В математиці, топологічна K-теорія є підрозділом алгебричної топології. На початку свого існування вона застосовувалася для вивчення векторних розшарувань на топологічних просторах за допомогою ідей алгебричної K-теорії, введеної Гротендіком. Ранні роботи по топологічній K-теорії належать Майклу Атія і Фрідріху Хірцебруху.
Означення
Нехай X — компактний гаусдорфів простір і або
. Тоді
визначається як група Гротендіка комутативного моноїда скінченновимірних
-векторних розшарувань над X де алгебричною операцією є сума Вїтні. Тензорний добуток розшарувань задає на K-теорії структуру комутативного кільця. Без індексу,
зазвичай позначає комплексну K-теорію, тоді як дійсна K-теорія іноді позначається як
. Далі розглядається переважно комплексна K-теорія.
Як найпростіший приклад для одноточкового простору група є групою цілих чисел. Це пов'язано з тим, що всі векторні розшарування над точкою є тривіальними і тому класифікуються своїм рангом, а група Гротендіка натуральних чисел є групою цілих чисел.
Існує також редукована версія K-теорії (група тоді позначається ), яка визначається для компактних просторів із виділеної точкою (подібно до редукованих гомологій). Цю теорію можна інтуїтивно розглядати як K(X) за модулем тривіальних розшарувань. Вона визначається як група класів стабільної еквівалентності розшарувань. Два розшарування E і F називаються стабільно ізоморфними, якщо існують тривіальні розшарування
і
, такі що
. Це відношення еквівалентності задає структуру групи на множині векторних розшарувань, оскільки кожне векторне розшарування може бути доповнено до тривіального розшарування прямою сумою із його ортогональним доповненням. З іншого боку,
можна визначити як ядро відображення
, що індукується вкладенням виділеної точки x0 в X.
K-теорія є мультиплікативною (узагальненою) когомологічною теорією. Коротка точна послідовність просторів з виділеною точкою (X, A)
продовжується до довгої точної послідовності
Нехай Sn буде n-ою редукованою надбудовою простору. Тоді визначимо:
від'ємні індекси вибираються таким чином, щоб кограничне відображення збільшувало розмірність.
Часто має сенс розглядати нередуковану версію цих груп, визначену як:
Де є простором
із окремою виділеною точкою, поміченою знаком «+».
Нарешті сформульована нижче дозволяє ввести групи із додатними індексами.
Властивості
- Kn і, відповідно
є контраваріантними функторами із гомотопічної категорії просторів (з виділеної точкою) у категорію комутативних кілець. Отже, наприклад, K-теорія над стягуваними просторами є
- Спектром K-теорії є
(з дискретною топологією на
), тобто
де [,] позначає класи відображень просторів із виділеною точкою із точністю до гомотопії, а BU — кограниця класифікуючих просторів унітарних груп:
Аналогічно,
- Для дійсної K-теорії використовується простір BO.
- Аналогом у K-теорії є . Їх можна використовувати для визначення характеристичних класів в топологічній K-теорії.
- Принцип розщеплення в топологічній K-теорії дозволяє звести твердження про довільні векторні розшарування до тверджень про суми одновимірних розшарувань.
- в топологічної K-теорії це:
- де T(E) — простір Тома векторного розшарування E над X. Це виконується коли E є спінарним розшаруванням.
- Спектральна послідовність Атії-Хірцебруха дозволяє обчислювати K-групи із звичайних груп когомологій.
- Топологічну K-теорію можна узагальнити до функтора на C*-алгебрі.
Періодичність Ботта
Періодичність, названу на честь Рауля Ботта можна сформулювати так:
і
де H — клас тавтологічного розшарування на
тобто на сфері Рімана.
У дійсній K-теорії існує схожа періодичність, тільки по модулю 8.
Застосування
Два важливі застосування топологічної K-теорії належать Френку Адамсу. Спочатку він розв'язав задачу про одиничний інваріант Гопфа, здійснивши обчислення за допомогою . Потім він довів верхню оцінку кількості лінійно незалежних векторних полів на сферах.
Характер Чженя
Майкл Атія і Фрідріх Хірцебрух довели теорему, яка пов'язує топологічну K-теорію CW-комплексу з його раціональними когомологіями. Зокрема, вони показали, що існує гомоморфізм
такий, що
Існує алгебраїчний аналог, що пов'язує групу Гротендіка і кільце Чоу гладкого проективного многовида .
Див. також
Література
- Atiyah, Michael Francis (1989). K-theory. Advanced Book Classics (вид. 2nd). Addison-Wesley. ISBN . MR 1043170.
- Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, ред. (2005). Handbook of K-Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN . MR 2182598.
- Karoubi, Max (1978). K-theory: an introduction. Classics in Mathematics. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN .
- Karoubi, Max (2006). K-theory. An elementary introduction. arXiv:math/0602082.
- Hatcher, Allen (2003). Vector Bundles & K-Theory.
- Park, Efton (2008). Complex Topological K-Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 111. Cambridge University Press. ISBN .
- Stykow, Maxim (2013). Connections of K-Theory to Geometry and Topology.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici topologichna K teoriya ye pidrozdilom algebrichnoyi topologiyi Na pochatku svogo isnuvannya vona zastosovuvalasya dlya vivchennya vektornih rozsharuvan na topologichnih prostorah za dopomogoyu idej algebrichnoyi K teoriyi vvedenoyi Grotendikom Ranni roboti po topologichnij K teoriyi nalezhat Majklu Atiya i Fridrihu Hircebruhu OznachennyaNehaj X kompaktnij gausdorfiv prostir i k R displaystyle k mathbb R abo C displaystyle mathbb C Todi K k X displaystyle K k X viznachayetsya yak grupa Grotendika komutativnogo monoyida skinchennovimirnih k displaystyle k vektornih rozsharuvan nad X de algebrichnoyu operaciyeyu ye suma Vyitni Tenzornij dobutok rozsharuvan zadaye na K teoriyi strukturu komutativnogo kilcya Bez indeksu K X displaystyle K X zazvichaj poznachaye kompleksnu K teoriyu todi yak dijsna K teoriya inodi poznachayetsya yak K O X displaystyle KO X Dali rozglyadayetsya perevazhno kompleksna K teoriya Yak najprostishij priklad dlya odnotochkovogo prostoru grupa K X displaystyle K X ye grupoyu cilih chisel Ce pov yazano z tim sho vsi vektorni rozsharuvannya nad tochkoyu ye trivialnimi i tomu klasifikuyutsya svoyim rangom a grupa Grotendika naturalnih chisel ye grupoyu cilih chisel Isnuye takozh redukovana versiya K teoriyi grupa todi poznachayetsya K X displaystyle widetilde K X yaka viznachayetsya dlya kompaktnih prostoriv iz vidilenoyi tochkoyu podibno do redukovanih gomologij Cyu teoriyu mozhna intuyitivno rozglyadati yak K X za modulem trivialnih rozsharuvan Vona viznachayetsya yak grupa klasiv stabilnoyi ekvivalentnosti rozsharuvan Dva rozsharuvannya E i F nazivayutsya stabilno izomorfnimi yaksho isnuyut trivialni rozsharuvannya e 1 displaystyle varepsilon 1 i e 2 displaystyle varepsilon 2 taki sho E e 1 F e 2 displaystyle E oplus varepsilon 1 cong F oplus varepsilon 2 Ce vidnoshennya ekvivalentnosti zadaye strukturu grupi na mnozhini vektornih rozsharuvan oskilki kozhne vektorne rozsharuvannya mozhe buti dopovneno do trivialnogo rozsharuvannya pryamoyu sumoyu iz jogo ortogonalnim dopovnennyam Z inshogo boku K X displaystyle widetilde K X mozhna viznachiti yak yadro vidobrazhennya K X K x 0 Z displaystyle K X to K x 0 cong mathbb Z sho indukuyetsya vkladennyam vidilenoyi tochki x0 v X K teoriya ye multiplikativnoyu uzagalnenoyu kogomologichnoyu teoriyeyu Korotka tochna poslidovnist prostoriv z vidilenoyu tochkoyu X A K X A K X K A displaystyle widetilde K X A to widetilde K X to widetilde K A prodovzhuyetsya do dovgoyi tochnoyi poslidovnosti K S X K S A K X A K X K A displaystyle cdots to widetilde K SX to widetilde K SA to widetilde K X A to widetilde K X to widetilde K A Nehaj Sn bude n oyu redukovanoyu nadbudovoyu prostoru Todi viznachimo K n X K S n X n 0 displaystyle widetilde K n X widetilde K S n X qquad n geq 0 vid yemni indeksi vibirayutsya takim chinom shob kogranichne vidobrazhennya zbilshuvalo rozmirnist Chasto maye sens rozglyadati neredukovanu versiyu cih grup viznachenu yak K n X K n X displaystyle K n X widetilde K n X De X displaystyle X ye prostorom X displaystyle X iz okremoyu vidilenoyu tochkoyu pomichenoyu znakom Nareshti sformulovana nizhche dozvolyaye vvesti grupi iz dodatnimi indeksami VlastivostiKn i vidpovidno