В математиці абстрактним симпліційним комплексом називається комбінаторний об єкт що є абстрактним узагальненням геометр

В математиці, абстрактним симпліційним комплексом називається комбінаторний об'єкт, що є абстрактним узагальненням геометричного поняття симпліційний комплекс.

Геометричне представлення абстрактного симпліційного комплексу, що не є симпліційним комплексом.

Абстрактний симплекс можна досліджувати алгебричними методами за допомогою кілець Стенлі — Райснера, що визначає важливі зв'язки між комбінаторикою і комутативною алгеброю.

Означення

Сім'я $Δ$ непустих скінченних підмножин множини S називається абстрактним симпліційним комплексом якщо для кожної множини $X$ у $Δ$ , і кожної непустої підмножини $Y \subset X$ , $Y$ також належить $Δ$ .

Скінченні множини, що належать $Δ$ називаються (абстрактними) симплексами комплекса. Симплекс $Y$ називається гранню симплекса $X$ якщо $Y \subset X$ . Множиною вершин $Δ$ називається множина $V (Δ) = \cupΔ$ , що є об'єднанням усіх симплексів $Δ$ . Елементи множини вершин називаються вершинами комплексу. Для кожної вершини v у $Δ$ , множина {v} є симплексом комплексу, і кожен симплекс комплексу є скінченною підмножиною множини вершин.

Симплекси, що не є гранями інших симплексів називаються максимальними симплексами комплексу. Розмірність симплекса $X$ у $Δ$ за означенням є рівною $dim(X) = | X | - 1$ : симплекси, що мають один елемент мають розмірність 0, симплекси з двох елементів мають розмірність 1 і т. д. Розмірністю комплексу $dim(Δ)$ називається найбільша розмірність його симплексів або нескінченність, якщо існують симплекси як завгодно великих розмірностей.

Комплекс $Δ$ називається скінченним якщо у ньому є скінченна кількість симплексів або еквівалентно, якщо його множина вершин є скінченною. Комплекс $Δ$ називається локально скінченним, якщо кожна його вершина належить лише скінченній кількості симплексів.

Одновимірні абстрактні симпліційні комплекси є математично еквівалентними простим неорієнтованим графам: множина вершин комплексу може розглядатися як множина вершин графу, а множина одновимірних (тобто двоелементних) симплексів як множина його ребер.

Підкомплексом комплексу $Δ$ називається абстрактний симпліційний комплекс L такий що кожен симплекс L належить також $Δ$ , тобто $L \subset Δ$ .

d-кістяк комплексу $Δ$ це підкомплекс $Δ$ , що складається з усіх симплексів $Δ$ розмірність яких не перевищує d. 0-кістяк $Δ$ можна ідентифікувати з його множиною вершин, хоча формально вони не є еквівалентними (множина вершин є єдиною множиною всіх вершин, тоді як 0-кістяк є сім'єю одноелементних множин).

Лінком симплекса $Y$ у $Δ$ (позначається $Δ/ Y$ або $lk Δ (Y)$ ) називається підкомплекс $Δ$ заданий як

\Delta /Y:=\{X\in \Delta \mid X\cap Y=\varnothing ,\,X\cup Y\in \Delta \}.

Лінком пустої множини є комплекс $Δ$ .

Для будь-якого абстрактного симпліційного комплексу $Δ$ існує комплекс Bd $Δ$ , вершинами якого є симплекси комплексу $Δ$ , а симплексами — сім'ї $(s_{0},...,s_{q})$ симплексів з $Δ$ , для яких $(s_{0},...,s_{q})$ . Комплекс Bd $Δ$ називається барицентричним розбиттям комплексу $Δ$ .

Для двох абстрактних симпліційних комплексів, $Δ$ і $Γ$ , симпліційним відображенням називається відображення $f$ для якого образами вершин $Δ$ є вершини $Γ$ і для кожного симплекса $X$ у $Δ$ , образом множини $f (X)$ є симплекс у $Γ$ . Існує категорія SCpx об'єктами якої є абстрактні симпліційні комплекс, а морфізмами симпліційні відображення. Вона є еквівалентною до деякої категорії визначеної для неабстрактних симпліційних комплексів.

