Когомології де Рама — теорія когомологій, визначених за допомогою диференціальних форм на гладких многовидах. Завдяки відносній простоті обчислень широко застосовуються в алгебраїчній і диференціальній топології, а також диференціальній геометрії і математичному аналізі. Попри те, що вони визначаються за допомогою диференціальних структур на многовиді, згідно теореми де Рама когомології де Рама ізоморфні сингулярним когомологіям, які визначаються лише з урахуванням топологічної структури.
Визначення
Допоміжні визначення і позначення
Нехай M — гладкий многовид розмірності n. Позначимо — простір гладких диференціальних форм степеня k на многовиді M. В локальних координатах диференціальна форма записується у вигляді
де — гладкі функції — диференціал -ї координати , а — зовнішній добуток.
Для k > n всі диференціальні форми рівні нулю. Для множина диференціальних форм є векторним простором розмірності
Для всіх природно визначається оператор , що називається зовнішньою похідною і в локальних координатах для можна записати за допомогою формули:
З запису в локальних координатах одразу отримується рівність для всіх диференціальних форм або
Комплекси і когомології де Рама
З використанням введених вище позначень можна розглянути комплекс де Рама — коланцюговий комплекс визначений як:
З того, що випливає що
Диференціальна форма називається замкнутою, якщо Простір замкнутих k-форм на многовиді M позначається
Диференціальна форма називається точною, якщо існує диференціальна форма така, що Простір точних k-форм на многовиді M позначається
Множини і є дійсними векторними просторами і до того ж з включення випливає, що простір точних форм є підпростором простору замкнутих форм.
Тому можна визначити фактор-простір
називається когомологічною групою де Рама порядку k.
Дві замкнуті форми належать одному класу еквівалентності тоді й лише тоді, коли їх різниця є точною диференціальною формою:
Розмірність простору , якщо вона є скінченною (це справедливо зокрема для когомологічних груп довільного порядку для компактних многовидів) називається k-м числом Бетті.
Когомології де Рама для деяких просторів
Нижче подані значення когомологій де Рама для деяких простих і важливих многовидів.
Значення
Для довільного многовиду з n компонентами зв'язності справедливе твердження:
Евклідів простір
n-сфера
Для n-сфери, Sn, а також для її добутку з гіперкубом, можна легко обчислити когомології де Рама. Нехай n > 0, m ? 0, і I — відкритий інтервал дійсних чисел. Тоді
n-тор
Для n > 0 когомології де Рама для n-тора рівні
Проколотий евклідів простір
Проколотий евклідів простір — евклідів простір з видаленим початком координат.
Стрічка Мебіуса
Для стрічки Мебіуса:
Теорема де Рама
Сингулярні когомології
Розглянемо тепер многовид M з гладкою триангуляцією, тобто гомеоморфізмом де [K] — деякий симпліційний комплекс, так що для будь-якого симплекса для замикання симплекса [s] існує окіл U, що містить [s] і є гладким підмноговидом в M. Тоді M стає сингулярним комплексом і на ньому можна визначити коланцюговий комплекс (див. статтю Сингулярні гомології):
Елементами є лінійні функціонали на просторі формальних сум сингулярних симплексів розмірності k.
Як і для когомологій де Рама а тому можна аналогічно ввести простори і
Останні простори називаються сингулярними когомологіями. На відміну від когомологій де Рама, визначення яких здійснено за допомогою диференційовної структури на многовиді, визначення сингулярних когомологій — суто топологічне. Попри це ці когомології є ізоморфними.
Ізоморфізм когомологій де Рама і сингулярних когомологій
Нехай маємо многовид M з гладкою триангуляцією і з визначеними як вище когомологіями де Рама і сингулярною. Введемо тепер лінійне відображення визначене для всіх гомологічних груп одного порядку. Для цього достатньо визначити гомоморфізми що задовольняють рівності
Дійсно тоді і тож гомоморфізм буде коректно визначений.
