Група Гротендіка

Групою Гротендіка називається деяка група, що є розширенням комутативного моноїда. Поняття активно використовується зокрема у теорії представлень, алгебраїчній геометрії і K-теорії. Названа на честь французького математика Александра Гротендіка, який ввів це поняття в середині 1950-х років.

Універсальна властивість

У найбільш простих термінах, група Гротендіка комутативного моноїда є універсальним способом перетворити цей моноїд в абелеву групу. Нехай ${\displaystyle M}$ є комутативним моноїдом тобто комутативною напівгрупою із нейтральним елементом. Операцію в ${\displaystyle M}$ переважно називають додаванням. Група Гротендіка моноїда ${\displaystyle M}$ (позначається зазвичай ${\displaystyle K}$ або ${\displaystyle K_{0}}$) є абелевою групою, яка є (в певному сенсі) розширенням моноїда ${\displaystyle M}$ до групи, тобто допускає операцію не тільки суми, але і різниці двох елементів.

Група Гротендіка ${\displaystyle K}$ повинна задовольняти універсальну властивість: існує гомоморфізм моноїдів

${\displaystyle i\colon M\rightarrow K}$

такий, що для будь-якого гомоморфізму моноїдів

${\displaystyle f\colon M\rightarrow A}$

в абелеву групу ${\displaystyle A}$ існує єдиний гомоморфізм абелевих груп

${\displaystyle g\colon K\rightarrow A}$

такий, що

${\displaystyle f=g\circ i.}$

У термінах теорії категорій, функтор, що переводить комутативний моноїд ${\displaystyle M}$ у його групу Гротендіка ${\displaystyle K}$ є лівим спряженим функтором функтора забуття із категорії абелевих груп у категорію комутативних моноїдів.

Явна побудова

Розглянемо декартовий добуток ${\displaystyle M\times M}$, елементами якого є пари ${\displaystyle (a,b)}$, де ${\displaystyle a,b\in M}$. На множині ${\displaystyle M\times M}$ можна ввести відношення еквівалентності, при якому елементи ${\displaystyle (a,b)}$ і ${\displaystyle (a',b')}$ є еквівалентними, якщо для них існує такий елемент ${\displaystyle c\in M,}$ що

${\displaystyle a+b'+c=a'+b+c}$

Дане відношення дійсно є відношенням еквівалентності бо ${\displaystyle (a,b)\sim (a,b)}$ випливає з того, що ${\displaystyle a+b=b+a,}$ симетричність є очевидною, а з еквівалентностей ${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')}$ і ${\displaystyle (a',b')\sim (a'',b'')}$ існування елементів ${\displaystyle c,c'\in M,}$ для яких ${\displaystyle a+b'+c=a'+b+c}$ і ${\displaystyle a'+b''+c'=a''+b'+c'.}$ Але додавши останні дві рівності можна отримати: ${\displaystyle a+b''+(a'+b'+c+c')=a''+b+(a'+b'+c+c'),}$ тобто також ${\displaystyle (a,b)\sim (a'',b'')}$ і відношення є транзитивним.

Нехай ${\displaystyle [a,b]}$ позначає клас еквівалентності відповідної пари. Тоді зокрема ${\displaystyle [a,b]=[a+c,b+c]}$ для всіх всіх ${\displaystyle c\in M}$.

На множині класів еквівалентності можна ввести операцію додавання як:

${\displaystyle [a,b]+[a',b']=[a+a',b+b'].}$

Дана операція є коректно визначеною тобто не залежить від представників класів еквівалентності. Справді, якщо ${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$ і ${\displaystyle (a',b')\sim (c',d')}$ то ${\displaystyle a+d+e=b+c+e}$ і ${\displaystyle a'+d'+e'=b'+c'+e'}$ для деяких ${\displaystyle e,e'\in M}$. Тоді додавши ці рівності отримаємо ${\displaystyle a+a'+d+d'+(e+e')=b+b'+c+c'+(e+e'),}$ тобто ${\displaystyle (a+a',b+b')\sim (c+c',d+d').}$

Із властивостей моноїда випливає, що це додавання буде асоціативною і комутативною операцією. Клас еквівалентності пар виду ${\displaystyle (a,a)}$ для всіх ${\displaystyle a\in M}$ є нейтральним (нульовим) елементом для такого додавання. Для класу еквівалентності ${\displaystyle [a,b]}$ клас еквівалентності ${\displaystyle [b,a]}$ буде оберненим. Таким чином множина класів еквівалентності із операцією додавання буде групою, яку і називають групою Гротендіка ${\displaystyle K}$ моноїда ${\displaystyle M}$. Клас еквівалентності ${\displaystyle [a,b]}$ називається також формальною різницею елементів ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ і позначається ${\displaystyle a-b}$.

