Інтеграл Гаусса

Інтеграл Гаусса, також відомий як інтеграл Ейлера-Пуассона — це інтеграл функції Гаусса e^−x2 над усією областю дійсних чисел. Названий на честь німецького математика Карла Фрідріха Гаусса, і має вигляд

Графік f(x) = e^−x2 і площа між функцією та x-віссю, що дорівнює √π.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

Абрахам де Муавр першим відкрив цей тип інтегралів у 1733~р. Тоді як Гаусс опублікував точний інтеграл у 1809 р. Інтеграл має широкий спектр застосувань. Наприклад, за допомогою простої заміни змінних, використовується для обчислення нормального розподілу. Цей же інтеграл з фіксованими межами тісно пов'язаний як з функцією помилок так і з нормального розподілу. У фізиці цей тип інтеграла часто з'являється, наприклад, в квантовій механіці, при знаходженні густини ймовірності основного стану гармонічного осцилятора. Цей інтеграл також використовується в означенні інтегралу вздовж траєкторії для знаходження функції поширення гармонічного осцилятора, а також у статистичній механіці для знаходження .

Хоча функцію помилок не можна представити елементарними функціями, як це можна довести за допомогою , все ж інтеграл Гаусса можна обчислити аналітичними методами аналізу функцій багатьох змінних. Тобто, невизначений інтеграл

${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,}$

не інтегрується в елементарних функціях, але визначений інтеграл

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$

можна обчислити. Визначений інтеграл довільної функції Гаусса дорівнює

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.}$

Обчислення

В полярних координатах

Стандартний спосіб обчислення інтеграла Гаусса, що був запропонований Пуассоном, базується на використанні наступної властивості: базується на використанні наступної властивості:

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.}$

Розглянемо функцію ${\displaystyle e^{-(x^{2}+y^{2})}=e^{-r^{2}}}$ у просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, та обчислимо інтеграл від неї двома способами.:

1. З однієї сторони, як в декартовій системі координат, він дорівнює квадрат інтеграла Гаусса:

   ${\displaystyle \left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};}$

2. З іншої сторони, за допомогою (випадок подвійного інтеграла у полярних координатах), цей інтеграл дорівнює ${\displaystyle \pi }$

З цих двох обчислень отримаємо шукане значення для інтеграла Гаусса, хоча при цьому слід подбати про відповідні невласні інтеграли:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}dx\,dy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\[6pt]&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\[6pt]&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\[6pt]&=\pi (e^{0}-e^{-\infty })\\[6pt]&=\pi ,\end{aligned}}}$

де множник r-якобіан, який з'являється при переході до полярних координат у подвійному інтегралі (r dr dθ - стандартна міра на площині записана в полярних координатах , і інтегрування включає заміну s = −r², а тому ds = −2r dr.

Таким чином,

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\pi ,}$

Тоді:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$.

Повне доведення

Для обґрунтування невласних подвійних інтегралів та прирівнювання двох співвідношень, розпочнемо з апроксимуючої функції:

${\displaystyle I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx.}$

Якби інтеграл

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$

був би абсолютно збіжним, то ми б отримали головне значення інтеграла за Коші,тобто границя

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)}$

співпадала б з інтегралом

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}$

Щоб побачити це врахуємо, що

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|e^{-x^{2}}|\,dx<\int _{-\infty }^{-1}-xe^{-x^{2}}\,dx+\int _{-1}^{1}e^{-x^{2}}\,dx+\int _{1}^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx<\infty .}$

Таким чином, для обчислення інтеграла

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$

потрібно знайти границю

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)}$.

Підносячи ${\displaystyle I(a)}$ до квадрату, отримаємо

${\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}(a)&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\,e^{-x^{2}}\,dx\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dy\,dx.\end{aligned}}}$

Використовуючи теорему Фубіні, вищевказаний подвійний інтеграл можна розглядати як поверхневий інтеграл

${\displaystyle \iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,d(x,y),}$

взятий над квадратом з вершинами {(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)} на площині xy.

