Ін'єктивний об'єкт — теоретико-категорне узагальнення поняття ін'єктивних модулів. Двоїстим є поняття проєктивного об'єкта.
Означення
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemd6TDBScFlXZHlZVzF0WVdSbFptbHVhWHBwYjI1bGJXOWtkV3h2YVc1cFpYUjBhWFp2TG5CdVp5OHlNakJ3ZUMxRWFXRm5jbUZ0YldGa1pXWnBibWw2YVc5dVpXMXZaSFZzYjJsdWFXVjBkR2wyYnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Об'єкт категорії
називається ін'єктивним, якщо для будь-якого морфізма
і будь-якого мономорфізма
існує (не обов'язково єдиний) морфізм
для якого
.
У локально малих категоріях, об'єкт є ін'єктивним тоді і тільки тоді коли контраваріантний функтор Hom
переводить мономорфізми у
у сюр'єктивні відображення множин.
Досить багато ін'єктивних об'єктів
Кажуть, що в категорії досить багато ін'єктивних об'єктів, якщо для будь-якого об'єкта
категорії
існує мономорфізм
в ін'єктивний об'єкт
.
Ін'єктивна оболонка
Мономорфізм категорії
називається істотним, якщо для будь-якого морфізма
композиція
є мономорфізмом, тільки якщо
є мономорфізмом.
Якщо — істотний мономорфізм і об'єкт
є ін'єктивним, то
називається ін'єктивною оболонкою
. Ін'єктивна оболонка є єдиною з точністю до неканонічного ізоморфізму.
Випадок абелевих категорій
Якщо — (локально мала) абелева категорія, то її об'єкт
називається ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли функтор Hom
є точним.
Ще одним еквівалентним еквівалентним означенням є: об'єкт є ін'єктивним якщо і тільки якщо кожна послідовність виду
є точною у тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто
є ізоморфним прямій сумі
.
- Загалом контраваріантний функтор Hom є точним зліва, тобто для короткої точної послідовності
точною є лише послідовність
Для того щоб цей функтор був точним необхідно і достатньо щоб відображення
було сюр'єктивним, тобто для кожного морфізма
існував морфізм
для якого
де
— морфізм із початкової точної послідовності. Оскільки в абелевій категорії мономорфізм
завжди можна продовжити до короткої точної послідовності (взявши за C коядро h) то звідси одержується еквівалентність загального означення із означенням через точність функтора Hom.
- Якщо
є ін'єктивним об'єктом і
— одиничний морфізм, то з означення ін'єктивності випливає, що для мономорфізма
існує морфізм
такий що
Але існування такого морфізма є еквівалентним розщепленню точної послідовності
- Навпаки, нехай довільна така коротка точна послідовність розщеплюється,
— мономорфізм і
— довільний морфізм. В абелевій категорії існують всі розшаровані кодобутки і існування морфізму
для якого
є еквівалентним існуванню морфізма
для якого
У абелевій категорії розшаровані кодобутки зберігають мономорфізми, тому
теж є мономорфізмом і тому частиною точної послідовності :
Оскільки згідно умови ця послідовність розщеплюється то необхідний морфізм
існує.
Як і кожен контраваріантний адитивний функтор є точним справа тоді і тільки тоді, коли переводить ядра у коядра. Ця умова є ще одною еквівалентною умовою ін'єктивності об'єкта
Властивості
- Нехай
— добуток деякої сім'ї об'єктів. Тоді
є ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли всі
є ін'єктивними.
- Будь-який ін'єктивний підоб'єкт
об'єкта
є його прямим доданком.
- Якщо
— абелеві категорії і
— функтор спряжений до точного функтора
то G переводить ін'єктивні об'єкти категорії
у ін'єктивні об'єкти категорії
- Нехай
— абелеві категорії і
— функтор спряжений справа до функтора
Якщо G переводить ін'єктивні об'єкти категорії
у ін'єктивні об'єкти категорії
і у
є досить багато ін'єктивних об'єктів, то F є точним функтором.
- Якщо
є ін'єктивними оболонками об'єктів
відповідно, то
є ін'єктивною оболонкою
- Якщо
є ін'єктивними оболонками об'єкта
то вони є ізоморфними.
Приклади
- У категорії абелевих груп ін'єктивними об'єктами є подільні групи.
- Адитивна група раціональних чисел є ін'єктивною оболонкою адитивної групи цілих чисел у категорії абелевих груп.
