Ступенева функція

Степене́ва функція — функція вигляду ${\displaystyle f(x)=x^{a}\!\ }$, де a — показник степеню, дійсне число.

Степенева функція
Частково збігається з	^d
Степенева функція у Вікісховищі

Властивості

Область визначення: ${\displaystyle (0,\infty )}$ при ${\displaystyle a<0}$, ${\displaystyle [0,\infty )}$ при ${\displaystyle a>0}$.

При натуральних показниках степеня ${\displaystyle a}$ область визначення розширюється на всю числову вісь: ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$.

Область значень: ${\displaystyle (0,\infty )}$ при ${\displaystyle a<0}$, ${\displaystyle [0,\infty )}$ при ${\displaystyle a>0}$.

Монотонно спадає при ${\displaystyle a<0}$, монотонно зростає при ${\displaystyle a>0}$. При а > 0 функція має єдиний нуль в точці x= 0. не має.

При ${\displaystyle a<0}$ має особливу точку при ${\displaystyle x=0}$.

Похідна

${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1}}$

Невизначений інтеграл

${\displaystyle \int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C}$

Аналітичне продовження

Степенева функція комплесного агрумента

${\displaystyle f(z)=z^{a}\,}$

аналітична (голоморфна) всюди, окрім точки z = 0 при нецілих значеннях показника ${\displaystyle a}$.

При раціональному показнику ${\displaystyle a=p/q}$, де ${\displaystyle p}$ та ${\displaystyle q}$ — цілі числа, функція визначається на рімановій поверхні із q листів, розріз проводиться вздовж півосі ${\displaystyle x={\text{Re }}\ z>0}$.

Таким чином, якщо скористатися представленням комплексного числа в експоненційній формі,

${\displaystyle z=re^{i\varphi }\,}$,

то ${\displaystyle \varphi }$ змінюється від 0 до ${\displaystyle 2\pi q}$.

${\displaystyle f(z)=z^{a}=r^{a}e^{ip\varphi /q}\,}$.

Для дійсного a — кількість ріманових листів безмежна.

Див. також

• Аналітичне продовження

Посилання

• Основні елементарні функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 177. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)