Для диференціальної форми значенням має бути лінійний функціонал на множині формальних сум орієнтовних сингулярних симплексів розмірності k. Зважаючи на властивості лінійності цей функціонал можна задати лише на базових орієнтовних сингулярних. З визначення триангуляції многовида кожен такий симплекс <s> є частиною деякого підмноговида в M. На цьому підмноговиді можна визначити звуження і тоді прийняти:
Рівності при подібному визначенні є простими наслідками теореми Стокса.
Теорема де Рама стверджує, що відображення визначене вище є ізоморфізмом між гомологіями де Рама і сингулярними гомологіями для всіх k.
Алгебраїчні многовиди
Визначення
Аналогічно як у випадку гладкого многовида для кожного алгебраїчного многовида над полем можна визначити комплекс регулярних диференціальних форм.
Групами когомологій де Рама многовида называються групи когомологій .
Часткові випадки когомологій де Рама
- Якщо є гладким і повним многовидом, а характеристика поля , то когомології де Рама є когомологіями Вейля.
- Якщо многовид є гладким афінним многовидом, а поле , то справедливим є аналог теореми де Рама:
- де — комплексний аналітичний многовид, що відповідає многовиду .
- Наприклад якщо — доповнення до алгебраїчної гіперповерхні в , то когомології можна обрахувати за допомогою раціональних диференціальних форм на с полюсами на цій гіперповерхні.
Відносні когомології де Рама
Для будь-якого морфізму можна визначити так званий відносний комплекс де Рама
і відповідні відносні когомології де Рама .
У випадку якщо многовид є спектром кільця , а , то відносний комплекс де Рама рівний .
Когомології комплексу пучків на називаються пучками відносних когомологій де Рама. Якщо — власний морфізм, то ці пучки когерентні на .
Див. також
Джерела
- Bredon, Glen E. (1993). Topology and Geometry. Springer-Verlag. ISBN .
- Madsen, I. H.; Tornehave, J (1997). From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes. Cambridge University Press. ISBN .
- Singer, I. M.; Thorpe, J. A. (1976). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kogomologiyi de Rama teoriya kogomologij viznachenih za dopomogoyu diferencialnih form na gladkih mnogovidah Zavdyaki vidnosnij prostoti obchislen shiroko zastosovuyutsya v algebrayichnij i diferencialnij topologiyi a takozh diferencialnij geometriyi i matematichnomu analizi Popri te sho voni viznachayutsya za dopomogoyu diferencialnih struktur na mnogovidi zgidno teoremi de Rama kogomologiyi de Rama izomorfni singulyarnim kogomologiyam yaki viznachayutsya lishe z urahuvannyam topologichnoyi strukturi ViznachennyaDopomizhni viznachennya i poznachennya Nehaj M gladkij mnogovid rozmirnosti n Poznachimo W k M displaystyle Omega k M prostir gladkih diferencialnih form stepenya k na mnogovidi M V lokalnih koordinatah diferencialna forma w W k M displaystyle omega in Omega k M zapisuyetsya u viglyadi w 1 i 1 lt i 2 lt lt i k n f i 1 i 2 i k x 1 x n d x i 1 d x i 2 d x i k displaystyle omega sum 1 leqslant i 1 lt i 2 lt ldots lt i k leqslant n f i 1 i 2 ldots i k x 1 ldots x n dx i 1 wedge dx i 2 wedge ldots wedge dx i k de f i 1 i 2 i k displaystyle f i 1 i 2 ldots i k gladki funkciyi d x i displaystyle dx i diferencial i displaystyle i