Розшарування Серра

У алгебричній топології, розділі математики, розшаруванням (також розшаруванням Гуревича, фібрацією) називається неперервне відображення топологічних просторів, яке задовольняє властивість підняття гомотопії для кожного топологічного простору. Розшарування відіграють важливу роль у теорії гомотопій, підобласті алгебричної топології. Грубо кажучи, розшарування є парою просторів із відображенням одного на інше, де будь-яку гомотопію у просторі на який здійснюється відображення можна перенести вздовж даного відображення на вихідний простір відображення.

Пов'язаними є також поняття розшарування Серра і квазірозшарування.

Означення

Розшарування Гуревича

Розшаруванням (також розшаруванням Гуревича, фібрацією) називається неперервне відображення ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$, яке має властивість підняття гомотопії для всіх топологічних просторів ${\displaystyle X}$. Тобто для топологічного простору ${\displaystyle X}$ і всіх неперервних відображень

${\displaystyle f\colon X\times I\longrightarrow B}$

і неперервних відображень

${\displaystyle {\bar {f}}\colon X\times \{0\}\to E}$,

для яких діаграма

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad {\bar {f}}\colon X\times \{0\}&\longrightarrow &E\\\operatorname {incl} {\bigg \downarrow }&&{\bigg \downarrow }p\\\qquad f\colon X\times I\ &\longrightarrow &B\end{matrix}}}$

є комутативною, існує відображення

${\displaystyle F\colon X\times I\longrightarrow E}$

для якого ${\displaystyle f=p\circ F}$ і ${\displaystyle F|_{X\times \{0\}}={\bar {f}}}$. Таке відображення називається накриваючою гомотопією.

Простір ${\displaystyle E}$ називається загальним простором, ${\displaystyle B}$ — базовим простором розшарування. Прообраз ${\displaystyle p^{-1}(b)}$ точки ${\displaystyle b\in B}$ називається шаром над ${\displaystyle b}$.

Якщо базовий простір ${\displaystyle B}$ є лінійно зв'язаним, то шари над різними точками ${\displaystyle B}$ є гомотопно еквівалентними.

Розшарування Серра

Розшарування Серра — неперервне відображення ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$, яке задовольняє властивість підняття гомотопії для всіх CW-Комплексів ${\displaystyle X}$.

Для цього достатнім (і, отже, еквівалентним) є факт виконання властивості підняття гомотопії для просторів ${\displaystyle X=\left[0,1\right]^{n}}$ для ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$. Звідси також еквівалентною є вимога виконання властивості підняття гомотопії для всіх поліедрів — топологічних просторів гомеоморфних симпліційним комплексам. Це твердження також часто використовується для означення розшарування Серра.

Квазірозшарування

Квазірозшаруванням називається неперервне відображення ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$, для якого породжений гомоморфізм (відносних гомотопічних груп)

${\displaystyle p_{*}:\pi _{i}(E,p^{-1}(x);y)\rightarrow \pi _{i}(B,x)}$

для усіх ${\displaystyle x\in B,y\in p^{-1}(x)}$ і всіх ${\displaystyle i\geqslant 0}$ є ізоморфізмом.

Якщо базовий простір є лінійно зв'язаним, то всі шари квазірозшарування є слабко гомотопно еквівалентними.

Кожне розшарування Серра є квазірозшаруванням.

Пов'язані означення

Відображення ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}$ між загальними просторами двох розшарувань ${\displaystyle p_{1}\colon E_{1}\to B}$ і ${\displaystyle p_{2}\colon E_{2}\to B}$ над одним базовим простором називається гомоморфізмом розшарувань якщо відображення на діаграмі нижче комутують:

Якщо додатково для ${\displaystyle f}$ існує такий гомоморфізм розшарувань ${\displaystyle g\colon E_{2}\to E_{1}}$, що ${\displaystyle f\circ g}$ і ${\displaystyle g\circ f}$ є гомотопними до одиничних відображень ${\displaystyle Id_{E_{2}}}$ і ${\displaystyle Id_{E_{1}}}$ за допомогою гомотопії, що є гомоморфізмом розшарувань, то ${\displaystyle f}$ називається гомотопною еквівалентністю розшарувань.

Якщо задане розшарування ${\displaystyle p\colon E\to B}$ і неперервне відображення ${\displaystyle f\colon A\to B}$, нехай ${\displaystyle f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}}$ і відображення ${\displaystyle p_{f}\colon f^{*}(E)\to A}$є проєкцією на перший множник у добутку множин. При цьому відображення на діаграмі нижче комутують:

Тоді ${\displaystyle p_{f}\colon f^{*}(E)\to A}$ є розшаруванням, яке називається індукованим розшаруванням розшарування ${\displaystyle p\colon E\to B}$ за допомогою відображення ${\displaystyle f\colon A\to B}$.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$ є розшаруванням і ${\displaystyle b_{1},b_{2}\in B}$, то шари ${\displaystyle p^{-1}(b_{1}),\ p^{-1}(b_{2})}$ над цими двома довільними точками є гомотопно еквівалентними. Таким чином поняття розшарування Гуревича певною мірою є гомотопно теоретичним аналогом поняття локально тривіального розшарування для якого всі шари є гомеоморфними.
• Розшарування ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$ над стягуваним простором є гомотопно еквівалентним як розшарування (тобто за допомогою гомотопії, що є гомоморфізмом розшарувань) до тривіального розшарування (добутку просторів) ${\displaystyle B\times F\longrightarrow B.}$ Більш загально, якщо ${\displaystyle B}$ є локально стягуваним простором, то ${\displaystyle p\colon E\longrightarrow B}$ є локально гомотопно еквівалентним як розшарування до тривіального розшарування. Це продовжує опис розшарування Гуревича як гомотопно теоретичного аналога локально тривіальних розшарувань.
• Для всіх розшарувань Гуревича зі стягуваним базовим простором існує перетин.

Перетин одержується із підняття гомотопії ${\displaystyle F:X\times [0,1]\to X}$ між сталим відображенням ${\displaystyle F_{0}}$ і одиничним відображенням ${\displaystyle F_{1}}$ (існування такої гомотопії випливає з означення стягуваних просторів). Оскільки для сталого відображення очевидно існує підняття, то воно існує і для гомотопії й для одиничного відображення ${\displaystyle F_{1}}$. Але підняття для одиничного відображення буде перетином.

• Кожне неперервне відображення ${\displaystyle f\colon A\to B}$ можна записати як композицію відображень ${\displaystyle A\to E_{f}\to B}$ у якій перше відображення є гомотопною еквівалентністю, а друге — розшаруванням. Зокрема за ${\displaystyle E_{f}}$ можна взяти множину пар ${\displaystyle (a,\gamma )}$ де ${\displaystyle a\in A}$ і ${\displaystyle \gamma \colon I\to B}$ є шляхом для якого ${\displaystyle \gamma (0)=f(a),}$ де ${\displaystyle I=[0,1]}$ позначає одиничний відрізок. На просторі ${\displaystyle E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}}$ вводиться індукована топологія із простору ${\displaystyle A\times B^{I},}$ де ${\displaystyle B^{I}}$ є простором неперервних відображень ${\displaystyle I\to B}$ із компактно-відкритою топологією. Відображення ${\displaystyle p\colon E_{f}\to B}$ задане як ${\displaystyle p(a,\gamma )=\gamma (1)}$ є розшаруванням. Також ${\displaystyle A}$ можна розглядати як підпростір ${\displaystyle E_{f}}$ ідентифікуючи ${\displaystyle a\in A}$ із парою ${\displaystyle (a,\gamma _{f(a)}),}$ де ${\displaystyle \gamma _{f(a)}}$ позначає сталий шлях у точці ${\displaystyle f(a)}$. Включення ${\displaystyle i:A\to E_{f}}$ є гомотопною еквівалентністю і ${\displaystyle f=p\circ i}$ тобто ${\displaystyle f}$ є рівною композиції гомотопної еквівалентності й розшарування.

Приклади

• Нехай ${\displaystyle F}$ — будь-який топологічний простір і

${\displaystyle p:B\times F\to B}$

є проєкцією на перший фактор. Тоді ${\displaystyle p}$ є розшаруванням Гуревича. Таке розшарування називається тривіальним.

• Натомість локально тривіальне розшарування може не бути розшаруванням Гуревича. Як приклад головне розшарування для групи ${\displaystyle G=(\mathbb {R} ^{+},\cdot )}$ додатних дійсних чисел з операцією множення над простором ${\displaystyle X}$ одержаним склеюванням двох дійсних прямих вздовж додатних чисел.

Детальніше нехай ${\displaystyle X=(\mathbb {R} \times \{0,1\})\mathbin {/} {\sim }}$, де відношення еквівалентності породжується усіма еквівалентностями виду ${\displaystyle (x,0)\sim (x,1),\ x\in \mathbb {R} ^{+}}$ і ${\displaystyle q:\mathbb {R} \times \{0,1\}\to X}$ є проєкцією на фактор-простір. Якщо позначити ${\displaystyle U=q(\mathbb {R} \times \{0\}),\ V=q(\mathbb {R} \times \{1\}),}$ то ці множини утворюють відкрите покриття простору ${\displaystyle X}$. Неперервне відображення ${\displaystyle {\hat {g}}:\mathbb {R} \times \{0,1\}\to \mathbb {R} ,}$ задане як ${\displaystyle {\hat {g}}(x\times i)=x}$ породжує неперервне відображення ${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} .}$

Нехай ${\displaystyle f=g|_{U\cap V}:U\cap V\to \mathbb {R} ^{+}}$ є обмеженням цього відображення. Тоді ${\displaystyle f}$ є неперервним відображенням яке не можна продовжити до неперервного відображення із ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ (якби таке продовження ${\displaystyle {\hat {f}}}$ існувало, і ${\displaystyle {\hat {f}}(0)=y}$ то для будь-якої послідовності, що збігається до 0 в ${\displaystyle X}$ границею образів елементів цієї послідовності має бути ${\displaystyle y}$; але ${\displaystyle q(1/n,1)}$ є прикладом такої послідовності і ${\displaystyle {\hat {f}}(q(1/n,1))=f(q(1/n,1))=1/n}$ є послідовністю, що не має границі у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$).

Нехай ${\displaystyle E_{U}=U\times G,\ E_{V}=V\times G}$ є тривіальними головними розшаруваннями, де як і вище ${\displaystyle G=(\mathbb {R} ^{+},\cdot )}$. З цих двох розшарувань можна побудувати головне розшарування над ${\displaystyle X}$ за допомогою склеювання над ${\displaystyle U\cap V}$ за допомогою ${\displaystyle G}$-ізоморфізму ${\displaystyle \varphi _{f}:E_{U}|_{U\cap V}\ {\overset {\simeq }{\to }}\ E_{V}|_{U\cap V}}$ для якого ${\displaystyle \varphi _{f}(x,g)={\bigl (}x,f(x)\cdot g{\bigr )}.}$ Одержане розшарування буде локально тривіальним оскільки його обмеження на ${\displaystyle U}$ і ${\displaystyle V}$ є тривіальними, але для нього не існує перетинів, зокрема воно не є тривіальним. Дійсно з існування перетину ${\displaystyle s_{X}}$ випливало б існування також перетинів на тривіальних розшаруваннях ${\displaystyle E_{U},\ E_{V}}$ і відповідно неперервних відображень ${\displaystyle S_{U}:U\to \mathbb {R} ^{+}}$ і ${\displaystyle S_{V}:V\to \mathbb {R} ^{+}}$ для яких також ${\displaystyle S_{V}(x)=f(x)\cdot S_{U}(x),\ \forall x\in U\cap V}$ і як наслідок ${\textstyle f(x)={S_{V}(x) \over S_{U}(x)},\ \forall x\in U\cap V.}$ Але тоді також можна задати неперервне продовження ${\displaystyle {\overline {f}}:X\to \mathbb {R} ^{+}}$ на весь простір задане як ${\textstyle {\overline {f}}(x)={\frac {S_{V}{\bigl (}q(g(x),1){\bigr )}}{S_{U}{\bigl (}q(g(x),0){\bigr )}}}}$. Одержана суперечність із неможливістю такого продовження доводить відсутність перетину ${\displaystyle s_{X}}$.

Оскільки простір ${\displaystyle X}$ є стягуваним, то відсутність перетинів також доводить, що це головне розшарування не є розшаруванням Гуревича.

• Якщо додатково базовий простір є паракомпактним то локально тривіальне розшарування є розшаруванням Гуревича.