- Нехай p — просте число. Нехай
— мультиплікативна підгрупа комплексних чисел, що задовольняють хоча б одному рівнянню виду
Тоді у категорії абелевих груп
є ін'єктивною оболонкою для всіх груп
— коренів з одиниці степеня
- У категорії модулів
ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні модулі. У
існують ін'єктивні оболонки, і, як наслідок, досить багато ін'єктивних об'єктів.
- В категорії метричних просторів і коротких відображень ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні метричні простори.
- Розглядають також ін'єктивні об'єкти в більш загальних категоріях, наприклад в категоріях функторів або в категоріях пучків модулів.
Узагальнення
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekpsTDBsdWFtVmpkR2wyWlY5dlltcGxZM1F1YzNabkx6SXlNSEI0TFVsdWFtVmpkR2wyWlY5dlltcGxZM1F1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Нехай є категорією і
— клас морфізмів у
.
Об'єкт категорії
називається
-ін'єктивним якщо для будь-якого морфізма
і кожного морфізма
з класу
існує морфізм
для якого
.
Якщо є класом мономорфізмів то одержується означення ін'єктивних модулів.
Категорія має досить багато
-ін'єктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта X категорії
, існує
-морфізм із X у
-ін'єктивний об'єкт.
-морфізм g у
називається
-істотним якщо для будь-якого морфізма f, композиція fg належить класу
лише якщо f належить класу
.
Якщо g є -істотним морфізмом із X у
-ін'єктивний об'єкт G, то G називається H-ін'єктивною оболонкою об'єкта X.
Див. також
Література
- И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
- Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR 0404390
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
In yektivnij ob yekt teoretiko kategorne uzagalnennya ponyattya in yektivnih moduliv Dvoyistim ye ponyattya proyektivnogo ob yekta OznachennyaOb yekt Q ye in yektivnim yaksho dlya monomorfizmu f X Y dovilnij morfizm g X Q mozhna prodovzhiti do Y Ob yekt Q displaystyle Q kategoriyi C displaystyle C nazivayetsya in yektivnim yaksho dlya bud yakogo morfizma g X Q displaystyle g X to Q i bud yakogo monomorfizma f X Y displaystyle f X to Y isnuye ne obov yazkovo yedinij morfizm h Y Q displaystyle h Y to Q dlya yakogo h f g displaystyle h circ f g U lokalno malih kategoriyah ob yekt Q displaystyle Q ye in yektivnim todi i tilki todi koli kontravariantnij funktor Hom HomC Q displaystyle operatorname Hom mathfrak C Q perevodit monomorfizmi u C displaystyle mathfrak C u syur yektivni vidobrazhennya mnozhin Dosit bagato in yektivnih ob yektiv Kazhut sho v kategoriyi C displaystyle C dosit bagato in yektivnih ob yektiv yaksho dlya bud yakogo ob yekta X displaystyle X kategoriyi C displaystyle C isnuye monomorfizm f X Q displaystyle f X to Q v in yektivnij ob yekt Q displaystyle Q In yektivna obolonka Dokladnishe In yektivna obolonka Monomorfizm g displaystyle g kategoriyi C displaystyle C nazivayetsya istotnim yaksho dlya bud yakogo morfizma f displaystyle f kompoziciya f g displaystyle f circ g ye monomorfizmom tilki yaksho f displaystyle f ye monomorfizmom Yaksho f X G displaystyle f X to G istotnij monomorfizm i ob yekt G displaystyle G ye in yektivnim to G displaystyle G nazivayetsya in yektivnoyu obolonkoyu X displaystyle X In yektivna obolonka ye yedinoyu z tochnistyu do nekanonichnogo izomorfizmu Vipadok abelevih kategorijYaksho C displaystyle mathcal C lokalno mala abeleva kategoriya to yiyi ob yekt Q displaystyle Q nazivayetsya