Числення багатьох змінних або аналіз функцій багатьох змінних — це область математичного аналізу, що є продовженням теорії обчислення із однією змінною до випадку обчислення функцій із багатьма змінними: диференціювання і інтегрування функцій, що мають багато змінних, а не одну.
Застосування
Методи аналізу функцій багатьох зміних використовуються для вивчення різних об’єктів і явищ матеріального світу. Зокрема,
Область визначення і відображення | Методи | ||
---|---|---|---|
Криві | Довжини кривих, лінійні інтеграли, і кривина. | ||
Поверхні | Площі поверхонь, поверхневі інтеграли, густина потоку енергії через поверхню, і опуклість. | ||
Скалярне поле | Максимуми і мінімуми, Метод невизначених множників, Похідна за напрямком, рівневі поверхні. | ||
Векторне поле | будь-які операції з векторного числення включаючи градієнт, дивергенцію, і ротор. |
Числення багатьох змінних можна застосувати для аналізу детермінованих систем, що мають багато ступенів свободи. Функції із незалежними змінними, що відповідають кожному із ступенів свободи часто використовують для моделювання цих систем, а числення багатьох змінних надає інструментарій для характеристики динаміки системи.
Числення багатьох змінних використовується в теорії оптимального управління динамічними системами неперервного часу. І застосовується в регресійному аналізі для отримання формул, що визначають зв'язок між різноманітними наборами емпіричних даних.
Не детерміновані, або стохастичні системи вивчають за допомогою інших видів математики, таких як теорія випадкових процесів.
Границі і неперервність
Вивчення границь і неперервності в аналізі функцій багатьох змінних приводить до багатьох не інтуїтивних результатів, які не можна продемонструвати з функціями однієї змінної. Наприклад, існують скалярні функції двох змінних, що мають такі точки в їх області функцій, які мають певну границю при наближенні до будь-якої довільної прямої і мають іншу границю при наближенні здовж параболи.
Насправді, функція
наближується до нуля здовж будь-якої прямої, що проходить через початок координат. Однак, коли початок наближується здовж параболи , вона має границю . Оскільки вибір різних шляхів до однієї і тієї ж точки приводить до різних значень границі, границя не існує.
Безперервність функції для кожного аргументу не є достатньою для багатозмінної безперервності.дійсних чисел із двома параметрами, , неперервність функції для при фіксованому значенні і неперервність для при фіксованому значенні не означає неперервність функції .
Наприклад, у випадку функціїРозглянемо
Легко пересвідчитися, що всі функції дійсних значень (із одним дійсним аргументом) що задані є неперервними по відношенню до (для будь-яких фіксованих значень ). Відповідно, всі є неперервними оскільки є симетричною відносно і . Однак, сама не є неперервною, це можна побачити розглянувши послідовність (для натурального числа ), що мала б збігатися до якби була неперервною. Однак, Таким чином функція не є неперервною в .
Часткова похідна
Поняття часткової похідної узагальнює поняття похідної для вищих порядків. Часткова похідна функції багатьох змінних є похідною однієї змінної при умові, що всі інші змінні залишаються сталими.
Часткові похідні можна поєднати цікавими способами, аби утворити більш складні вирази похідної. У векторному численні, оператор набла () використовують для визначення понять градієнта, дивергенції, і ротора в термінах часткових похідних. Для представлення похідної функції між двома просторами довільної розмірності можна використати матрицю часткових похідних, що називається матрицею Якобіана. Похідні таким чином можна зрозуміти як лінійне відображення, яке безпосередньо змінюється від точки до точки в області функції.
Диференціальні рівняння, що містять часткові похідні називаються диференціальними рівняннями з частковими похідними. Ці рівняння зазвичай набагато важче розв'язувати ніж звичайні диференціальні рівняння, що містять похідні лише однієї змінної.
Багатократний інтеграл
Багатократний інтеграл розширює поняття інтеграла до функції з будь-якою кількістю змінних. Подвійні чи потрійні інтеграли можуть використовуватися для визначення площ чи об'ємів областей на площині і в просторі. Теорема Фубіні гарантує, що багатократний інтеграл може розраховуватися як повторний інтеграл при умові що функція яка інтегрується не безперервною по всій області інтегрування.
Поверхневий інтеграл і криволінійний інтеграл використовуються для інтегрування по викривленим многовидам, наприклад, по [en] і кривим.
