Тотожність Бохнера

Тотожність Бохнера — загальна назва сімейства тотожностей у рімановій геометрії, що пов'язують лапласіани різних типів і кривину. Тотожності, одержувані інтегруванням тотожності Бохнера, іноді називають тотожностями Рейлі.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle S}$ — над рімановим многовидом ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle D}$ — відповідний оператор Дірака, і тоді

${\displaystyle D^{2}\phi =\nabla ^{*}\nabla \phi +{\mathfrak {R}}(\phi )}$

для будь-якого перерізу ${\displaystyle \phi \colon M\to S}$.

Позначення

Далі ${\displaystyle e_{i}}$ позначає ортонормований репер у точці.

• ${\displaystyle \nabla }$ позначає зв'язність на ${\displaystyle S}$, і

  ${\displaystyle \nabla ^{*}\nabla \phi =-\sum _{i}\nabla _{e_{i}}\nabla _{e_{i}}\phi ,}$

так званий лапласіан за зв'язністю.

• ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ — переріз ${\displaystyle \mathrm {Hom} (S,S)}$, що визначається як

  ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}\cdot \sum _{i,j}e_{i}.e_{j}.R_{e_{i},e_{k}}\phi ,}$

де «${\displaystyle .}$» позначає множення Кліфорда, і

${\displaystyle R_{X,Y}=\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}}$

 — перетворення кривини.

• ${\displaystyle D}$ — оператор Дірака на ${\displaystyle S}$, тобто

  ${\displaystyle D\phi =\sum _{i}e_{i}.\nabla _{e_{i}}\phi .}$

і ${\displaystyle D^{2}\phi =\Delta \phi }$ лапласіан Ходжа на диференціальних формах

Наслідки

• З тотожності Бохнера для градієнта функції ${\displaystyle u}$ отримуємо таку інтегральну формулу для будь-якого замкнутого многовиду

  ${\displaystyle \int \limits _{M}|\Delta u|^{2}-\int \limits _{M}|\mathrm {Hess} \,u|^{2}=\int \limits _{M}{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)}$,

де ${\displaystyle \mathrm {Hess} \,u}$ позначає гесіан ${\displaystyle u}$.

• Якщо ${\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$ — гармонічна функція, то

  ${\displaystyle \Delta ({\tfrac {1}{2}}\cdot |\nabla u|^{2})=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)}$,

де ${\displaystyle \nabla u}$ позначає градієнт ${\displaystyle u}$. Зокрема:

• Компактні многовиди з додатною кривиною Річчі не допускають ненульових гармонічних функцій.
• Якщо ${\displaystyle u}$ — гармонічна функція на многовиді з додатною кривиною Річчі, то функція ${\displaystyle |\nabla u|}$ субгармонічна.

• З формули Бохнера випливає, що на компактних многовидах з додатним оператором кривини відсутні гармонічні форми будь-якого степеня, тобто воно є раціонально гомологічною сферою.
  • Іншим методом, а саме потоком Річчі, вдалося довести що будь-який з таких многовидів дифеоморфний фактору сфери за скінченною групою.

Примітки

1. B. Wilking, C. Böhm. Manifolds with positive curvature operators are space forms // Ann. of Math. (2). — 2008. — Vol. 167, no. 3 (18 July). — P. 1079–1097.

Література

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.