Геометричне представлення

Кожному абстрактному симпліційному комплексу K можна поставити у відповідність топологічний простір |K|, що називається його геометричним представленням. Два таких представлення є ізоморфними. Топологічний простір X, що є гомеоморфним геометричному представленню |K| деякого комплексу K називається поліедром, а пара (К, f), де f — гомеоморфізм, називається триангуляцією простору.

Геометричне представлення комплексу K із множиною вершин S можна побудувати у такий спосіб. Нехай |K| підмножина $[0, 1] S$ , що складається з усіх функцій $t : S \to [0, 1]$ які задовольняють дві умови:

\sum _{s\in S}t_{s}=1

\{s\in S:t_{s}>0\}\in K.

Число $t_{s}$ називається s барицентричною координатою точки t. Розглянемо $[0, 1] S$ як індуктивну границю $[0, 1] A$ де A пробігає всі скінченні підмножини S і надамо $[0, 1] S$ відповідну фінальну топологію, а |K| — породжену топологію. Отриманий топологічний простір буде геометричною реалізацією комплексу |K|.

На просторі |K| можна ввести альтернативну в загальному випадку сильнішу топологію породженою метрикою $d(t,u)={\sqrt {\sum _{s\in S}(t_{s}-u_{s})^{2}}}$ . Множина |K| з цією топологією позначається |K|_d.

Можна задати геометричне представлення і в інших спосіб. Нехай ${\mathcal {K}}$ — категорія об'єктами якої є симплекси $K$ , а морфізмами включення. Задамо тотальне впорядкування на множині вершин $K$ і введемо функтор F з ${\mathcal {K}}$ у категорію топологічних просторів. Для цього для кожного симплекса $X \in K$ розмірності n, нехай $F (X) = Δ n$ буде стандартним n-симплексом. Порядок на множині вершин визначає бієкцію між елементами $X$ і вершинами $Δ n$ , впорядкованими у звичний спосіб $e 0 < e 1 < ... < e n$ . Якщо $Y \subset X$ є симплексом розмірності $m < n$ , то бієкція визначає m-вимірну грань у $Δ n$ . Нехай $F (Y) \to F (X)$ є єдиним афінним вкладенням $Δ n$ у визначену вище грань симплекса $Δ n$ при якому зберігається порядок вершин.

Тоді можна ввести геометричне представлення |K| як категорну кограницю функтора F. А саме |K| є фактор-простором диз'юнктного об'єднання

\coprod _{X\in K}{F(X)}

по відношенню еквівалентності, що ідентифікує точку $y \in F (Y)$ з її образом при відображенні $F (Y) \to F (X)$ , для кожного вкладення $Y \subset X$ .

Багато комбінаторних властивостей абстрактного симпліційного комплексу можна виразити через топологічні властивості геометричного представлення комплексу. Зокрема еквівалентними є такі твердження:

Абстрактний симпліційний комплекс K є локально скінченним.
Топологічний простір |K| є локально компактним.
|K| = |K|_d як топологічні простори.
Простір |K| є метризовним.
Простір |K| задовольняє першій аксіомі зліченності.

Простір |K| є сепарабельним (компактним) тоді і тільки тоді, коли K є не більш ніж зліченним (скінченним).

Представлення скінченних комплексів в евклідових просторах

Особливо важливе значення має геометричне представлення для скінченних комплексів. У цьому випадку можливе представлення абстрактного симпліційного комплексу у виді звичайного симпліційного комплексу у евклідовому просторі. А саме, n-вимірний комплекс $Δ$ має представлення як симпліційний комплекс у просторі $\mathbb {R} ^{2n+1}$ .

Представлення можна задати у такий спосіб. Нехай множина вершин $Δ$ має m елементів. Позначимо ці вершини $(a_{1},\ldots ,a_{m})$ . Виберемо m+1 точку у $\mathbb {R} ^{2n+1}$ так щоб жодні 2n+2 з них не були лінійно залежними. Наприклад, можна вибрати точки виду $A^{i}=(i,i^{2},i^{3},\ldots ,i^{2n+1}),\quad 0\leqslant i\leqslant m.$ Рівняння $\sum _{k=1}^{2n+2}\lambda _{k}A^{i_{k}}=0$ разом з $\sum _{k=1}^{2n+2}=0$

утворюють матрицю Вандермонда визначник якої не є рівним нулю. Отже, рівняння має лише нульовий розв'язок і довільні 2n+2 точки є лінійно незалежними.

