В рімановій геометрії, секційна кривина є однією із кривин ріманового многовиду. Секційна кривина K(σp) залежить від вибору двовимірної площині σp в дотичному просторі в точці p. У двовимірному рімановому многовиді секційна кривина збігається з (гаусовою кривиною).
Секційна кривина повністю визначається тензором кривини.
Визначення
Для ріманового многовиду та двох лінійно незалежних дотичних векторів X і Y в точці p ()
Тут R — тензор кривини Рімана. В локальних координатах
де бівектор .
Секційна кривина залежить від вибору двовимірної площини, але не залежить від векторів X і Y, які визначають цю площину.
Зокрема, якщо X і Y ортонормовані, то
Теорема Топоногова про порівняння кутів
Нехай в повному рімановому многовиді M всі секційні кривини . Тоді для будь-якого геодезичного трикутника в M знайдеться на -площині такий геодезичний трикутник з тими ж довжинами сторін, що і у трикутника , у якого кожний з кутів не буде перевищувати відповідного йому кута трикутника .
Під -площиною мається на увазі двовимірний многовид сталої кривини — площина Лобачевського, сфера або евклідова площина.
Примітки
- Борисенко, 213.
- Топоногов В.А., Римановы пространства кривизны, ограниченной снизу, Успехи математических наук. 1959. Том 54, №1, с. 87-130
Джерела
- Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — С. 41-46. — . Архівовано з джерела 23 січня 2022
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V rimanovij geometriyi sekcijna krivina ye odniyeyu iz krivin rimanovogo mnogovidu Sekcijna krivina K sp zalezhit vid viboru dvovimirnoyi ploshini sp v dotichnomu prostori v tochci p U dvovimirnomu rimanovomu mnogovidi sekcijna krivina zbigayetsya z gausovoyu krivinoyu Sekcijna krivina povnistyu viznachayetsya tenzorom krivini ViznachennyaDlya rimanovogo mnogovidu ta dvoh linijno nezalezhnih dotichnih vektoriv X i Y v tochci p X Y T p M displaystyle X Y in T p M K X Y R X Y Y X X X Y Y X Y 2 displaystyle K X Y langle R X Y Y X rangle over langle X X rangle langle Y Y rangle langle X Y rangle 2 Tut R tenzor krivini Rimana V lokalnih koordinatah K X Y R i j k l T i j T k l g i k g j l g i l g j k T i j T k l displaystyle K X Y R ijkl T ij T kl over g ik g jl g il g jk T ij T kl de bivektor T n m X n Y m Y n X m displaystyle T nm X n Y m Y n X m Sekcijna krivina zalezhit vid viboru dvovimirnoyi ploshini ale ne zalezhit vid vektoriv X i Y yaki viznachayut cyu ploshinu Zokrema yaksho X i Y ortonormovani to K X Y R X Y Y X displaystyle K X Y langle R X Y Y X rangle Teorema Toponogova pro porivnyannya kutivNehaj v povnomu rimanovomu mnogovidi M vsi sekcijni krivini K s k c o n s t displaystyle K sigma geqslant k const Todi dlya bud yakogo geodezichnogo trikutnika displaystyle triangle v M znajdetsya na k displaystyle k ploshini takij geodezichnij trikutnik k displaystyle triangle k z timi zh dovzhinami storin sho i u trikutnika displaystyle triangle u yakogo kozhnij z kutiv ne bude perevishuvati vidpovidnogo jomu kuta trikutnika displaystyle triangle Pid k displaystyle k ploshinoyu mayetsya na uvazi dvovimirnij mnogovid staloyi krivini k displaystyle k ploshina Lobachevskogo sfera abo evklidova ploshina PrimitkiBorisenko 213 Toponogov V A Rimanovy prostranstva krivizny ogranichennoj snizu Uspehi matematicheskih nauk 1959 Tom 54 1 s 87 130DzherelaBorisenko O A Diferencialna geometriya i topologiya Navch posibnik dlya stud Harkiv Osnova 1995 S 41 46 ISBN 5 7768 0388 8 Arhivovano z dzherela 23 sichnya 2022