A P red Zagolovok M 1978 S 58 66 Istoriya matematiki ta 1970 1972 Tom I S 185 Nikiforovskij V A Z istoriyi algebri XVI XVII st M 1979 S 81 Istoriya nauki i tehniki Znaki matematichni Matematichna enciklopediya M Radyanska Enciklopediya Aleksandrova N V Istoriya matematichnih terminiv ponyat poznachen Slovnik dovidnik vid 3 e SPb LKI S 82 ISBN 978 5 382 00839 4