Потік Річчі — система диференціальних рівнянь, що описує деформацію ріманової метрики на многовиді.
Ця система є нелінійним аналогом рівняння теплопровідності.
Названий за аналогією з кривиною Річчі, на честь італійського математика Річчі-Курбастро.
Рівняння
Рівняння потоку Річчі має вигляд:
де позначає однопараметричне сімейство ріманових метрик на повному многовиді (залежить від дійсного параметра ), і — її тензор Річчі.
Властивості
- Формально кажучи, система рівнянь , що задається потоком Річчі, не є параболічним рівнянням. Проте, існує параболічна система рівнянь , запропонована [ru], така, що якщо ріманова метрика на компактному многовиді і , — розв'язок систем і , то ізометричне для всіх .
- Ця конструкція суттєво спростила доведення існування розв'язку, вона називається «трюком Детурка».
- Аналогічно рівнянню теплопровідності (та іншим параболічним рівнянням, задавши довільні початкові умови , можна отримати розв'язок лише в один бік , а саме .
- На відміну від розв'язків рівняння теплопровідності, потік Річчі, як правило, не продовжується необмежено при . Розв'язок продовжується на максимальний інтервал . У разі якщо скінченне, за наближення до кривина многовиду прямує до нескінченності, і в розв'язку формується сингулярність. Саме на дослідженні сингулярностей, в які впираються потоки Річчі, й ґрунтується доведення гіпотези Терстона.
- — якщо деякий окіл точки в початковий момент виглядає майже як ділянка евклідового простору, то ця властивість збережеться певний час у потоці Річчі в меншому околі.
Зміна геометричних характеристик
- Для об'єму метрики істинне співвідношення
- Для скалярної кривини метрики істинне співвідношення
- де визначається як для ортонормованого репера в точці.
- Зокрема, згідно з принципом максимуму потік Річчі зберігає додатність скалярної кривини.
- Більш того, нижня грань скалярної кривини не спадає.
- Для кожного -ортонормованого репера в точці існує так званий супутній -ортонормований репер . Для тензора кривини , записаного в цьому базисі, істинне співвідношення
- де — певна білінійна квадратична форма на просторі тензорів кривини й зі значеннями в них.
- Білінійна квадратична форма визначає векторне поле на векторному просторі тензорів кривини — кожному тензору кривини приписується інший тензор кривини . Розв'язки ЗДР
- відіграють важливу роль у теорії потоків Річчі.
- Опуклі множини в просторі тензорів кривини, інваріантні відносно поворотів і такі, що, якщо в наведеному ЗДР , то за , називаються інваріантними для потоку Річчі. Якщо кривина ріманової метрики на замкнутому многовиді в кожній точці належить такому , то це істинне і для метрик, одержуваних з неї потоком Річчі. Міркування такого роду називаються «принципом максимуму» для потоку Річчі.
- До інваріантних множин належать:
- тензори кривини з додатною скалярною кривиною
- тензори кривини з додатним оператором кривини
- у тривимірному випадку, тензори кривини з додатною кривиною Річчі
Розмірність 3
У випадку, коли розмірність простору дорівнює 3, для кожного і можна підібрати репер , в якому діагоналізується в базисі , , , скажімо,
Тоді
Історія
Початок дослідженню потоку Річчі поклав Гамільтон на початку 1980-х. За допомогою потоків Річчі доведено декілька гладких теорем про сферу.
Використовуючи потоки Річчі в своїх статтях, опублікованих протягом 2002—2003 років, Перельману вдалося довести гіпотезу Терстона, провівши тим самим повну класифікацію компактних тривимірних многовидів, і довести гіпотезу Пуанкаре.
Примітки
- Див. статті Григорія Перельмана в списку літератури.
- http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf «This conjecture was formulated by Henri Poincaré [58] in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman. … Perelman's arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics.».
Література
- Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982.
- Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
- Perelman, Grisha (11 листопада 2002). The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math.DG/0211159.
{{}}
: Проігноровано|class=
() - Perelman, Grisha (10 березня 2003). Ricci flow with surgery on three-manifolds. arXiv:math.DG/0303109.
{{}}
: Проігноровано|class=
() - Perelman, Grisha (17 липня 2003). Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. arXiv:math.DG/0307245.
{{}}
: Проігноровано|class=
() - Bruce Kleiner, John Lott: Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers (PDF; 1,5 MB), 2008.
