Симпліційна множина

Симпліційна множина — теоретико-категорна конструкція, яка узагальнює поняття симпліційного комплексу і в певному сенсі моделює поняття топологічного простору з «хорошими» властивостями: для симпліційних множин еквівалентна класичній теорії гомотопій для топологічних просторів. При тому, що симпліційна множина є чисто алгебраїчною конструкцією, забезпечується практично повний паралелізм з геометричними об'єктами; в зв'язку з цим вважається одним з найважливіших об'єктів в алгебричній топології як з методологічної точки зору, так і з інструментальної .

З точки зору теорії категорій симпліційна множина є симпліційним об'єктом у категорії множин, або, еквівалентно, як симпліційної категорії в категорію множин.

Означення та структура

Симпліційною множиною ${\displaystyle X}$ називається контраваріантний функтор з симпліційної категорії в категорію множин: ${\displaystyle \Delta ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$.

Оскільки кожен морфізм симпліційної категорії породжується морфізмами ${\displaystyle \delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]}$ і ${\displaystyle \sigma _{i}^{n}:[n+1]\to [n]}$ (${\displaystyle 0\leq i\leq n}$), заданими як:

${\displaystyle \delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geq i\end{cases}}}$,

${\displaystyle \sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leq i\\j-1,&j>i\end{cases}}}$,

то симпліційну множина можна задати як систему ${\displaystyle n}$-шарів ${\displaystyle X_{n}}$, пов'язаних відповідними (двоїстими до ${\displaystyle \delta }$ і ${\displaystyle \sigma }$) відображеннями ${\displaystyle d_{i}^{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ і ${\displaystyle s_{i}^{n}:X_{n}\to X_{n+1}}$, що задовольняють співвідношення:

${\displaystyle d_{i}^{n}d_{j}^{n+1}=d_{j-1}^{n}d_{i}^{n+1}}$, якщо ${\displaystyle i<j}$,

${\displaystyle s_{i}^{n}s_{j}^{n-1}=s_{j+1}^{n}s_{i}^{n-1}}$, якщо ${\displaystyle i\leq j}$,

${\displaystyle d_{i}^{n+1}s_{j}^{n}={\begin{cases}s_{j-1}^{n-1}d_{i}^{n},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{X_{n}},&(i=j)\,\vee \,(i=j+1)\\s_{j}^{n-1}d_{i-1}^{n},&i>j+1\end{cases}}}$.

Точки шару ${\displaystyle X_{n}}$ називаються ${\displaystyle n}$-мірним симплексами, до того ж точки шару ${\displaystyle X_{0}}$ — вершинами, а шару ${\displaystyle X_{1}}$ — ребрами. Морфізми ${\displaystyle d_{i}^{n}}$ називаються операторами граней, а морфізми ${\displaystyle s_{j}^{n}}$ — операторами виродження.

Симпліційне відображення — (функторний) морфізм між симпліційного множинами ${\displaystyle f:X\to X'}$симпліційного відображення також може бути розглянуто як сукупність відображень ${\displaystyle f_{n}:X_{n}\to X_{n}'}$, для яких виконуються умови:

${\displaystyle d_{i}^{n}f_{n}=f_{n-1}d_{i}^{n}}$ (${\displaystyle 0\leq i\leq n}$),

${\displaystyle s_{i}^{n}f_{n}=f_{n+1}s_{i}^{n}}$ (${\displaystyle 0\leq i\leq n}$).

Симпліційна множина ${\displaystyle X}$ називається симпліційною підмножиною ${\displaystyle X'}$, якщо всі шари ${\displaystyle f_{n}:X_{n}\to X_{n}'}$ симпліційного відображення ${\displaystyle f:X\to X'}$ є ін'єктивними відображеннями; в цьому випадку оператори граней і оператори виродження в ${\displaystyle X}$ є відповідних операторів для ${\displaystyle X'}$.

Симпліційною фактор-множиною називається симпліційна множина, що отримується пошаровою факторизацією симпліційної множини, тобто, ${\displaystyle X/\sigma }$ - набір шарів ${\displaystyle X_{n}/\sigma }$, до того ж оператори граней і виродження шарів-фактор-множини індукуються відповідними операторами множини ${\displaystyle X}$.

Симпліційні множини з усіма симпліційними відображеннями між ними утворюють категорію ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\Delta ^{\mathrm {op} }}}$ .

Симплекс ${\displaystyle x\in X_{n}}$ називається виродженим, якщо існує такий симплекс ${\displaystyle y\in X_{n-1}}$ і такий оператор виродження ${\displaystyle s_{i}}$, що ${\displaystyle x=s_{i}y}$.

Згідно леми Ейленберга — Зільбера будь-який симплекс ${\displaystyle x\in X_{n}}$в єдиний спосіб можна записати у виді ${\displaystyle x=s_{i_{k}}\ldots s_{i_{1}}y}$, де ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}}$, а ${\displaystyle y\in X_{n-k}}$ — невироджених симплекс.

Найменша симпліційна підмножина у ${\displaystyle X}$, що містить всі його невироджені симплекси розмірності, меншої або рівної n, називається n-кістяком ${\displaystyle X}$.

Приклади

• Для будь-якого топологічного простору X можна ввести симпліційну множину S(X), що називається сингулярною симпліційною множиною простору X. Симплексами цієї множини є сингулярні симплекси простору X, тобто образи неперервного відображення стандартних симплексів ${\displaystyle \sigma _{n}:\Delta ^{n}\to X}$. Оператори граней ${\displaystyle d_{i}}$ і виродження ${\displaystyle s_{i}}$ цієї симпліційної множини задаються формулами

${\displaystyle d_{i}\sigma ^{n}(t_{0},\ldots ,t_{n-1})=\sigma ^{n}(t_{0},\ldots ,t_{i-1},0,t_{i}\ldots ,t_{n-1})}$,

${\displaystyle s_{i}\sigma ^{n}(t_{0},\ldots ,t_{n+1})=\sigma ^{n}(t_{0},\ldots ,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},t_{i+2}\ldots ,t_{n+1})}$.

Відповідність ${\displaystyle X\to S(X)}$ є функтором з категорії топологічних просторів Тор в категорію симпліційних множин ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\Delta ^{\mathrm {op} }}}$.

• Довільний абстрактний симпліційний комплекс K визначає симпліційну множину O(K), у якій симплексами розмірності n є (n + 1) — елементні послідовності ${\displaystyle (x_{0},...,x_{n})}$ вершин комплексу K, з властивістю, що в K існує такий симплекс s, що ${\displaystyle x_{i}\in s}$ для всіх елементів послідовності. Оператори граней ${\displaystyle d_{i}}$ і виродження ${\displaystyle s_{i}}$ цієї симпліційної множини задаються формулами

${\displaystyle d_{i}(x_{0},...,x_{n})=(x_{0},...,{\hat {x_{i}}},...,x_{n})}$,

${\displaystyle s_{i}(x_{0},...,x_{n})=(x_{0},...,x_{i},x_{i},x_{i+1},...,x_{n})}$.

де ${\displaystyle {\hat {\cdot }}}$ позначає, що відповідний елемент вилучається з послідовності.

Відповідність ${\displaystyle X\to O(X)}$ є функтором з категорії абстрактних симпліційних комплексів у категорію симпліційних множин ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\Delta ^{\mathrm {op} }}}$.

• Для довільної групи ${\displaystyle \pi }$ можна ввести симпліційну множину ${\displaystyle K(\pi )}$, для якої симплексами розмірності ${\displaystyle n}$ є класи пропорційних (n + 1)-елементний послідовностей (за означенням ${\displaystyle (x_{0},...,x_{n})~(y_{0},...,y_{n})}$, якщо існує такий елемент ${\displaystyle a\in \pi }$, що ${\displaystyle ax_{i}=y_{i}}$ для всіх ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$). Оператори граней ${\displaystyle d_{i}}$ і виродження ${\displaystyle s_{i}}$ цієї симпліційної множини задаються формулами

${\displaystyle d_{i}(x_{0}:...:x_{n})=(x_{0}:...:x_{i-1}:x_{i+1}:...:x_{n})}$,

${\displaystyle s_{i}(x_{0}:...:x_{n})=(x_{0}:...:x_{i}:x_{i}:x_{i+1}:...:x_{n})}$.

${\displaystyle K(\pi )}$ є прикладом симпліційної групи.

• Нехай дана категорія ${\displaystyle \Delta }$ лінійно впорядкованих множин ${\displaystyle [n]=\{0,1,2,...,n\},\,\,n\geq 0,}$ та незменшуваних відображень, ${\displaystyle \Delta _{+}}$ - підкатегорія категорії ${\displaystyle \Delta }$, яка складається лише із зростаючих відображен, причому об'єкти ${\displaystyle \Delta _{+}=\mathrm {Ob} \Delta .}$ Розгляньмо ${\displaystyle \forall n>0\,\,\And \,\,\forall 0\leq i\leq n}$ зростаюче відображення ${\displaystyle \delta _{n}^{i}:[n-1]\to [n]}$, образи яких не містять ${\displaystyle i\in [n].}$ Для функтора ${\displaystyle F:\Delta \rightarrow \mathrm {Ab} }$ визначений комплекс абелевих груп ${\displaystyle C^{n}=F([n])}$ й диференціалів ${\displaystyle d^{n}=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}F(\delta _{n+1}^{i})}$ за ${\displaystyle n\geq 0}$ та ${\displaystyle C^{n}=0}$ за ${\displaystyle n<0.}$ При цьому ${\displaystyle n}$-ні когомології ${\displaystyle \forall n\geq 0}$ є ізоморфними границі ${\displaystyle \lim {}_{\Delta }^{n}F}$. Морфізм ${\displaystyle \delta _{n}^{i}}$ за ${\displaystyle n>0\,\And \,0\leq i\leq n}$ переводиться імерсією Йонеди ${\displaystyle \Delta _{+}^{op}\rightarrow \Delta _{+}\mathrm {ens} }$ у натуральне перетворення

${\displaystyle \Delta _{+}(\delta _{n}^{i},\,-):\Delta _{+}([n],\,-)\rightarrow \Delta _{+}([n-1],\,-),}$

компоненти якого ${\displaystyle [m]\in \mathrm {Ob} \,\Delta _{+}}$діють по формулі ${\displaystyle \Delta _{+}(\delta _{n}^{i},\,\mathrm {Id} _{[m]})(f)=f\circ \delta _{n}^{i}.}$

Властивості

Категорія симпліційних множин допускає індуктивні і проективні границі, що обчислюються на кожному шарі. Зокрема, для будь-яких симпліційних множин ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle X'}$ визначені прямий добуток ${\displaystyle X\times X'}$ і пряма сума ${\displaystyle X\oplus X'}$, до того ж для всіх шарів:

${\displaystyle (X\times X')_{n}=X_{n}\times X'_{n}}$,

${\displaystyle (X\oplus X')_{n}=X_{n}\oplus X'_{n}}$.

Косимпліційна множина

Також використовується двоїсте поняття косимпліційної множини — коваріантного функтора з симпліційної категорії в категорію множин: ${\displaystyle \Delta \to \mathbf {Set} }$. Косимпліційні множини мають аналогічну пошарову структуру з операторами граней і виродження (двоїстих до відповідних операторів симпліційних множин) і утворюють категорію ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\Delta }}$.

Геометричне представлення

(Стандартні симплекси) ${\displaystyle \Delta ^{n}=\{(t_{0},\dots t_{n})\mid {(\sum _{i}t_{i}=1)}\wedge {(\forall i\;t_{i}\geqslant 0)}\}}$із стандартною топологією евклідового підпростору утворюють косимпліційний топологічний простір щодо операторів кограней ${\displaystyle \delta _{i}}$ і ковирождення ${\displaystyle \sigma _{i}}$, заданих формулами

${\displaystyle \delta _{i}(t_{0},\ldots ,t_{n-1})=(t_{0},\ldots ,t_{i-1},0,t_{i}\ldots ,t_{n-1})}$,

${\displaystyle \sigma _{i}(t_{0},\ldots ,t_{n+1})=^{n}(t_{0},\ldots ,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},t_{i+2}\ldots ,t_{n+1})}$.

Нехай на шарах ${\displaystyle X_{n}}$ симпліційної множини ${\displaystyle X}$введено дискретну топологію.

Розглянемо топологічний простір ${\displaystyle |X|=\left(\bigsqcup _{i=0}^{\infty }X_{i}\times \Delta ^{i}\right)/(\sim )}$, що є фактор-простором диз'юнктного об'єднання добутків вказаних топологічних просторів по відношенню еквівалентності породженому еквівалентностями:

${\displaystyle (d_{i}x,p)\sim (x,\delta _{i}p),\quad x\in X_{n},\,p\in \Delta ^{n-1}}$,

${\displaystyle (s_{i}x,p)\sim (x,\sigma _{i}p),\quad x\in X_{n},\,p\in \Delta ^{n+1}}$.

Для простору |X| існує клітинне розбиття, клітини якого знаходяться в бієктивній відповідності з невиродженими симплексами симпліційної множини X. Простір |X| із цим розбиттям називається геометричним представленням симпліційної множини X.

Симпліційне відображення ${\displaystyle f:X\to X'}$визначає неперервне відображення ${\displaystyle Rf:|X|\to |X'|}$для якого ${\displaystyle Rf(x,p)=(f(x),p),\quad x\in X_{n},\,p\in \Delta ^{n}.}$

Відповідність ${\displaystyle X\to |X|}$таким чином є функтором з категорії симпліційних множин ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\Delta ^{\mathrm {op} }}}$ в категорію топологічних просторів Тор. Цей функтор є спряженим зліва до сингулярного функтора.

Примітки

1. Габріель, Цісман, 1971, ... Ми маємо на увазі існування майже повного паралелізму (що виражається в еквівалентності відповідних категорій) між гомотопічною теорією топологічних просторів і аналогічною теорією симпліційних множин — об'єктів, по суті, чисто алгебраїчних. Теорія симпліційних множин, з одного боку, має велике методологічне значення, істотно проясняючи логічну і концептуальну природу основ алгебричної топології, а з іншого — відіграє роль одного з найпотужніших інструментів топологічного дослідження... (з передмови М. М. Постникова).
2. У джерелах 1970-х років використовується позначення ${\displaystyle \Delta ^{\circ }{\mathcal {E}}ns}$. Також використовується позначення ${\displaystyle \mathbf {sSet} }$

Див. також

• Абстрактний симпліційний комплекс
• Симпліційна категорія
• Симпліційний комплекс

Література

• Габриель П., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий. — Москва : Мир, 1971. — С. 296.
• Goerss, Paul; Jardine, John (1999). Simplicial homotopy theory. Birkhäuser. ISBN .
• May, Peter (1967). Simplicial objects in algebraic topology. The university of Chicago press. ISBN .