yi koordinati x i displaystyle x i a displaystyle wedge zovnishnij dobutok Dlya k gt n vsi diferencialni formi rivni nulyu Dlya 0 k n displaystyle 0 leqslant k leqslant n mnozhina diferencialnih form ye vektornim prostorom rozmirnosti C n k displaystyle C n k Dlya vsih 0 k n displaystyle 0 leqslant k leqslant n prirodno viznachayetsya operator d W k M W k 1 M displaystyle d Omega k M rightarrow Omega k 1 M sho nazivayetsya zovnishnoyu pohidnoyu i v lokalnih koordinatah dlya w W k M displaystyle omega in Omega k M mozhna zapisati za dopomogoyu formuli d w 1 i 1 lt i 2 lt lt i k n 1 j n f i 1 i 2 i k x j x 1 x n d x j d x i 1 d x i 2 d x i k displaystyle d omega sum 1 leqslant i 1 lt i 2 lt ldots lt i k leqslant n sum 1 leqslant j leqslant n frac partial f i 1 i 2 ldots i k partial x j x 1 dots x n dx j wedge dx i 1 wedge dx i 2 wedge ldots wedge dx i k Z zapisu v lokalnih koordinatah odrazu otrimuyetsya rivnist d d w 0 displaystyle d d omega 0 dlya vsih diferencialnih form abo d d 0 displaystyle d circ d 0 Kompleksi i kogomologiyi de Rama Z vikoristannyam vvedenih vishe poznachen mozhna rozglyanuti kompleks de Rama kolancyugovij kompleks viznachenij yak 0 W 0 M d W 1 M d W 2 M d W 3 M displaystyle 0 to Omega 0 M stackrel d to Omega 1 M stackrel d to Omega 2 M stackrel d to Omega 3 M to cdots Z togo sho d d 0 displaystyle d circ d 0 viplivaye sho I m d K e r d displaystyle mathrm Im d subset mathrm Ker d Diferencialna forma w W k M displaystyle omega in Omega k M nazivayetsya zamknutoyu yaksho d w 0 displaystyle d omega 0 Prostir zamknutih k form na mnogovidi M poznachayetsya Z k M displaystyle Z k M Diferencialna forma w W k M displaystyle omega in Omega k M nazivayetsya tochnoyu yaksho isnuye diferencialna forma w W k 1 M displaystyle bar omega in Omega k 1 M taka sho w d w displaystyle omega d bar omega Prostir tochnih k form na mnogovidi M poznachayetsya B k M displaystyle B k M Mnozhini Z k M displaystyle Z k M i B k M displaystyle B k M ye dijsnimi vektornimi prostorami i do togo zh z vklyuchennya I m d K e r d displaystyle mathrm Im d subset mathrm Ker d viplivaye sho prostir tochnih form ye pidprostorom prostoru zamknutih form Tomu mozhna viznachiti faktor prostir H d R k M Z k M B k M displaystyle H dR k M Z k M B k M H d R k M displaystyle H dR k M nazivayetsya kogomologichnoyu grupoyu de Rama poryadku k Dvi zamknuti formi w 1 w 2 Z k M displaystyle omega 1 omega 2 in Z k M nalezhat odnomu klasu ekvivalentnosti w H d R k M displaystyle omega in H dR k M todi j lishe todi koli yih riznicya ye tochnoyu diferencialnoyu formoyu w 1 w 2 B k M displaystyle omega 1 omega 2 in B k M Rozmirnist prostoru H d R k M displaystyle H dR k M yaksho vona ye skinchennoyu ce spravedlivo zokrema dlya kogomologichnih grup dovilnogo poryadku dlya kompaktnih mnogovidiv nazivayetsya k m chislom Betti Kogomologiyi de Rama dlya deyakih prostorivNizhche podani znachennya kogomologij de Rama dlya deyakih prostih i vazhlivih mnogovidiv Znachennya H d R 0 M displaystyle H mathrm dR 0 M Dlya dovilnogo mnogovidu z n komponentami zv yaznosti spravedlive tverdzhennya H d R 0 M R n displaystyle H mathrm dR 0 M cong mathbf R n Evklidiv prostir H d R k R n R k 0 0 