Кривина ріманових многовидів

Кривина ріманових многовидів чисельно характеризує відмінність ріманової метрики многовиду від евклідової в даній точці. У разі поверхні кривина в точці повністю описується гаусовою кривиною. У розмірностях 3 і вище кривина не може бути повністю охарактеризована одним числом в заданій точці, замість цього вона означається як тензор.

Зліва направо: поверхні негативної, нульової і позитивної гаусової кривини.

Тензор кривини

Докладніше: Тензор кривини

Кривина ріманого многовиду може бути описана різними способами. Найбільш стандартним є тензор кривини, заданий через зв'язність Леві-Чивіти (або коваріантне диференціювання) ${\displaystyle \nabla }$ і дужку Лі ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ за такою формулою:

${\displaystyle R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,\;v]}w.}$

Тензор кривини ${\displaystyle R(u,\;v)}$ є лінійним перетворенням дотичного простору до многовиду в обраній точці.

Якщо ${\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}}$ и ${\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}}$, тобто вони є координатними векторами, то ${\displaystyle [u,\;v]=0}$, і тому формула спрощується:

${\displaystyle R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w,}$

тобто тензор кривини вимірює некомутативність коваріантних похідних за векторах.

Лінійне перетворення ${\displaystyle w\mapsto R(u,\;v)w}$ також називають перетворенням кривини.

Посилання

• (рос.)Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии / пер. с англ. Л. В. Сабинина. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. — Т. 1. — 344 с. ^[]