Див. також
Примітки
- Richard Courant; Fritz John (14 грудня 1999). Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2. Springer Science & Business Media. ISBN .
Посилання
- Диференціальне числення функції багатьох змінних // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 345. — 594 с.
- UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
- MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007
- Multivariable Calculus: A free online textbook by George Cain and James Herod
- Multivariable Calculus Online: A free online textbook by Jeff Knisley
- Multivariable Calculus – A Very Quick Review [ 24 березня 2012 у Wayback Machine.], Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Chislennya bagatoh zminnih abo analiz funkcij bagatoh zminnih ce oblast matematichnogo analizu sho ye prodovzhennyam teoriyi obchislennya iz odniyeyu zminnoyu do vipadku obchislennya funkcij iz bagatma zminnimi diferenciyuvannya i integruvannya funkcij sho mayut bagato zminnih a ne odnu ZastosuvannyaMetodi analizu funkcij bagatoh zminih vikoristovuyutsya dlya vivchennya riznih ob yektiv i yavish materialnogo svitu Zokrema Oblast viznachennya i vidobrazhennya MetodiKrivi f R Rn displaystyle f colon mathbb R to mathbb R n Dovzhini krivih linijni integrali i krivina Poverhni f R2 Rn displaystyle f colon mathbb R 2 to mathbb R n Ploshi poverhon poverhnevi integrali gustina potoku energiyi cherez poverhnyu i opuklist Skalyarne pole f Rn R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R Maksimumi i minimumi Metod neviznachenih mnozhnikiv Pohidna za napryamkom rivnevi poverhni Vektorne pole f Rm Rn displaystyle f colon mathbb R m to mathbb R n bud yaki operaciyi z vektornogo chislennya vklyuchayuchi gradiyent divergenciyu i rotor Chislennya bagatoh zminnih mozhna zastosuvati dlya analizu determinovanih sistem sho mayut bagato stupeniv svobodi Funkciyi iz nezalezhnimi zminnimi sho vidpovidayut kozhnomu iz stupeniv svobodi chasto vikoristovuyut dlya modelyuvannya cih sistem a chislennya bagatoh zminnih nadaye instrumentarij dlya harakteristiki dinamiki sistemi Chislennya bagatoh zminnih vikoristovuyetsya v teoriyi optimalnogo upravlinnya dinamichnimi sistemami neperervnogo chasu I zastosovuyetsya v regresijnomu analizi dlya otrimannya formul sho viznachayut zv yazok mizh riznomanitnimi naborami empirichnih danih Ne determinovani abo stohastichni sistemi vivchayut za dopomogoyu inshih vidiv matematiki takih yak teoriya vipadkovih procesiv Granici i neperervnistVivchennya granic i neperervnosti v analizi funkcij bagatoh zminnih privodit do bagatoh ne intuyitivnih rezultativ yaki ne mozhna prodemonstruvati z funkciyami odniyeyi zminnoyi 19 22 Napriklad isnuyut skalyarni funkciyi dvoh zminnih sho mayut taki tochki v yih oblasti funkcij yaki mayut pevnu granicyu pri nablizhenni do bud yakoyi dovilnoyi pryamoyi i mayut inshu granicyu pri nablizhenni zdovzh paraboli Vizualizaciya krivoyi z x2yx4 y2 displaystyle z tfrac x 2 y x 4 y 2 u proyekciyah na ploshini xz displaystyle xz i yz displaystyle yz proyekciyi sinimi liniyami blizhchi do nulya Naspravdi funkciya f x y x2yx4 y2 displaystyle f x y frac x 2 y x 4 y 2 nablizhuyetsya do nulya zdovzh bud yakoyi pryamoyi sho prohodit cherez pochatok koordinat Odnak koli pochatok nablizhuyetsya zdovzh paraboli y x2 displaystyle y x 2 vona maye granicyu 0 5 displaystyle 0 5 Oskilki vibir riznih shlyahiv do odniyeyi i tiyeyi zh tochki privodit do riznih znachen granici granicya ne isnuye Bezperervnist funkciyi dlya kozhnogo argumentu ne ye dostatnoyu dlya bagatozminnoyi bezperervnosti 17 19 Napriklad u vipadku funkciyi dijsnih chisel iz dvoma parametrami f x y displaystyle f x y neperervnist funkciyi f displaystyle f dlya x displaystyle x pri fiksovanomu znachenni y displaystyle y i neperervnist f displaystyle f dlya y displaystyle y pri fiksovanomu znachenni x displaystyle x ne oznachaye neperervnist funkciyi f displaystyle f Priklad funkciyi sho ne ye neperervnoyu hocha neperervnist vikonuyetsya dlya x displaystyle x i y displaystyle y Rozglyanemof x y yx yif 1 x gt y 0xy xif 1 y gt x 01 xif x y gt 00else displaystyle f x y begin cases frac y x y amp text if 1 geq x gt y geq 0 frac x y x amp text if 1 geq y gt x geq 0 1 x amp text if x y gt 0 0 amp text else end cases Legko peresvidchitisya sho vsi funkciyi dijsnih znachen iz odnim dijsnim argumentom sho zadani fy x f x y displaystyle f y x f x y ye neperervnimi po vidnoshennyu do x displaystyle x dlya bud yakih fiksovanih znachen y displaystyle y Vidpovidno vsi fx displaystyle f x ye neperervnimi oskilki f displaystyle f ye simetrichnoyu vidnosno x displaystyle x i y displaystyle y Odnak sama f displaystyle f ne ye neperervnoyu ce mozhna pobachiti rozglyanuvshi poslidovnist f 1n 1n displaystyle f left frac 1 n frac 1 n right dlya naturalnogo chisla n displaystyle n sho mala b zbigatisya do f 0 0 0 displaystyle f 0 0 0 yakbi f displaystyle f bula neperervnoyu Odnak limn f 1n 1n 1 displaystyle lim n to infty f left frac 1 n frac 1 n right 1 Takim chinom funkciya ne ye neperervnoyu v 0 0 displaystyle 0 0 Chastkova pohidnaDokladnishe Chastkova pohidna Ponyattya chastkovoyi pohidnoyi uzagalnyuye ponyattya pohidnoyi dlya vishih poryadkiv Chastkova pohidna funkciyi bagatoh zminnih ye pohidnoyu odniyeyi zminnoyi pri umovi sho vsi inshi zminni zalishayutsya stalimi Chastkovi pohidni mozhna poyednati cikavimi sposobami abi utvoriti bilsh skladni virazi pohidnoyi U vektornomu chislenni operator nabla displaystyle nabla vikoristovuyut dlya viznachennya ponyat gradiyenta divergenciyi i rotora v terminah chastkovih pohidnih Dlya predstavlennya pohidnoyi funkciyi mizh dvoma prostorami dovilnoyi rozmirnosti mozhna vikoristati matricyu chastkovih pohidnih sho nazivayetsya matriceyu Yakobiana Pohidni takim chinom mozhna zrozumiti yak linijne vidobrazhennya yake bezposeredno zminyuyetsya vid tochki do tochki v oblasti funkciyi Diferencialni rivnyannya sho mistyat chastkovi pohidni nazivayutsya diferencialnimi rivnyannyami z chastkovimi pohidnimi Ci rivnyannya zazvichaj nabagato vazhche rozv yazuvati nizh zvichajni diferencialni rivnyannya sho mistyat pohidni lishe odniyeyi zminnoyi Bagatokratnij integralDokladnishe Bagatokratnij integral Bagatokratnij integral rozshiryuye ponyattya integrala do funkciyi z bud yakoyu kilkistyu zminnih Podvijni chi potrijni integrali mozhut vikoristovuvatisya dlya viznachennya plosh chi ob yemiv oblastej na ploshini i v prostori Teorema Fubini garantuye sho bagatokratnij integral mozhe rozrahovuvatisya yak povtornij integral pri umovi sho funkciya yaka integruyetsya ne bezperervnoyu po vsij oblasti integruvannya Poverhnevij integral i krivolinijnij integral vikoristovuyutsya dlya integruvannya po vikrivlenim mnogovidam napriklad po en i krivim Div takozhBagatovimirna statistikaPrimitkiRichard Courant Fritz John 14 grudnya 1999 Introduction to Calculus and Analysis Volume II 2 Springer Science amp Business Media ISBN 978 3 540 66570 0 PosilannyaDiferencialne chislennya funkciyi bagatoh zminnih Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 345 594 s UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus Fall 2009 Professor Edward Frenkel MIT video lectures on Multivariable Calculus Fall 2007 Multivariable Calculus A free online textbook by George Cain and James Herod Multivariable Calculus Online A free online textbook by Jeff Knisley Multivariable Calculus A Very Quick Review 24 bereznya 2012 u Wayback Machine Prof Blair Perot University of Massachusetts Amherst