Azərbaycanca AzərbaycancaDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisItaliana ItalianaҚазақ ҚазақLietuvos LietuvosРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Арифметичним коренем n го степеня A n displaystyle sqrt n A додатного дійсного числа A називається додатний дійсний розв

Алгоритм знаходження кореня n-го степеня

Арифметичним коренем n-го степеня додатного дійсного числа A називається додатний дійсний розв'язок рівняння

(для цілого n існує n комплексних розв'язків даного рівняння якщо A > 0, але тільки один з них є додатним і дійсним).

Існує алгоритм знаходження кореня n-го степеня, який швидко сходиться:

  1. Початкове значення послідовності покласти рівним (груба оцінка значення кореня);
  2. Задати ;
  3. Повторювати крок 2 до досягнення потрібної точності.

Частковим випадком є (ітераційна формула Герона) для знаходження квадратного кореня, яка отримується підстановкою n = 2 в пункт 2:

Існує декілька виводів даного алгоритму. Один з них розглядає алгоритм як частковий випадок методу Ньютона (також відомого як метод дотичних) для знаходження нулів функції f(x) з заданням початкового наближення. Хоча метод Ньютона і є ітераційним, він сходиться дуже швидко. Метод має квадратичну (швидкість збіжності) — це означає, що кількість вірних розрядів у відповіді подвоюється з кожною ітерацією (тобто, для прикладу, збільшення точності знаходження відповіді з 1 до 64 розрядів потребує лише 6 (64 = 26) ітерацій). У зв'язку з цим даний алгоритм використовується в комп'ютерах як дуже швидкий метод знаходження квадратних коренів.

Для великих значень n даний алгоритм стає менш ефективним, оскільки потребує обчислення на кожному кроці, який, однак, може бути може бути обчислений з допомогою (алгоритму швидкого піднесення до степеня).

Виведення з використанням методу Ньютона

Метод Ньютона — це метод знаходження нулів функції f(x). Загальна його ітераційна схема наступна:

  1. Задати початкове наближення image;
  2. Задати image;
  3. Повторювати крок 2, доки не буде досягнута необхідна точність.

Задача знаходження кореня n-го степеня може бути розглянута як знаходження нуля функції

image

Похідна цієї функції дорівнює

image

Тоді ітераційне правило:

image

приводить до алгоритму знаходження кореня n-го степеня.

Посилання

  • Atkinson, Kendall E. (1989), An introduction to numerical analysis (вид. 2nd), New York: Wiley, ISBN .

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Дата публікації:
Arifmetichnim korenem n go stepenya A n displaystyle sqrt n A dodatnogo dijsnogo chisla A nazivayetsya dodatnij dijsnij rozv yazok rivnyannya x n A displaystyle x n A dlya cilogo n isnuye n kompleksnih rozv yazkiv danogo rivnyannya yaksho A gt 0 ale tilki odin z nih ye dodatnim i dijsnim Isnuye algoritm znahodzhennya korenya n go stepenya yakij shvidko shoditsya Pochatkove znachennya poslidovnosti poklasti rivnim x 0 displaystyle x 0 gruba ocinka znachennya korenya Zadati x k 1 1 n n 1 x k A x k n 1 displaystyle x k 1 frac 1 n left n 1 x k frac A x k n 1 right Povtoryuvati krok 2 do dosyagnennya potribnoyi tochnosti Chastkovim vipadkom ye iteracijna formula Gerona dlya znahodzhennya kvadratnogo korenya yaka otrimuyetsya pidstanovkoyu n 2 v punkt 2 x k 1 1 2 x k A x k displaystyle x k 1 frac 1 2 left x k frac A x k right Isnuye dekilka vivodiv danogo algoritmu Odin z nih rozglyadaye algoritm yak chastkovij vipadok metodu Nyutona takozh vidomogo yak metod dotichnih dlya znahodzhennya nuliv funkciyi f x z zadannyam pochatkovogo nablizhennya Hocha metod Nyutona i ye iteracijnim vin shoditsya duzhe shvidko Metod maye kvadratichnu shvidkist zbizhnosti ce oznachaye sho kilkist virnih rozryadiv u vidpovidi podvoyuyetsya z kozhnoyu iteraciyeyu tobto dlya prikladu zbilshennya tochnosti znahodzhennya vidpovidi z 1 do 64 rozryadiv potrebuye lishe 6 64 26 iteracij U zv yazku z cim danij algoritm vikoristovuyetsya v komp yuterah yak duzhe shvidkij metod znahodzhennya kvadratnih koreniv Dlya velikih znachen n danij algoritm staye mensh efektivnim oskilki potrebuye obchislennya x k n 1 displaystyle x k n 1 na kozhnomu kroci yakij odnak mozhe buti mozhe buti obchislenij z dopomogoyu algoritmu shvidkogo pidnesennya do stepenya Vivedennya z vikoristannyam metodu NyutonaMetod Nyutona ce metod znahodzhennya nuliv funkciyi f x Zagalna jogo iteracijna shema nastupna Zadati pochatkove nablizhennya x 0 displaystyle x 0 Zadati x k 1 x k f x k f x k displaystyle x k 1 x k frac f x k f x k Povtoryuvati krok 2 doki ne bude dosyagnuta neobhidna tochnist Zadacha znahodzhennya korenya n go stepenya mozhe buti rozglyanuta yak znahodzhennya nulya funkciyi f x x n A displaystyle f x x n A Pohidna ciyeyi funkciyi dorivnyuye f x n x n 1 displaystyle f prime x nx n 1 Todi iteracijne pravilo x k 1 x k f x k f x k x k x k n A n x k n 1 x k 1 n A x k n 1 x k 1 n n 1 x k A x k n 1 displaystyle x k 1 x k frac f x k f x k x k frac x k n A nx k n 1 x k frac 1 n left frac A x k n 1 x k right frac 1 n left n 1 x k frac A x k n 1 right privodit do algoritmu znahodzhennya korenya n go stepenya PosilannyaAtkinson Kendall E 1989 An introduction to numerical analysis vid 2nd New York Wiley ISBN 0471624896
Топ