k gt 0 displaystyle H mathrm dR k mathbb R n simeq begin cases mathbb R amp k 0 0 amp k gt 0 end cases n sfera Dlya n sferi Sn a takozh dlya yiyi dobutku z giperkubom mozhna legko obchisliti kogomologiyi de Rama Nehaj n gt 0 m 0 i I vidkritij interval dijsnih chisel Todi H d R k S n I m R k 0 n 0 k 0 n displaystyle H mathrm dR k S n times I m simeq begin cases mathbb R amp k 0 n 0 amp k neq 0 n end cases n tor Dlya n gt 0 kogomologiyi de Rama dlya n tora rivni H d R k T n R n k displaystyle H mathrm dR k T n simeq mathbb R n choose k Prokolotij evklidiv prostir Prokolotij evklidiv prostir evklidiv prostir z vidalenim pochatkom koordinat n N H d R k R n 0 R k 0 n 1 0 k 0 n 1 H d R k S n 1 displaystyle begin aligned forall n in mathbb N H mathrm dR k mathbb R n setminus vec 0 amp simeq begin cases mathbb R amp k 0 n 1 0 amp k neq 0 n 1 end cases amp simeq H mathrm dR k S n 1 end aligned Strichka Mebiusa Dlya strichki Mebiusa H d R k M H d R k S 1 displaystyle H mathrm dR k M simeq H mathrm dR k S 1 Teorema de RamaSingulyarni kogomologiyi Rozglyanemo teper mnogovid M z gladkoyu triangulyaciyeyu tobto gomeomorfizmom h K M displaystyle h K to M de K deyakij simplicijnij kompleks tak sho dlya bud yakogo simpleksa s K displaystyle s in K dlya zamikannya simpleksa s isnuye okil U sho mistit s i h U M displaystyle h U subset M ye gladkim pidmnogovidom v M Todi M staye singulyarnim kompleksom i na nomu mozhna viznachiti kolancyugovij kompleks div stattyu Singulyarni gomologiyi 0 C 0 M R C 1 M R C 2 M R C 3 M R displaystyle 0 to C 0 M mathbb R stackrel partial to C 1 M mathbb R stackrel partial to C 2 M mathbb R stackrel partial to C 3 M mathbb R to cdots Elementami C k M R displaystyle C k M mathbb R ye linijni funkcionali na prostori formalnih sum singulyarnih simpleksiv rozmirnosti k Yak i dlya kogomologij de Rama 0 displaystyle partial circ partial 0 a tomu mozhna analogichno vvesti prostori Z k M R B k M R displaystyle Z k M mathbb R B k M mathbb R i H k s M R Z k M R B k M R displaystyle H k s M mathbb R Z k M mathbb R B k M mathbb R Ostanni prostori nazivayutsya singulyarnimi kogomologiyami Na vidminu vid kogomologij de Rama viznachennya yakih zdijsneno za dopomogoyu diferencijovnoyi strukturi na mnogovidi viznachennya singulyarnih kogomologij suto topologichne Popri ce ci kogomologiyi ye izomorfnimi Izomorfizm kogomologij de Rama i singulyarnih kogomologij Nehaj mayemo mnogovid M z gladkoyu triangulyaciyeyu i z viznachenimi yak vishe kogomologiyami de Rama i singulyarnoyu Vvedemo teper linijne vidobrazhennya H d R k M H k s M R displaystyle int H dR k M to H k s M mathbb R viznachene dlya vsih gomologichnih grup odnogo poryadku Dlya cogo dostatno viznachiti gomomorfizmi W k M C k M R displaystyle int Omega k M to C k M mathbb R sho zadovolnyayut rivnosti d displaystyle partial circ int int circ d Dijsno todi Z k M Z k M R displaystyle int Z k M subset Z k M mathbb R i B k M B k M R displaystyle int B k M subset B k M mathbb R tozh gomomorfizm H d R k M H k s M R displaystyle H dR k M to H k s M mathbb R bude korektno viznachenij Dlya diferencialnoyi formi w W k M displaystyle omega in Omega k M znachennyam w displaystyle int omega maye buti