Оскільки, для всіх дійсних чисел, експоненціальна функція більша за 0, то звідси випливає, що інтеграл, взятий над вписаним кругом, повинен бути меншим за ${\displaystyle I(a)^{2}}$, і аналогічно інтеграл, взятий над описаним кругом, повинен бути більшим ніж ${\displaystyle I(a)^{2}}$. Інтеграли над двома кругами легко обчислити, перейшовши від декартової системи координат до полярної системи координат:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}}$

${\displaystyle d(x,y)=|J(r,\theta )|d(r,\theta )=r\,d(r,\theta ).}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta .}$

(Див. щодо відповідних перетворень.)

Після інтегрування отримуємо

${\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})<I^{2}(a)<\pi (1-e^{-2a^{2}}).}$

За теоремою про двох поліцейських, отримаємо значення інтеграла Гаусса:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

У декартових координатах

Інша техніка, яка сходить до Лапласа (1812), , полягає в наступному. Покладемо

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=xs\\dy&=x\,ds.\end{aligned}}}$

Оскільки границі відносно s приy → ±∞ , залежать від знаку x, то для спрощення обчислень використовуємо той факт, що e^−x2 є парною функцією і, отже, інтеграл на множині всіх дійсних чисел удвічі більший ніж інтеграл від нуля до нескінченності:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}$

Таким чином, при x ≥ 0, для змінних y and s маємо однакові границі. Тобто,

${\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dy\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dy\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}x\,ds\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}x\,dx\right)\,ds\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{-2(1+s^{2})}}e^{-x^{2}(1+s^{2})}\right]_{x=0}^{x=\infty }\,ds\\[6pt]&=4\left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right)\\[6pt]&=2{\Big [}\arctan s{\Big ]}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\pi .\end{aligned}}}$

Отже, як і очікувалося, ${\displaystyle I={\sqrt {\pi }}}$.

Зв'язок з гамма-функцією

Підінтегральна функція - це парна функція, тому

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx}$

Таким чином, цей інтеграл після заміни змінної ${\displaystyle x={\sqrt {t}}}$ перетворюється на інтеграл Ейлера:

${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\ e^{-t}\ t^{-{\frac {1}{2}}}dt=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$

де ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt}$ гамма-функція. Це показує, чому факторіал напівцілого числа є раціональним, домножиним на ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$. У загальному випадку,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {\Gamma \left((n+1)/b\right)}{ba^{(n+1)/b}}},}$

який можна отримати виконавши заміну ${\displaystyle t=ax^{b}}$ в підінтегральній функції гамма-функції:

${\displaystyle \Gamma (z)=a^{z}b\int _{0}^{\infty }x^{bz-1}{\rm {e}}^{-ax^{b}}{\rm {d}}x}$.

Узагальнення

Інтеграл функції Гаусса

Докладніше:

Результатом обчислення інтеграла довільної функції Гаусса є

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.}$

Альтернативною формою є

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c}.}$

Ця форма корисна для обчислення математичних сподівань деяких неперервних розподілів, пов'язаних із нормальним розподілом, наприклад, для логнормального розподілу.

n-мірне та функціональне узагальнення

Докладніше: багатовимірний нормальний розподіл

Припустимо, A - симетрична, додатньо визначена (отже, має обернену) матриця n × n яка є оберненою до коваріаційної матриці. Тому,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x=\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {1}{2}}x^{T}Ax\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det(A/2\pi )}}}={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}}$

де інтеграл розуміється над Rⁿ. Цей факт застосовується при дослідженні багатовимірного нормального розподілу. Також

${\displaystyle \int x_{k_{1}}\cdots x_{k_{2N}}\,\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\,{\frac {1}{2^{N}N!}}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}}$

де σ - перестановка множин {1, ..., 2N}, а додатковий коефіцієнт у правій частині -

це сума за всіма комбінаторними парами множини {1, ..., 2N} з N копій матриці A−1. 