in yektivnim todi i tilki todi koli funktor Hom HomC Q displaystyle mathrm Hom mathcal C Q ye tochnim She odnim ekvivalentnim ekvivalentnim oznachennyam ye ob yekt Q displaystyle Q ye in yektivnim yaksho i tilki yaksho kozhna poslidovnist vidu 0 Q U V 0 displaystyle 0 to Q to U to V to 0 ye tochnoyu u C displaystyle mathcal C todi i tilki todi koli vona rozsheplyuyetsya tobto U displaystyle U ye izomorfnim pryamij sumi Q V displaystyle Q oplus V Zagalom kontravariantnij funktor Hom ye tochnim zliva tobto dlya korotkoyi tochnoyi poslidovnosti 0 A B C 0 displaystyle 0 to A to B to C to 0 tochnoyu ye lishe poslidovnist 0 Hom C Q Hom B Q Hom A Q displaystyle 0 to mathrm Hom C Q to mathrm Hom B Q to mathrm Hom A Q Dlya togo shob cej funktor buv tochnim neobhidno i dostatno shob vidobrazhennya Hom B Q Hom A Q displaystyle mathrm Hom B Q to mathrm Hom A Q bulo syur yektivnim tobto dlya kozhnogo morfizma f A Q displaystyle f A to Q isnuvav morfizm g B Q displaystyle g B to Q dlya yakogo g h f displaystyle g circ h f de h A B displaystyle h A to B morfizm iz pochatkovoyi tochnoyi poslidovnosti Oskilki v abelevij kategoriyi monomorfizm h A B displaystyle h A to B zavzhdi mozhna prodovzhiti do korotkoyi tochnoyi poslidovnosti vzyavshi za C koyadro h to zvidsi oderzhuyetsya ekvivalentnist zagalnogo oznachennya iz oznachennyam cherez tochnist funktora Hom Yaksho Q displaystyle Q ye in yektivnim ob yektom i Id Q Q displaystyle operatorname Id Q to Q odinichnij morfizm to z oznachennya in yektivnosti viplivaye sho dlya monomorfizma h Q U displaystyle h Q to U isnuye morfizm g U Q displaystyle g U to Q takij sho IdQ h g displaystyle operatorname Id Q h circ g Ale isnuvannya takogo morfizma ye ekvivalentnim rozsheplennyu tochnoyi poslidovnosti 0 Q U V 0 displaystyle 0 to Q to U to V to 0 Navpaki nehaj dovilna taka korotka tochna poslidovnist rozsheplyuyetsya h A B displaystyle h A to B monomorfizm i f A Q displaystyle f A to Q dovilnij morfizm V abelevij kategoriyi isnuyut vsi rozsharovani kodobutki i isnuvannya morfizmu g B Q displaystyle g B to Q dlya yakogo g h f displaystyle g circ h f ye ekvivalentnim isnuvannyu morfizma g B AQ Q displaystyle bar g B sqcup A Q to Q dlya yakogo IdQ g i2 displaystyle operatorname Id Q bar g circ i 2 U abelevij kategoriyi rozsharovani kodobutki zberigayut monomorfizmi tomu i2 Q B AQ displaystyle i 2 Q to B sqcup A Q tezh ye monomorfizmom i tomu chastinoyu tochnoyi poslidovnosti 0 Q B AQ Kocer i2 0 displaystyle 0 to Q to B sqcup A Q to operatorname Kocer i 2 to 0 Oskilki zgidno umovi cya poslidovnist rozsheplyuyetsya to neobhidnij morfizm g displaystyle bar g isnuye Yak i kozhen kontravariantnij aditivnij funktor HomC Q displaystyle mathrm Hom C Q ye tochnim sprava todi i tilki todi koli perevodit yadra u koyadra Cya umova ye she odnoyu ekvivalentnoyu umovoyu in yektivnosti ob yekta Q displaystyle Q Vlastivosti Nehaj Q i IQi displaystyle Q prod i in I Q i dobutok deyakoyi sim yi ob yektiv Todi Q displaystyle Q ye in yektivnim todi i tilki todi koli vsi Qi displaystyle Q i ye in yektivnimi Bud yakij in yektivnij pidob yekt Q displaystyle Q ob yekta C displaystyle C ye jogo pryamim dodankom Yaksho C1 C2 displaystyle mathcal C 1 mathcal C 2 abelevi kategoriyi i G C2 C1 displaystyle G mathcal C 2 to mathcal C 1 funktor spryazhenij do tochnogo funktora F C1 C2 displaystyle F mathcal C 1 to mathcal C 2 to G perevodit in yektivni ob yekti kategoriyi C2 displaystyle mathcal C 2 u in yektivni ob yekti kategoriyi C1 displaystyle mathcal C 1 Nehaj C1 C2 displaystyle mathcal C 1 mathcal C 2 abelevi kategoriyi i G C2 C1 displaystyle G mathcal C 2 to mathcal C 1 funktor spryazhenij sprava do funktora F C1 C2 displaystyle F mathcal C 1 to mathcal C 2 Yaksho G perevodit in yektivni ob yekti kategoriyi C2 displaystyle mathcal C 2 u in yektivni ob yekti kategoriyi C1 displaystyle mathcal C 1 i u C2 displaystyle mathcal C 2 ye dosit bagato in yektivnih ob yektiv to F ye tochnim funktorom Yaksho Q1 Q2 displaystyle Q 1 Q 2 ye in yektivnimi obolonkami ob yektiv P1 P2 displaystyle P 1 P 2 vidpovidno to Q1 Q2 displaystyle Q 1 oplus Q 2 ye in yektivnoyu obolonkoyu P1 P2 displaystyle P 1 oplus P 2 Yaksho Q1 Q2 displaystyle Q 1 Q 2 ye in yektivnimi obolonkami ob yekta P displaystyle P to voni ye izomorfnimi PrikladiU kategoriyi abelevih grup in yektivnimi ob yektami ye podilni grupi Aditivna grupa racionalnih chisel ye in yektivnoyu obolonkoyu aditivnoyi grupi cilih chisel u kategoriyi abelevih grup Nehaj p proste chislo Nehaj Zp displaystyle Z p infty multiplikativna pidgrupa kompleksnih chisel sho zadovolnyayut hocha b odnomu rivnyannyu vidu zpn 1 n gt 0 displaystyle z p n 1 n gt 0 Todi u kategoriyi abelevih grup Zp displaystyle Z p infty ye in yektivnoyu obolonkoyu dlya vsih grup Zpm displaystyle Z p m koreniv z odinici stepenya pm displaystyle p m U kategoriyi moduliv R Mod displaystyle R mathrm Mod in yektivnimi ob yektami ye in yektivni moduli U R Mod displaystyle R mathrm Mod isnuyut in yektivni obolonki i yak naslidok dosit bagato in yektivnih ob yektiv V kategoriyi metrichnih prostoriv i korotkih vidobrazhen in yektivnimi ob yektami ye in yektivni metrichni prostori Rozglyadayut takozh in yektivni ob yekti v bilsh zagalnih kategoriyah napriklad v kategoriyah funktoriv abo v kategoriyah puchkiv moduliv Uzagalnennyaob yekt Q ye H in yektivnim yaksho dlya h A B iz klasu H dlya bud yakogo f A Q isnuye komutativna diagrama Nehaj C displaystyle mathfrak C ye kategoriyeyu i H displaystyle mathcal H klas morfizmiv u C displaystyle mathfrak C Ob yekt Q displaystyle Q kategoriyi C displaystyle mathfrak C nazivayetsya H displaystyle mathcal H in yektivnim yaksho dlya bud yakogo morfizma f Q displaystyle f to Q i kozhnogo morfizma h B displaystyle h to B z klasu H displaystyle mathcal H isnuye morfizm g B Q displaystyle g B to Q dlya yakogo g h f displaystyle g circ h f Yaksho H displaystyle mathcal H ye klasom monomorfizmiv to oderzhuyetsya oznachennya in yektivnih moduliv Kategoriya C displaystyle mathfrak C maye dosit bagato H displaystyle mathcal H in yektivnih ob yektiv yaksho dlya kozhnogo ob yekta X kategoriyi C displaystyle mathfrak C isnuye H displaystyle mathcal H morfizm iz X u H displaystyle mathcal H in yektivnij ob yekt H displaystyle mathcal H morfizm g u C displaystyle mathfrak C nazivayetsya H displaystyle mathcal H istotnim yaksho dlya bud yakogo morfizma f kompoziciya fg nalezhit klasu H displaystyle mathcal H lishe yaksho f nalezhit klasu H displaystyle mathcal H Yaksho g ye H displaystyle mathcal H istotnim morfizmom iz X u H displaystyle mathcal H in yektivnij ob yekt G to G nazivayetsya H in yektivnoyu obolonkoyu ob yekta X Div takozhIn yektivnij modul Proyektivnij ob yektLiteraturaI Bukur A Delyanu Vvedenie v teoriyu kategorij i funktorov M Mir 1972 Tennison B R 1975 Sheaf theory Cambridge University Press MR 0404390