Нехай тепер точки $A^{i}$ в $\mathbb {R} ^{2n+1}$ відповідають точкам $a_{i}$ абстрактного комплексу. Відповідно кожному абстрактному симплексу у $Δ$ відповідає симплекс у $\mathbb {R} ^{2n+1}$ .

Множина таких симплексів у $\mathbb {R} ^{2n+1}$ утворює симпліційний комплекс K, який і є геометричним представленням $Δ$ . З означення $Δ$ відразу випливає, що будь-яка грань симплекса із K є симплексом у K. Із лінійної незалежності точок $A^{i}$ випливає що симплекси у K можуть перетинатися лише на своїх границях. Нехай тепер $\sigma ,\tau$ — два симплекси у K, що мають розмірності p і q відповідно і r спільних вершин. Тоді загальна кількість точок у якомусь із цих симплексів є рівною $p+q-r+2\leqslant 2n+2$ .

Отже всі точки є лінійно незалежними і на них можна побудувати симплекс розмірності $p+q-r+1$ для якого $\sigma ,\tau$ будуть гранями. Тому їх перетин є або гранню їх обох або порожньою множиною. Отож K дійсно є стандартним симпліційним комплексом у $\mathbb {R} ^{2n+1}$ .

Будь-які два геометричні представлення абстрактного симпліційного комплекса є симпліційно гомеоморфними.

Простір $\mathbb {R} ^{2n+1}$ має найменшу розмірність для геометричного представлення усіх абстрактних симпліційних комплексів розмірності n. Для простору $\mathbb {R} ^{2n}$ завжди існує абстрактний симпліційний комплекс розмірності n для якого не існує геометричного представлення у $\mathbb {R} ^{2n}$ . Наприклад, для n = 1 абстрактний комплекс із п'ятьма вершинами для якого кожна для якого кожна підмножина із двох вершин є симплексом не має геометричного представлення у $\mathbb {R} ^{2}$ . Це відбувається тому, що такий же комплекс із чотирма вершинами можна представити лише у виді коли три точки утворюють трикутник, а четверта у його середині (не на сторонах). Тоді п'ята точка мала би бути у середині трьох утворених менших трикутників, що неможливо. Більш загально для довільного n-кістяка абстрактного симплекса розмірності 2n + 2 (симплекса із 2n + 3 вершинами) не існує геоментричного представлення у просторі $\mathbb {R} ^{2n}$ .

В загальному випадку абстрактний симпліційний комплекс має геометричне представлення у скінченновимірному просторі $\mathbb {R} ^{n}$ тоді і лише тоді коли він є локально скінченним, не більш ніж зліченним і скінченновимірним.

Кількості абстрактних симпліційних комплексів

Кількість скінченних абстрактних симпліційних комплексів із множиною вершин не більше n елементів є на одиницю меншим ніж n-не . Ці числа зростають дуже швидко і наразі їх значення відомі лише для $n \leq 8$ ; вони є рівними (починаючи з n = 0):

1, 2, 5, 19, 167, 7580, 7828353, 2414682040997, 56130437228687557907787 послідовність A014466 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS. Ці кількості рівні кількостям непустих антиланцюгів для множин із

n

елементів.

Кількість абстрактним симпліційних комплексів із множиною вершин к n елементів є рівною "1, 2, 9, 114, 6894, 7785062, 2414627396434, 56130437209370320359966" послідовність A006126 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS, починаючи з n = 1.

Див. також

Примітки

Edelsbrunner. Geometry and topology for mesh generation. ст. 49

Література

Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN
Edelsbrunner, Herbert (2001), Geometry and topology for mesh generation, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, т. 6 (вид. 1), Cambridge University Press, ISBN

[1] Edelsbrunner. Geometry and topology for mesh generation. ст. 49