Категорія множин в теорії категорій це категорія об єктами якої є множини а морфізми стрілки між множинами A и B всі фун

Категорія множин — в теорії категорій це категорія, об'єктами якої є множини, а морфізми (стрілки) між множинами $A$ и $B$ — всі функції із $A$ в $B$ . Позначається $Set$ .

Інші категорії (такі як із гомоморфізмами груп як стрілками) вводять додаткову структуру для об'єктів категорії множин та/або обмежують стрілки до функцій певного вигляду.

Властивості категорії множин

Всі епіморфізми в $Set$ сюр'єктивні, всі мономорфізми — ін'єктивні, і всі ізоморфізми — бієкції.
Порожня множина — початковий об'єкт категорії множин, будь-який синґлетон — термінальний об'єкт.
Категорія $Set$ — повна та коповна категорія. Наприклад, у ній існують добутки (декартові добутки множин) та кодобутки (диз'юнктні об'єднання множин).
$Set$ — прототип поняття конкретної категорії; категорія конкретна, якщо вона «схожа на» $Set$ у деякий строго певний спосіб.
Будь-яка двоелементна підмножина задає класифікатор підоб'єктів у $Set$ , степеневий об'єкт множини $A$ є його булеаном, а експоненціал множин $A$ і $B$ — множина функцій з $A$ в $B$ . Отже $Set$ є топосом, зокрема, декартово замкнутою категорією.
$Set$ не є абелевою, або . Її нульові морфізми — це порожні функції $\emptyset \to X$ .
Кожен не початковий об'єкт $Set$ ін'єктивний і (припускаючи істинну аксіому вибору) проєктивний.

Примітки

Pareigis, 1970, Section I.7.

Література

Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — .
Blass, A. The interaction between category theory and set theory // Contemporary Mathematics. — 1984. — № 30.
Feferman, S. Set-theoretical foundations of category theory. — Springer, 1969. — Vol. 106. — P. 201—247. — (Lecture Notes in Mathematics).
An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary // Reprints in Theory and Applications of Categories. — 2005. — № 11. — С. 1—35.
Mac Lane, S. Foundations for categories and sets. — Springer, 1969. — Vol. 92. — P. 146—164. — (Lecture Notes in Mathematics).
One universe as a foundation for category theory. — Springer, 1969. — Vol. 106. — P. 192—200. — (Lecture Notes in Mathematics).
Pareigis, Bodo. Categories and functors. — Academic Press, 1970. — (Pure and applied mathematics). — .

[FOOTNOTEPareigis1970Section_I.7-1] Pareigis, 1970, Section I.7.