- J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.
- Chow, Bennett, Peng Lu, and Lei Ni. Hamilton's Ricci flow. — American Mathematical Soc, 2006.
В іншому мовному розділі є повніша стаття Ricci flow(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської.
|
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Potik Richchi sistema diferencialnih rivnyan sho opisuye deformaciyu rimanovoyi metriki na mnogovidi Cya sistema ye nelinijnim analogom rivnyannya teploprovidnosti Vizualizaciya potoku Richchi na dvovimirnij poverhni obertannya Nazvanij za analogiyeyu z krivinoyu Richchi na chest italijskogo matematika Richchi Kurbastro RivnyannyaRivnyannya potoku Richchi maye viglyad tgt 2 Rct displaystyle partial t g t 2 cdot mathrm Rc t de gt displaystyle g t poznachaye odnoparametrichne simejstvo rimanovih metrik na povnomu mnogovidi zalezhit vid dijsnogo parametra t displaystyle t i Rct displaystyle mathrm Rc t yiyi tenzor Richchi VlastivostiFormalno kazhuchi sistema rivnyan R displaystyle R sho zadayetsya potokom Richchi ne ye parabolichnim rivnyannyam Prote isnuye parabolichna sistema rivnyan R displaystyle R zaproponovana ru taka sho yaksho g0 displaystyle g 0 rimanova metrika na kompaktnomu mnogovidi M displaystyle M i gt displaystyle g t gt displaystyle g t rozv yazok sistem R displaystyle R i R displaystyle R to M gt displaystyle M g t izometrichne M gt displaystyle M g t dlya vsih t displaystyle t Cya konstrukciya suttyevo sprostila dovedennya isnuvannya rozv yazku vona nazivayetsya tryukom Deturka Analogichno rivnyannyu teploprovidnosti ta inshim parabolichnim rivnyannyam zadavshi dovilni pochatkovi umovi t 0 displaystyle t 0 mozhna otrimati rozv yazok lishe v odin bik t displaystyle t a same t 0 displaystyle t geqslant 0 Na vidminu vid rozv yazkiv rivnyannya teploprovidnosti potik Richchi yak pravilo ne prodovzhuyetsya neobmezheno pri t displaystyle t to infty Rozv yazok prodovzhuyetsya na maksimalnij interval 0 T displaystyle 0 T U razi yaksho T displaystyle T skinchenne za nablizhennya do T displaystyle T krivina mnogovidu pryamuye do neskinchennosti i v rozv yazku formuyetsya singulyarnist Same na doslidzhenni singulyarnostej v yaki vpirayutsya potoki Richchi j gruntuyetsya dovedennya gipotezi Terstona yaksho deyakij okil tochki v pochatkovij moment viglyadaye majzhe yak dilyanka evklidovogo prostoru to cya vlastivist zberezhetsya pevnij chas u potoci Richchi v menshomu okoli Zmina geometrichnih harakteristik Dlya ob yemu volt displaystyle mathrm vol t metriki gt displaystyle g t istinne spivvidnoshennya t dvolt Rt dvolt displaystyle tfrac partial partial t mathrm d mathrm vol t mathrm R t cdot mathrm d mathrm vol t Dlya skalyarnoyi krivini Rt displaystyle mathrm R t metriki gt displaystyle g t istinne spivvidnoshennya tRt tRt Rct 2 displaystyle tfrac partial partial t mathrm R t triangle t mathrm R t mathrm Rc t 2 de Rct 2 displaystyle mathrm Rc t 2 viznachayetsya yak i j Rc ei ej 2 displaystyle sum i j mathrm Rc e i e j 2 dlya ortonormovanogo repera ei displaystyle e i v tochci Zokrema zgidno z principom maksimumu potik Richchi zberigaye dodatnist skalyarnoyi krivini Bilsh togo nizhnya gran skalyarnoyi krivini ne spadaye Dlya kozhnogo g0 displaystyle g 0 ortonormovanogo repera ei displaystyle e i v tochci x M displaystyle x in M isnuye tak zvanij suputnij gt displaystyle g t ortonormovanij reper eti displaystyle e t i Dlya tenzora krivini Rmt displaystyle mathrm Rm t zapisanogo v comu bazisi istinne spivvidnoshennya tRmt tRmt Q Rmt Rmt displaystyle tfrac partial partial t mathrm Rm t triangle t mathrm Rm t Q mathrm Rm t mathrm Rm t de Q displaystyle Q pevna bilinijna kvadratichna forma na prostori