K n displaystyle widetilde K n ye kontravariantnimi funktorami iz gomotopichnoyi kategoriyi prostoriv z vidilenoyi tochkoyu u kategoriyu komutativnih kilec Otzhe napriklad K teoriya nad styaguvanimi prostorami ye Z displaystyle mathbb Z Spektrom K teoriyi ye B U Z displaystyle BU times mathbb Z z diskretnoyu topologiyeyu na Z displaystyle mathbb Z tobto K X X Z B U displaystyle K X cong left X mathbb Z times BU right de poznachaye klasi vidobrazhen prostoriv iz vidilenoyu tochkoyu iz tochnistyu do gomotopiyi a BU kogranicya klasifikuyuchih prostoriv unitarnih grup B U n Gr n C displaystyle BU n cong operatorname Gr left n mathbb C infty right Analogichno K X X Z B U displaystyle widetilde K X cong X mathbb Z times BU dd Dlya dijsnoyi K teoriyi vikoristovuyetsya prostir BO Analogom u K teoriyi ye Yih mozhna vikoristovuvati dlya viznachennya harakteristichnih klasiv v topologichnij K teoriyi Princip rozsheplennya v topologichnij K teoriyi dozvolyaye zvesti tverdzhennya pro dovilni vektorni rozsharuvannya do tverdzhen pro sumi odnovimirnih rozsharuvan v topologichnoyi K teoriyi ce K X K T E displaystyle K X cong widetilde K T E dd de T E prostir Toma vektornogo rozsharuvannya E nad X Ce vikonuyetsya koli E ye spinarnim rozsharuvannyam Spektralna poslidovnist Atiyi Hircebruha dozvolyaye obchislyuvati K grupi iz zvichajnih grup kogomologij Topologichnu K teoriyu mozhna uzagalniti do funktora na C algebri Periodichnist BottaPeriodichnist nazvanu na chest Raulya Botta mozhna sformulyuvati tak K X S 2 K X K S 2 displaystyle K X times mathbb S 2 K X otimes K mathbb S 2 i K S 2 Z H H 1 2 displaystyle K mathbb S 2 mathbb Z H H 1 2 de H klas tavtologichnogo rozsharuvannya na S 2 P 1 C displaystyle mathbb S 2 mathbb P 1 mathbb C tobto na sferi Rimana K n 2 X K n X displaystyle widetilde K n 2 X widetilde K n X W 2 B U B U Z displaystyle Omega 2 BU cong BU times mathbb Z U dijsnij K teoriyi isnuye shozha periodichnist tilki po modulyu 8 ZastosuvannyaDva vazhlivi zastosuvannya topologichnoyi K teoriyi nalezhat Frenku Adamsu Spochatku vin rozv yazav zadachu pro odinichnij invariant Gopfa zdijsnivshi obchislennya za dopomogoyu Potim vin doviv verhnyu ocinku kilkosti linijno nezalezhnih vektornih poliv na sferah Harakter ChzhenyaMajkl Atiya i Fridrih Hircebruh doveli teoremu yaka pov yazuye topologichnu K teoriyu CW kompleksu X displaystyle X z jogo racionalnimi kogomologiyami Zokrema voni pokazali sho isnuye gomomorfizm c h K top X Q H X Q displaystyle ch K text top X otimes mathbb Q to H X mathbb Q takij sho K top 0 X Q k H 2 k X Q K top 1 X Q k H 2 k 1 X Q displaystyle begin aligned K text top 0 X otimes mathbb Q amp cong bigoplus k H 2k X mathbb Q K text top 1 X otimes mathbb Q amp cong bigoplus k H 2k 1 X mathbb Q end aligned Isnuye algebrayichnij analog sho pov yazuye grupu Grotendika i kilce Chou gladkogo proektivnogo mnogovida X displaystyle X Div takozhVektorne rozsharuvannya Grupa Grotendika Teorema Atiyi Zingera pro indeksLiteraturaAtiyah Michael Francis 1989 K theory Advanced Book Classics vid 2nd Addison Wesley ISBN 978 0 201 09394 0 MR 1043170 Friedlander Eric Grayson Daniel red 2005 Handbook of K Theory Berlin New York Springer Verlag doi 10 1007 978 3 540 27855 9 ISBN 978 3 540 30436 4 MR 2182598 Karoubi Max 1978 K theory an introduction Classics in Mathematics Springer Verlag doi 10 1007 978 3 540 79890 3 ISBN 0 387 08090 2 Karoubi Max 2006 K theory An elementary introduction arXiv math 0602082 Hatcher Allen 2003 Vector Bundles amp K Theory Park Efton 2008 Complex Topological K Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics T 111 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 85634 8 Stykow Maxim 2013 Connections of K Theory to Geometry and Topology