Головне значення інтеграла за Коші

Головне́ зна́чення інтегра́ла за Коші́ — це узагальнення поняття інтеграла Рімана, яке дозволяє обчислювати деякі розбіжні невласні інтеграли. Ідея головного значення інтеграла за Коші полягає в тому, що при наближенні інтервалів інтегрування до особливої точки з обох боків «з однаковою швидкістю» особливості нівелюють одна одну (за рахунок різних знаків ліворуч та праворуч), і в результаті можна отримати скінченну границю, яка і називається головним значенням інтегралу за Коші.

Так, наприклад, інтеграл ${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}$ як (невласний інтеграл ІІ роду) не існує, однак він існує в сенсі головного значення інтеграла за Коші.

Означення головного значення інтеграла за Коші

Означення (для особливої точки «∞»)

Означення (для особливої точки «∞»). Нехай f(x) визначена на (−∞, +∞) та f ∈ R([−A, A]) для всіх A > 0, але (невласний інтеграл І роду) ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx}$ є розбіжним. Якщо існує скінченна границя

${\displaystyle \lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}f(x)\,dx,}$

то ця границя називається головним значенням інтеграла за Коші (або головним значенням в сенсі Коші) для функції f по проміжку (−∞, +∞) і позначається символом

${\displaystyle \mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx.}$

При цьому кажуть, що функція f(x) інтегрована на (−∞, +∞) за Коші (або інтегрована на (−∞, +∞) в сенсі Коші).

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx.}$ Цей інтеграл є розбіжним, бо розбіжним є, наприклад, інтеграл ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }x\,dx,}$ але існує головне значення даного інтеграла в сенсі Коші:

${\displaystyle \mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }{\frac {x^{2}}{2}}{\Bigr |}_{-A}^{A}=0.}$

Теорема.}

• Якщо f(x) — непарна на (−∞, +∞) та f ∈ R([−A, A]) для всіх A > 0, то f інтегровна на (−∞, +∞) за Коші.
• Якщо f(x) — парна на (−∞, +∞) та f ∈ R([−A, A]) для всіх A > 0, то збіжність інтеграла ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx}$ еквівалентна збіжності інтеграла ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx.}$

Означення (для скінченної особливої точки)

Значення площ фігур ліворуч та праворуч рівні при всіх ε ∈ (0, 2), тому головне значення інтеграла за Коші дорівнює нулю

Означення (для скінченної особливої точки). Нехай функція f : [a, b] → R задовольняє умовам:

1. існує δ > 0 таке, що f ∈ R([a, c − ε]) та f ∈ R([c + ε, b]) для всіх ε ∈ (0, δ);
2. розбіжним є (невласний інтеграл другого роду) ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Якщо існує скінченна границя

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\,dx\right),}$

то ця границя називається головним значенням інтеграла за Коші (або головним значенням в сенсі Коші) для функції f по відрізку [a, b] і позначається символом

${\displaystyle \mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx.}$

При цьому кажуть, що функція f(x) інтегрована на [a, b] за Коші (або інтегрована на [a, b] в сенсі Коші).

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл ІІ роду ${\displaystyle \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}}$ (див. Рис.) Він є розбіжним, оскільки розбіжним є, наприклад, інтеграл ${\displaystyle \int _{-2}^{0}{\frac {dx}{x}}.}$ При цьому у розумінні головного значення за Коші даний інтеграл існує і дорівнює нулю:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {v.p.} \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}+\int _{\varepsilon }^{2}{\frac {dx}{x}}\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\ln |x|{\Bigr |}_{-2}^{-\varepsilon }+\ln |x|{\Bigr |}_{\varepsilon }^{2}\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}{\big (}\ln |-\varepsilon |-\ln |\varepsilon |{\big )}=\\&=0.\end{aligned}}}$

Випадок декількох особливих точок на проміжку інтегрування

Сума площ фігур верхньої півплощини збігається з сумою площ фігур нижньої півплощини при всіх ε ∈ (0, 1), тому головне значення інтеграла в сенсі Коші дорівнює нулю

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx}$ (див. Рис.). Особливими точками підінтегральної функції f(x) = 2x / (x²−1) є точки −1, 1 та ∞. Даний інтеграл є розбіжним, бо розбіжним є, наприклад, інтеграл

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{2}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{A\to +\infty }\int _{2}^{A}{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx=\\&=\lim _{A\to +\infty }\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{x=2}^{A}=\\&=\lim _{A\to +\infty }{\big (}\ln |A^{2}-1|-\ln 3{\big )}=\\&=+\infty .\end{aligned}}}$

Очевидно, що f ∈ R([1/ε, −1−ε]) ∩ R([−1+ε, 1−ε]) ∩ R([1+ε, 1/ε]) для всіх ε ∈ (0, 1) (бо є обмеженою на кожному з цих відрізків). Перевіримо інтегровність функції f в сенсі Коші:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int _{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \to +0}{\Big (}\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\Big )}=\\&=0.\end{aligned}}}$

Отже, функція f є інтегровною в сенсі Коші на проміжку (−∞, +∞).

Див. також

• Невизначений інтеграл функції комплексної змінної
• Первісна
• Інтегральне числення
  • Визначений інтеграл
    • Інтеграл Рімана
    • Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана—Стілтьєса)
    • Інтеграл Лебега
    • Інтеграл Даніелла
    • Інтеграл Бохнера
    • Невласний інтеграл
•  — чисельний метод для обчислення інтегралів з особливостями.

Джерела

• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с. — .(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)