linijnij funkcional na mnozhini formalnih sum oriyentovnih singulyarnih simpleksiv rozmirnosti k Zvazhayuchi na vlastivosti linijnosti cej funkcional mozhna zadati lishe na bazovih oriyentovnih singulyarnih Z viznachennya triangulyaciyi mnogovida kozhen takij simpleks lt s gt ye chastinoyu deyakogo pidmnogovida v M Na comu pidmnogovidi mozhna viznachiti zvuzhennya w displaystyle omega i todi prijnyati w lt s gt s w displaystyle int omega lt s gt int s omega Rivnosti d displaystyle partial circ int int circ d pri podibnomu viznachenni ye prostimi naslidkami teoremi Stoksa Teorema de Rama stverdzhuye sho vidobrazhennya H d R k M H k s M R displaystyle int H dR k M to H k s M mathbb R viznachene vishe ye izomorfizmom mizh gomologiyami de Rama i singulyarnimi gomologiyami dlya vsih k Algebrayichni mnogovidiViznachennya Analogichno yak u vipadku gladkogo mnogovida dlya kozhnogo algebrayichnogo mnogovida X displaystyle X nad polem k displaystyle k mozhna viznachiti kompleks regulyarnih diferencialnih form Grupami kogomologij de Rama mnogovida X displaystyle X nazyvayutsya grupi kogomologij H d R p X k displaystyle H mathrm dR p X k Chastkovi vipadki kogomologij de Rama Yaksho X displaystyle X ye gladkim i povnim mnogovidom a harakteristika polya c h a r k 0 displaystyle mathrm char k 0 to kogomologiyi de Rama ye kogomologiyami Vejlya Yaksho mnogovid X displaystyle X ye gladkim afinnim mnogovidom a pole k C displaystyle k mathbb C to spravedlivim ye analog teoremi de Rama H d R p X k H p X a n C displaystyle H mathrm dR p X k cong H p X an mathbb C de X a n displaystyle X an kompleksnij analitichnij mnogovid sho vidpovidaye mnogovidu X displaystyle X Napriklad yaksho X displaystyle X dopovnennya do algebrayichnoyi giperpoverhni v P n C displaystyle P n mathbb C to kogomologiyi H p X C displaystyle H p X mathbb C mozhna obrahuvati za dopomogoyu racionalnih diferencialnih form na P n C displaystyle P n mathbb C s polyusami na cij giperpoverhni Vidnosni kogomologiyi de Rama Dlya bud yakogo morfizmu f X S displaystyle f colon X to S mozhna viznachiti tak zvanij vidnosnij kompleks de Rama p 0 G W X S p displaystyle sum p leqslant 0 Gamma Omega X S p i vidpovidni vidnosni kogomologiyi de Rama H d R p X S displaystyle H mathrm dR p X S U vipadku yaksho mnogovid X displaystyle X ye spektrom kilcya S p e c A displaystyle mathrm Spec A a S S p e c B displaystyle S mathrm Spec B to vidnosnij kompleks de Rama rivnij L W A B 1 displaystyle Lambda Omega A B 1 Kogomologiyi H d R p X S displaystyle mathcal H mathrm dR p X S kompleksu puchkiv p 0 f W X S p displaystyle sum p leqslant 0 f Omega X S p na S displaystyle S nazivayutsya puchkami vidnosnih kogomologij de Rama Yaksho f displaystyle f vlasnij morfizm to ci puchki kogerentni na S displaystyle S Div takozhDiferencialna forma Simplicijnij kompleks Singulyarni gomologiyiDzherelaBredon Glen E 1993 Topology and Geometry Springer Verlag ISBN 0 387 97926 3 Madsen I H Tornehave J 1997 From Calculus to Cohomology De Rham Cohomology and Characteristic Classes Cambridge University Press ISBN 978 0521580595 Singer I M Thorpe J A 1976 Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry ISBN 978 0 387 90202 9