Теорема про сферу — загальна назва теорем, що дають достатні умови на ріманову метрику, які гарантують гомеоморфність або дифеоморфність многовиду стандартній сфері.
Формулювання
Нехай — замкнутий, однозв'язний, n-вимірний ріманів многовид з деякою умовою на кривину (див. зауваження), тоді гомеоморфний / дифеоморфний n-вимірній сфері.
Зауваження
- Формулювання з гомеоморфізмом і дифеоморфізмом мають назви відповідно топологічна теорема про сферу і гладка теорема про сферу.
- Найвідомішою умовою на кривину є так зване чверть-защеплення кривини, що означає, що секційна кривина в кожному секційному напрямку кожної точки лежить в .
- Умова чверть-защеплення є оптимальною, теорема перестає виконуватись, якщо секційна кривина може набувати значень у замкнутому інтервалі . Стандартний контрприклад — комплексний проєктивний простір з канонічною метрикою; секційна кривина метрики набуває значень між 1 і 4, включно з кінцевими точками. Інші контрприклади можна знайти серед симетричних просторів рангу 1.
- Загальнішою умовою є поточкове чверть-защеплення. Це означає, що секційна кривина додатна і для кожної фіксованої точки відношення максимуму до мінімуму секційних кривин по всіх секційних напрямках не перевершує 4.
- Іншою відомою умовою на кривину є додатність оператора кривини.
- Загальнішою умовою є так звана 2-додатність оператора кривини, тобто додатність суми двох найменших власних значень оператора кривини.
Історія
Топологічна теорема
- Першу теорему про сферу довів 1951 року [ru]. Він показав, що однозв'язні многовиди із секційною кривиною в інтервалі [3/4, 1] гомеоморфні.
- 1960 року [ru] і [ru] довели топологічну версію теореми про сферу для чверть-защеплення.
- 1988 року Мікалеф і Мур довели топологічну версію для замкнутих многовидів із додатною комплексифікованою кривиною в ізотропних напрямках.
- Зокрема, з цього випливає топологічна теорема про сферу для додатного оператора кривини.
- Те, що замкнуті многовиди з додатним оператором кривини є раціонально-гомологічними сферами, легко випливає з формули Бохнера.
- Їх доведення використовує двовимірний аналог леми Сінга.
- Зокрема, з цього випливає топологічна теорема про сферу для додатного оператора кривини.
Гладка теорема
Класичні методи дозволяли довести гладку теорему про сферу тільки для дуже жорсткого защеплення, оптимальних защеплень вдалося досягти застосуванням потоку Річчі.
- 1982 року Річард Гамільтон довів гладку теорему про сферу в 3-вимірному випадку з додатною кривиною Річчі.
- Це було перше застосування потоку Річчі, інші доведення гладкої теореми проходили за тією ж схемою, але вимагали серйозних технічних доробок.
- 1985 року [en] використав потік Річчі для доведення гладкої теореми про сферу у всіх розмірностях.
- Запропонована ним умова на кривину була в деякому сенсі оптимальною. Зокрема, тензор кривини добутку кола на сферу лежить на межі умови на кривину.
- 2008 року [ru] і Крістоф Бем довели гладку теорему про сферу для два-додатності оператора кривини. Зокрема, гладка теорема про сферу виконується за умови додатності оператора кривини.
- 2009 року [en] і [en] довели гладку теорему про сферу з чверть-защепленням. Їхнє доведення істотно використовувало ідеї Вілкінга і Бема.
Література
- Rauch, H.E., A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math. 54 (1951), 38-55
- Klingenberg, W., Contributions to riemannian Geometry in the large, Ann. of Math. 69 (1959), 654—666.
- Berger, M., Les variétés Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161—170.
- Micallef, M., Moore, J. D., Minimal two-spheres and the topology of manifolds with positive curvature on totally isotropic two-planes. Ann. of Math. (2) 127 (1988), 199—227.
- Huisken, G., Ricci deformation on the metric on a Riemannian manifold. [en] 21 (1985), 47-62.
- B. Wilking, C. Böhm: Manifolds with positive curvature operators are space forms. Ann. of Math. (2) 167 (2008), no. 3, 1079—1097.
