Теорема Веєрштрасса — Стоуна — твердження про можливість подання будь-якої неперервної функції на гаусдорфовому компакті границею рівномірно збіжної послідовності неперервних функцій особливого класу — алгебри Стоуна[⇨].
Спочатку сформулював і довів 1885 року Карл Веєрштрасс для неперервних на відрізку дійсної прямої функцій, встановивши можливість їх рівномірно наблизити послідовністю многочленів[⇨]. 1937 року Маршалл Стоун істотно узагальнив результат[⇨], поширивши результат на функції, неперервні на довільному T2- відокремлюваному компактному просторі, що утворюють кільце, а як рівномірно збіжні послідовності функцій замість многочленів — функції зі специфічного підкласу неперервних функцій, що утворює підкільце.
Пізніше знайдено й інші узагальнення результату[⇨].
Теорема Веєрштрасса
Нехай — неперервна функція, визначена на відрізку
. Тоді для будь-якого
існує такий многочлен
з дійсними коефіцієнтами, що для всіх
із
одночасно виконано умову
.
Якщо неперервна на крузі (періодична), то твердження істинне і для тригонометричних многочленів.
Теорема справедлива і для комплекснозначних функцій, але тоді коефіцієнти многочлена слід вважати комплексними числами.
Схема доведення Веєрштрасса
Теорему встановив Карл Веєрштрасс 1885 року як наслідок загальнішого твердження: для дійсних усюди визначених неперервних функцій і
, абсолютне значення яких не перевищує деякої межі, притому
ніде не змінює свого знака і задовольняє рівності
і для неї збігається інтеграл:
,
виконується:
.
З прямого доведення зразу випливає, що границя не тільки існує і дорівнює , але й що збіжність рівномірна за
, що змінюється на будь-якому скінченному відрізку.
Взявши як , кожна функція з сімейства:
цілком визначена за всіх комплексних і є цілою. Тому їх можна рівномірно в крузі будь-якого радіусу наблизити многочленами (теорема Абеля). Звідси зразу випливає, що будь-яку неперервну функцію
можна рівномірно наблизити многочленами на будь-якому скінченному інтервалі.
Якщо до того ж — періодична функція з періодом
, то функції
є цілими періодичними функціями. Але тоді:
є однозначною і голоморфною функцією в області і, отже, розкладається в ряд Лорана:
,
тож , а значить і
можна наблизити тригонометричними многочленами.
Значення результату Веєрштрасса
У середині XIX століття уявлення про функцію як аналітичний вираз здавалося повністю застарілим, а формований на базі інтегрального і диференціального числення аналіз оперував довільними функціями, так, [de] особливо відзначав: «про функцію від
кажуть, коли кожному значенню змінної
, [що лежить] всередині деякого інтервалу, відповідає певне значення
; при цьому не суттєво, чи залежить
від
у всьому інтервалі за одним законом, і чи можна цю залежність виразити за допомогою математичних операцій», підкреслюючи, що не кожну функцію можна подати за допомогою аналітичного виразу. У відповідь на це Веєрштрасс і написав роботу «Про аналітичне подання так званих довільних функцій», в якій показано, що довільна неперервна функція є границею многочленів. Надалі з'ясувалося, що й самі «патологічні» функції, наприклад, функція Діріхле, допускають такого роду подання, але лише з великим числом граничних переходів.
Топологічні наслідки
Згідно з теоремою Вейєрштрасса простір неперервних дійсно- або комплекснозначних функцій на відрізку з рівномірною нормою сепарабельний: простір многочленів з раціональними або комплексно-раціональними коефіцієнтами є зліченним усюди щільним підпростором.
Узагальнення Стоуна
1935 року Стоун довів, що будь-яку функцію з кільця неперервних на гаусдорфовому компакті
дійснозначних функцій можна рівномірно наблизити функціями спеціального класу — які складають алгебру Стоуна, тобто будь-яка алгебра Стоуна
є всюди щільною в просторі неперервних функцій на компакті:
. Як норма рівномірної збіжності на
береться
, а алгебра Стоуна визначається як підалгебра
, елементи якої розділяють точки
.
Точніше, алгебра Стоуна — це множина функцій із кільця
, що задовольняє таким умовам:
- разом з будь-якими її елементами
в алгебру Стоуна входять елементи:
(
),
,
;
- алгебра Стоуна містить сталу функцію
;
- для кожної пари різних точок
знайдеться хоча б одна функція
така, що
.
Подальші узагальнення
Існує серія узагальнень теореми Веєрштрасса — Стоуна в різних напрямках. Наприклад, за будь-яку функцію, неперервну на будь-якому компакті зі зв'язним доповненням на комплексній площині і голоморфну в його внутрішніх точках можна рівномірно наблизити комплексними многочленами. Також знайдено узагальнення, що дозволяють замість гаусдорфового компакта розглядати функції, неперервні на довільному тихоновському просторі.
Див. також
Примітки
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734
- Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.
- Цит. за Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261
Література
- [{{{посилання}}} Теорема Веєрштрасса — Стоуна] — стаття з Математичної енциклопедії. В. І. Пономарьов
- Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М. : Наука, 1977. — 512 с.