• Розшарування Гопфа історично було одним із перших нетривіальних прикладів розшарування.
• Розшарування Гопфа є частковим випадком розшарувань над комплексними проєктивними просторами виду ${\displaystyle p:S^{2n+1}\to \mathbf {CP} ^{n}}$ із шарами ${\displaystyle S^{1}.}$ Розшарування Гопфа є частковим випадком для n=1 оскільки ${\displaystyle {CP}^{1}}$ є гомеоморфним сфері.
• Ще одним узагальненням розшарування Гопфа, є розшарування над кватерніонним проєктивним простором ${\displaystyle p:S^{4n+3}\to \mathbf {HP} ^{n}}$ із шарами ${\displaystyle Sp^{1},}$ тобто групою одиничних кватерніонів.
• Розшарування Серра ${\displaystyle p:SO(3)\to S^{2}}$ одержується із дії групи поворотів SO(3) на сфері S². Шари цього розшарування є рівними SO(2). Як топологічний простір SO(3) є гомеоморфним дійсному проєктивному простору RP³ і тому S³ є подвійним накриттям SO(3). Звідси випливає, що розшарування Гопфа є універсальним накриттям.
• Попередній приклад можна узагальнити на розшарування ${\displaystyle p:SO(n+1)\to S^{n}}$ із шарами SO(n) для будь-якого невід'ємного цілого числа n (хоча шари не є одноточковими лише для n > 1) яке одержується із дії спеціальної ортогональної групи SO(n+1) на n-гіперсфері.
• Кожне накриття топологічного простору є розшаруванням Гуревича.
• Більш загально, кожне локально тривіальне розшарування є розшаруванням Серра. У цьому випадку шари для різних точок не тільки є гомотопно еквівалентними, але і гомеоморфними.
• Приклад розшарування Серра, що не є розшаруванням Гуревича можна одержати якщо взяти ${\displaystyle E=\{(x,y):x=y,x\in I\}\cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} \atop n>0}\{(x,y):x\in I,y=1+1/n\}}$ і ${\displaystyle B=I=\{x:0\leq x\leq 1\}.}$ Тоді відображення${\displaystyle p(x,y)=x}$ є розшаруванням Серра, але шари ${\displaystyle p^{-1}(0)}$ і ${\displaystyle p^{-1}(1)}$ не є гомотопно еквівалентними, тому воно не є розшаруванням Гуревича.
• Приклад квазірозшарування, що не є розшаруванням Серра можна одержати якщо взяти ${\displaystyle E=\left([-1,0]\times \{1\}\cup \{0\}\times [0,1]\cup [0,1]\times \{0\}\right)}$ і ${\displaystyle B=[-1,1].}$ Тоді відображення ${\displaystyle p(x,y)=x}$ є квазірозшаруванням, але не розшаруванням Серра.

Довга точна гомотопічна послідовність

Для розшарувань Серра (а також, більш загально, для квазірозшарувань) для ${\displaystyle p:E\rightarrow B}$ існує довга точна послідовність груп гомотопії n

${\displaystyle \ldots \rightarrow \pi _{n+1}(B,y)\rightarrow \pi _{n}(F,x)\rightarrow \pi _{n}(E,x)\rightarrow \pi _{n}(B,y)\rightarrow \pi _{n-1}(F,x)\rightarrow \ldots }$.

Тут ${\displaystyle x\in E,y=p(x)\in B}$ і ${\displaystyle F=p^{-1}(x)}$ є шаром.

Приклад: розшарування Гопфа ${\displaystyle p:S^{3}\rightarrow S^{2}}$ із шаром ${\displaystyle S^{1}}$. Як відомо, ${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0}$ для всіх ${\displaystyle n\geqslant 2}$, з цього випливає ${\displaystyle \pi _{n}(S^{3})\cong \pi _{n}(S^{2})}$ для всіх ${\displaystyle n\geqslant 3}$, зокрема ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\mathbb {Z} }$.

Див. також

• Гомотопічні групи
• Кофібрація
• Локально тривіальне розшарування
• Накриваюча гомотопія
• Розшарування Гопфа

Література

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN . Архів оригіналу за 20 лютого 2012. Процитовано 14 вересня 2020.
• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 
• Spanier, Edwin (1966). Algebraic Topology. McGraw-Hill Series in Higher Mathematics. New York: McGraw-Hill.
• Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte. Ann. of Math. (2) 67 1958 239–281. pdf [ 4 березня 2016 у Wayback Machine.]
• J. P. May.: Weak equivalences and quasifibrations. In Groups of self-equivalences and related topics (Montreal, PQ, 1988), volume 1425 of Lecture Notes in Math., pages 91–101. Springer, Berlin, 1990.
• Jean-Pierre Serre: Homologie singulière des espaces fibrés. Applications. Ann. of Math. (2) 54, (1951). 425–505. pdf [ 4 березня 2016 у Wayback Machine.]