Лема Сінга

Лема Сінга - ключове твердження про стабільність замкнутих геодезичних у ріманових многовидах із додатною секційною кривиною.

Лема є прямим наслідком формули для другої варіації довжин однопараметричного сімейства кривих.

Її використовував Джоном Сінгом.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle \gamma \colon [0;1]\to M}$ - геодезична в рімановому многовиді ${\displaystyle M}$ з додатною секційною кривиною і ${\displaystyle V}$ - паралельне поле дотичних векторів на ${\displaystyle \gamma }$. Тоді варіація ${\displaystyle \gamma }$ в напрямку ${\displaystyle V}$ скорочує її довжину.

Точніше, якщо

${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\exp _{\gamma (t)}(\tau \cdot V(t))}$

і ${\displaystyle L(\tau )}$ позначає довжину кривої ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ тоді ${\displaystyle L'(0)=0}$ і ${\displaystyle L''(0)<0}$.

Наслідки

• Якщо замкнута геодезична, яка допускає паралельне векторне поле, не є стабільною, тобто її довжину можна зменшити довільно малою деформацією.^[] Зокрема,
  • Парновимірні орієнтовані ріманові многовиди з додатною секційною кривиною однозв'язні.
  • Непарновимірні ріманові многовиди з додатною секційною кривиною орієнтовані.
• Лему Сінга використовував також ^[en] для доведення того, що, якщо ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle W}$ є замкнутими геодезичними підмноговидами в рімановому мнгоговиді ${\displaystyle M}$ з додатною секційною кривиною і ${\displaystyle \dim V+\dim W\geq \dim M}$, то ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle W}$ перетинаються.

Примітки

1. Synge, John Lighton (1936), On the connectivity of spaces of positive curvature, Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series), 7: 316—320, doi:10.1093/qmath/os-7.1.316
2. Frankel, Theodore. Manifolds with positive curvature // Pacific J. Math.. — 1961. — Vol. 11 (18 July). — P. 165–174. з джерела 18 серпня 2020. Процитовано 19 липня 2021.