Крім того,

${\displaystyle \int f({\vec {x}})\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}x={\sqrt {(2\pi )^{n} \over \det A}}\,\left.\exp {\left({1 \over 2}\sum \limits _{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_{i}}{\partial \over \partial x_{j}}\right)}f({\vec {x}})\right|_{{\vec {x}}=0}}$

для деякої аналітичної функції f, за умови, що вона задовольняє деяким відповідним обмеженням щодо свого зростання та деяким іншим технічним критеріям. (Для деяких функцій вона працює, наприклад, для поліномів. А для деяких - ні.) Піднесення до степеня диференціальним оператором розуміється в сенсі степеневих рядів.

Хоча функціональні інтеграли не мають чіткого означення (або навіть їх неможливо строго обчислити в більшості випадків), 

проте ми можемо визначити функціональний інтеграл Гаусса аналогічно скінченновимірному випадку. Але проблема все ж залишається, оскільки ${\displaystyle (2\pi )^{\infty }}$ є нескінченністю, а також буде нескінченним у загальному випадку. Проте це можна обійти, якщо розглянути відношення:

${\displaystyle {\frac {\int f(x_{1})\cdots f(x_{2N})\exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^{d}x_{2N+1}d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}{\int \exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^{d}x_{2N+1}d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}}={\frac {1}{2^{N}N!}}\sum _{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).}$

В позначеннях ДеВіта це співвідношення виглядає аналогічно скінченновимірному випадку.

n- мірний з лінійним членом

Якщо A знову є симметричною, додатньо визначеною матрицею, тоді (при умові, що всі вектори є вектор-стовпцями): 

${\displaystyle \int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum \limits _{i=1}^{n}B_{i}x_{i}}d^{n}x=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {x}}^{T}\mathbf {A} {\vec {x}}+{\vec {B}}^{T}{\vec {x}}}d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {A}}}}e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^{T}\mathbf {A} ^{-1}{\vec {B}}}.}$

Інтеграли подібної форми

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{a^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2a^{\frac {n+1}{2}}}}}$

Де ${\displaystyle n}$ - натуральне число, ${\displaystyle !!}$ - подвійний факторіал.

Простий спосіб їх отримання --- це диференціювання під знаком інтеграла:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[6pt]&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}}$

Також можна використовувати інтегрувати частинами та знайти відповідне рекурентне співвідношення.

Поліноми вищих порядів

Використання лінійної заміни базису показує, що інтеграл експоненти, в степені якої однорідний многочлен від n - змінних, може залежати тільки від ${\displaystyle SL(n)}$ - інваріантів многочлена. Одним з таких інваріантів є дискримінант, нулі якого позначають особливості інтеграла. Проте інтеграл також може залежати від других інваріантів.

Експоненту, в степені якої другі парні многочлени, можна чисельно обчислити за допомогою рядів. 

Вони можуть бути інтерпритовані як , коли немає збіжності. Наприклад, обчислення інтеграла від експоненти, в степені якої поліном четвертого порядку, має вигляд:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f}\,dx={\frac {1}{2}}e^{f}\sum _{\begin{smallmatrix}n,m,p=0\\n+p=0\mod 2\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {b^{n}}{n!}}{\frac {c^{m}}{m!}}{\frac {d^{p}}{p!}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3n+2m+p+1}{4}}\right)}{(-a)^{\frac {3n+2m+p+1}{4}}}}.}$

Вимога до того, щобn + p = 0 та те, що остача від ділення дорівнює 2 (mod 2) полягає в тому, що інтеграл від −∞ до 0 дає множник (−1)^n+p/2, а інтеграл від 0 до +∞ дає множник 1/2 кожного разу.

Ці інтеграли з'являються в таких областях, як квантова теорія поля.

Див. також

• Нормальний розподіл
• Таблиця інтегралів експоненціальних функцій
• Функція помилок

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)

Примітки

1. Stahl, Saul (April 2006). (PDF). MAA.org. Архів оригіналу (PDF) за 25 січня 2016. Процитовано 25 травня 2018.
2. Cherry, G. W. (1985). Integration in Finite Terms with Special Functions: the Error Function. Journal of Symbolic Computation. 1 (3): 283—302. doi:10.1016/S0747-7171(85)80037-7.
3. (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 10 червня 2020. Процитовано 10 червня 2020.
4. Reference for Multidimensional Gaussian Integral. Stack Exchange. 30 березня 2012.