Кожному елементу ${\displaystyle a\in M}$ можна поставити у відповідність формальну різницю ${\displaystyle a-0}$, тобто клас еквівалентності ${\displaystyle [a,0]}$, тобто існує гомоморфізм моноїда ${\displaystyle M}$ у його групу Гротендіка. Цей гомоморфізм буде ін'єктивним тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle M}$ є моноїдом із скороченням, тобто із ${\displaystyle a+c=b+c}$ випливає, що ${\displaystyle a=b.}$

Приклади

Цілі числа

Найпростіший приклад групи Гротендіка — побудова цілих чисел із натуральних (включно із нулем). Натуральні числа із нулем і звичайним додаванням ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ утворюють комутативний моноїд. Використовуючи конструкцію групи Гротендіка, розглянемо формальні різниці натуральних чисел ${\displaystyle n-m}$ із відношенням еквівалентності

${\displaystyle n-m\sim n'-m'\leftrightarrow n+m'=n'+m.}$

Тепер можна позначити

${\displaystyle n:=[n-0],}$

${\displaystyle -n:=[0-n]}$

для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Ця конструкція визначає цілі числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Додатні раціональні числа

Для мультиплікативного комутативного моноїда ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*},*)}$ (натуральних чисел без нуля) група Гротендіка складається із формальних часток ${\displaystyle p/q}$ із відношенням еквівалентності:

${\displaystyle p/q\sim p'/q'\Leftrightarrow pq'r=p'qr}$ для деякого ${\displaystyle r\Leftrightarrow pq'=p'q}$ .

Цю групу очевидно можна ідентифікувати із мультиплікативною групою додатних раціональних чисел.

Приклад моноїда без скорочень

У двох попередніх прикладах розглядалися моноїди із скороченнями. Для таких моноїдів відношення еквівалентності в означенні групи Гротендіка можна записати простіше: ${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle a+b'=a'+b.}$ Навпаки коли у групі Гротендіка ${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle a+b'=a'+b}$ то відповідний моноїд є моноїдом із скороченням (що відразу випливає із розгляду пар виду ${\displaystyle (a,0)}$).

Простим прикладом моноїда без скорочень є множина ${\displaystyle M=\{0,1\}}$ із операцією додавання заданою як ${\displaystyle 0+0=0}$ і ${\displaystyle 0+1=1+0=1+1=1}$. У цьому випадку на ${\displaystyle M\times M}$ маємо ${\displaystyle (0,0)\sim (0,1)\sim (1,0)\sim (1,1)}$ (якщо взяти ${\displaystyle c=1}$ в усіх випадках) і група Гротендіка є тривіальною. Проте якщо розглянути відношення ${\displaystyle \equiv }$ задане як

${\displaystyle (a,b)\equiv (a',b'),\ }$ якщо і тільки якщо ${\displaystyle m_{1}+n_{2}=m_{2}+n_{1}}$

то ${\displaystyle (0,1)\equiv (1,1),\ (1,0)\equiv (1,1)}$ але ${\displaystyle (0,1)\not \equiv (1,0),}$ тому це відношення не є навіть транзитивним. Цей приклад показує необхідність додавання ${\displaystyle c}$ в побудові групи.

Група Гротендіка многовида

Конструкція групи Гротендіка активно використовується у K-теорії. Група ${\displaystyle K_{0}(M)}$ компактного многовида M за означенням є групою Гротендіка комутативного моноїда на класі ізоморфізмів векторних розшарувань скінченної розмірності на M де операцією є пряма сума розшарувань. Ці операції визначають контраваріантний функтор із категорії компактних многовидів у категорію абелевих груп.

Джерела

• Grothendieck group [ 14 травня 2011 у Wayback Machine.] на PlanetMath.
• Michael Atiyah. K-Theory, (Notes taken by D. W. Anderson, Fall 1964), published in 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
• Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag, 1994, .