Теорема про сферу загальна назва теорем що дають достатні умови на ріманову метрику які гарантують гомеоморфність або ди

Теорема про сферу — загальна назва теорем, що дають достатні умови на ріманову метрику, які гарантують гомеоморфність або дифеоморфність многовиду стандартній сфері.

Формулювання

Нехай $M$ — замкнутий, однозв'язний, n-вимірний ріманів многовид з деякою умовою на кривину (див. зауваження), тоді $M$ гомеоморфний / дифеоморфний n-вимірній сфері.

Зауваження

Формулювання з гомеоморфізмом і дифеоморфізмом мають назви відповідно топологічна теорема про сферу і гладка теорема про сферу.

Найвідомішою умовою на кривину є так зване чверть-защеплення кривини, що означає, що секційна кривина в кожному секційному напрямку кожної точки лежить в $(1,4]$ .
- Умова чверть-защеплення є оптимальною, теорема перестає виконуватись, якщо секційна кривина може набувати значень у замкнутому інтервалі $[1,4]$ . Стандартний контрприклад — комплексний проєктивний простір з канонічною метрикою; секційна кривина метрики набуває значень між 1 і 4, включно з кінцевими точками. Інші контрприклади можна знайти серед симетричних просторів рангу 1.
- Загальнішою умовою є поточкове чверть-защеплення. Це означає, що секційна кривина додатна і для кожної фіксованої точки відношення максимуму до мінімуму секційних кривин по всіх секційних напрямках не перевершує 4.

Іншою відомою умовою на кривину є додатність оператора кривини.
- Загальнішою умовою є так звана 2-додатність оператора кривини, тобто додатність суми двох найменших власних значень оператора кривини.

Історія

Топологічна теорема

Першу теорему про сферу довів 1951 року ^[ru]. Він показав, що однозв'язні многовиди із секційною кривиною в інтервалі [3/4, 1] гомеоморфні.

1960 року ^[ru] і ^[ru] довели топологічну версію теореми про сферу для чверть-защеплення.

1988 року Мікалеф і Мур довели топологічну версію для замкнутих многовидів із додатною комплексифікованою кривиною в ізотропних напрямках.
- Зокрема, з цього випливає топологічна теорема про сферу для додатного оператора кривини.
  - Те, що замкнуті многовиди з додатним оператором кривини є раціонально-гомологічними сферами, легко випливає з формули Бохнера.
- Їх доведення використовує двовимірний аналог леми Сінга.

Гладка теорема

Класичні методи дозволяли довести гладку теорему про сферу тільки для дуже жорсткого защеплення, оптимальних защеплень вдалося досягти застосуванням потоку Річчі.

1982 року Річард Гамільтон довів гладку теорему про сферу в 3-вимірному випадку з додатною кривиною Річчі.
- Це було перше застосування потоку Річчі, інші доведення гладкої теореми проходили за тією ж схемою, але вимагали серйозних технічних доробок.

1985 року ^[en] використав потік Річчі для доведення гладкої теореми про сферу у всіх розмірностях.
- Запропонована ним умова на кривину була в деякому сенсі оптимальною. Зокрема, тензор кривини добутку кола на сферу $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{n-1}$ лежить на межі умови на кривину.

2008 року ^[ru] і Крістоф Бем довели гладку теорему про сферу для два-додатності оператора кривини. Зокрема, гладка теорема про сферу виконується за умови додатності оператора кривини.

2009 року ^[en] і ^[en] довели гладку теорему про сферу з чверть-защепленням. Їхнє доведення істотно використовувало ідеї Вілкінга і Бема.

Література

Rauch, H.E., A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math. 54 (1951), 38-55
Klingenberg, W., Contributions to riemannian Geometry in the large, Ann. of Math. 69 (1959), 654—666.
Berger, M., Les variétés Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161—170.
Micallef, M., Moore, J. D., Minimal two-spheres and the topology of manifolds with positive curvature on totally isotropic two-planes. Ann. of Math. (2) 127 (1988), 199—227.
Huisken, G., Ricci deformation on the metric on a Riemannian manifold. ^[en] 21 (1985), 47-62.
B. Wilking, C. Böhm: Manifolds with positive curvature operators are space forms. Ann. of Math. (2) 167 (2008), no. 3, 1079—1097.
Simon Brendle and Richard Schoen. Manifolds with 1/4-pinched curvature are space forms // ^[en] : journal. — 2009. — Vol. 22, no. 1 (26 July). — P. 287—307. — DOI:10.1090/s0894-0347-08-00613-9.