- Simon Brendle and Richard Schoen. Manifolds with 1/4-pinched curvature are space forms // [en] : journal. — 2009. — Vol. 22, no. 1 (26 July). — P. 287—307. — DOI: .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema pro sferu zagalna nazva teorem sho dayut dostatni umovi na rimanovu metriku yaki garantuyut gomeomorfnist abo difeomorfnist mnogovidu standartnij sferi FormulyuvannyaNehaj M displaystyle M zamknutij odnozv yaznij n vimirnij rimaniv mnogovid z deyakoyu umovoyu na krivinu div zauvazhennya todi M displaystyle M gomeomorfnij difeomorfnij n vimirnij sferi Zauvazhennya Formulyuvannya z gomeomorfizmom i difeomorfizmom mayut nazvi vidpovidno topologichna teorema pro sferu i gladka teorema pro sferu Najvidomishoyu umovoyu na krivinu ye tak zvane chvert zasheplennya krivini sho oznachaye sho sekcijna krivina v kozhnomu sekcijnomu napryamku kozhnoyi tochki lezhit v 1 4 displaystyle 1 4 Umova chvert zasheplennya ye optimalnoyu teorema perestaye vikonuvatis yaksho sekcijna krivina mozhe nabuvati znachen u zamknutomu intervali 1 4 displaystyle 1 4 Standartnij kontrpriklad kompleksnij proyektivnij prostir z kanonichnoyu metrikoyu sekcijna krivina metriki nabuvaye znachen mizh 1 i 4 vklyuchno z kincevimi tochkami Inshi kontrprikladi mozhna znajti sered simetrichnih prostoriv rangu 1 Zagalnishoyu umovoyu ye potochkove chvert zasheplennya Ce oznachaye sho sekcijna krivina dodatna i dlya kozhnoyi fiksovanoyi tochki vidnoshennya maksimumu do minimumu sekcijnih krivin po vsih sekcijnih napryamkah ne perevershuye 4 Inshoyu vidomoyu umovoyu na krivinu ye dodatnist operatora krivini Zagalnishoyu umovoyu ye tak zvana 2 dodatnist operatora krivini tobto dodatnist sumi dvoh najmenshih vlasnih znachen operatora krivini IstoriyaTopologichna teorema Pershu teoremu pro sferu doviv 1951 roku ru Vin pokazav sho odnozv yazni mnogovidi iz sekcijnoyu krivinoyu v intervali 3 4 1 gomeomorfni 1960 roku ru i ru doveli topologichnu versiyu teoremi pro sferu dlya chvert zasheplennya 1988 roku Mikalef i Mur doveli topologichnu versiyu dlya zamknutih mnogovidiv iz dodatnoyu kompleksifikovanoyu krivinoyu v izotropnih napryamkah Zokrema z cogo viplivaye topologichna teorema pro sferu dlya dodatnogo operatora krivini Te sho zamknuti mnogovidi z dodatnim operatorom krivini ye racionalno gomologichnimi sferami legko viplivaye z formuli Bohnera Yih dovedennya vikoristovuye dvovimirnij analog lemi Singa Gladka teorema Klasichni metodi dozvolyali dovesti gladku teoremu pro sferu tilki dlya duzhe zhorstkogo zasheplennya optimalnih zasheplen vdalosya dosyagti zastosuvannyam potoku Richchi 1982 roku Richard Gamilton doviv gladku teoremu pro sferu v 3 vimirnomu vipadku z dodatnoyu krivinoyu Richchi Ce bulo pershe zastosuvannya potoku Richchi inshi dovedennya gladkoyi teoremi prohodili za tiyeyu zh shemoyu ale vimagali serjoznih tehnichnih dorobok 1985 roku en vikoristav potik Richchi dlya dovedennya gladkoyi teoremi pro sferu u vsih rozmirnostyah Zaproponovana nim umova na krivinu bula v deyakomu sensi optimalnoyu Zokrema tenzor krivini dobutku kola na sferu S 1 S n 1 displaystyle mathbb S 1 times mathbb S n 1 lezhit na mezhi umovi na krivinu 2008 roku ru i Kristof Bem doveli gladku teoremu pro sferu dlya dva dodatnosti operatora krivini Zokrema gladka teorema pro sferu vikonuyetsya za umovi dodatnosti operatora krivini 2009 roku en i en doveli gladku teoremu pro sferu z chvert zasheplennyam Yihnye dovedennya istotno vikoristovuvalo ideyi Vilkinga i Bema LiteraturaRauch H E A contribution to differential geometry in the large Ann of Math 54 1951 38 55 Klingenberg W Contributions to riemannian Geometry in the large Ann of Math 69 1959 654 666 Berger M Les varietes Riemannienes 1 4 pincees Ann Scuola Norm Sup Pisa Ser III 14 1960 161 170 Micallef M Moore J D Minimal two spheres and the topology of manifolds with positive curvature on totally isotropic two planes Ann of Math 2 127 1988 199 227 Huisken G Ricci deformation on the metric on a Riemannian manifold en 21 1985 47 62 B Wilking C Bohm Manifolds with positive curvature operators are space forms Ann of Math 2 167 2008 no 3 1079 1097 Simon Brendle and Richard Schoen Manifolds with 1 4 pinched curvature are space forms en journal 2009 Vol 22 no 1 26 July P 287 307 DOI 10 1090 s0894 0347 08 00613 9