tenzoriv krivini j zi znachennyami v nih Bilinijna kvadratichna forma Q displaystyle Q viznachaye vektorne pole na vektornomu prostori tenzoriv krivini kozhnomu tenzoru krivini x displaystyle x pripisuyetsya inshij tenzor krivini vx Q x x displaystyle v x Q x x Rozv yazki ZDRx vx displaystyle dot x v x dd vidigrayut vazhlivu rol u teoriyi potokiv Richchi Opukli mnozhini K displaystyle K v prostori tenzoriv krivini invariantni vidnosno povorotiv i taki sho yaksho v navedenomu ZDR x 0 K displaystyle x 0 in K to x t K displaystyle x t in K za t 0 displaystyle t geq 0 nazivayutsya invariantnimi dlya potoku Richchi Yaksho krivina rimanovoyi metriki na zamknutomu mnogovidi v kozhnij tochci nalezhit takomu K displaystyle K to ce istinne i dlya metrik oderzhuvanih z neyi potokom Richchi Mirkuvannya takogo rodu nazivayutsya principom maksimumu dlya potoku Richchi Do invariantnih mnozhin nalezhat tenzori krivini z dodatnoyu skalyarnoyu krivinoyu tenzori krivini z dodatnim operatorom krivini u trivimirnomu vipadku tenzori krivini z dodatnoyu krivinoyu Richchi dd dd dd Rozmirnist 3 U vipadku koli rozmirnist prostoru dorivnyuye 3 dlya kozhnogo x displaystyle x i t displaystyle t mozhna pidibrati reper eti displaystyle e t i v yakomu Rmt displaystyle mathrm Rm t diagonalizuyetsya v bazisi e1 e2 displaystyle e 1 wedge e 2 e2 e3 displaystyle e 2 wedge e 3 e3 e1 displaystyle e 3 wedge e 1 skazhimo Rm l000m000n displaystyle mathrm Rm begin pmatrix lambda amp 0 amp 0 0 amp mu amp 0 0 amp 0 amp nu end pmatrix Todi Q Rm Rm l2 m n000m2 n l000n2 l m displaystyle Q mathrm Rm mathrm Rm begin pmatrix lambda 2 mu cdot nu amp 0 amp 0 0 amp mu 2 nu cdot lambda amp 0 0 amp 0 amp nu 2 lambda cdot mu end pmatrix IstoriyaPochatok doslidzhennyu potoku Richchi poklav Gamilton na pochatku 1980 h Za dopomogoyu potokiv Richchi dovedeno dekilka gladkih teorem pro sferu Vikoristovuyuchi potoki Richchi v svoyih stattyah opublikovanih protyagom 2002 2003 rokiv Perelmanu vdalosya dovesti gipotezu Terstona provivshi tim samim povnu klasifikaciyu kompaktnih trivimirnih mnogovidiv i dovesti gipotezu Puankare PrimitkiDiv statti Grigoriya Perelmana v spisku literaturi http arxiv org pdf math 0607607 pdf This conjecture was formulated by Henri Poincare 58 in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman Perelman s arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics LiteraturaHamilton R S Three Manifolds with Positive Ricci Curvature J Diff Geom 17 255 306 1982 Hamilton R S Four Manifolds with Positive Curvature Operator J Diff Geom 24 153 179 1986 Perelman Grisha 11 listopada 2002 The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications arXiv math DG 0211159 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite arXiv title Shablon Cite arXiv cite arXiv a Proignorovano class dovidka Perelman Grisha 10 bereznya 2003 Ricci flow with surgery on three manifolds arXiv math DG 0303109 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite arXiv title Shablon Cite arXiv cite arXiv a Proignorovano class dovidka Perelman Grisha 17 lipnya 2003 Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three manifolds arXiv math DG 0307245 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite arXiv title Shablon Cite arXiv cite arXiv a Proignorovano class dovidka Bruce Kleiner John Lott Notes and commentary on Perelman s Ricci flow papers PDF 1 5 MB 2008 J Rubinstein R Sinclair Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution PDF 2 7 MB 2004 Chow Bennett Peng Lu and Lei Ni Hamilton s Ricci flow American Mathematical Soc 2006 V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Ricci flow angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad