Поліноми Бернштейна — алгебраїчні поліноми, що є лінійною комбінацією базисних поліномів Бернштейна. Названі на честь українського математика Сергія Бернштейна, який вперше їх вивчав у зв'язку з доведенням теореми Стоуна — Веєрштрасса. Поліноми широко використовуються у обчислювальній математиці, теорії ймовірностей, комп'ютерній графіці, зокрема для визначення кривих Без'є.
Визначення
(n + 1) базисний поліном Бернштейна степеня n визначається формулами:
де — біноміальний коефіцієнт.
Базисні поліноми Бернштейна степеня n утворюють базис для лінійного простору поліномів степеня n.
Лінійна комбінація базисних поліномів Бернштейна
називається поліномом Бернштейна степеня n. Коефіцієнти називаються коефіцієнтами Бернштейна.
Приклади
базисні поліноми Бернштейна найменших степенів мають вигляд:
Властивості
- Розбиття одиниці:
,
- Невід'ємність на інтервалі від 0 до 1:
,
- Рекурентні відношення:
.
- Симетрія:
- Добуток поліномів:
- Похідна:
де приймається
для
чи
- Лінійна комбінація поліномів вищих порядків:
- Локальний максимум:
має локальний максимум на проміжку
у точці
. Дане значення рівне:
Вираження через поліноми Бернштейна
Для вираження звичайних степенів через поліноми Бернштейна справедлива формула:
Апроксимація неперервних функцій
Нехай f(x) — неперервна функція на інтервалі [0, 1]. Розглянемо поліноми Бернштейна:
Тоді:
рівномірно на проміжку [0, 1].
Див. також
Джерела
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Polinomi Bernshtejna algebrayichni polinomi sho ye linijnoyu kombinaciyeyu bazisnih polinomiv Bernshtejna Nazvani na chest ukrayinskogo matematika Sergiya Bernshtejna yakij vpershe yih vivchav u zv yazku z dovedennyam teoremi Stouna Veyershtrassa Polinomi shiroko vikoristovuyutsya u obchislyuvalnij matematici teoriyi jmovirnostej komp yuternij grafici zokrema dlya viznachennya krivih Bez ye Viznachennya n 1 bazisnij polinom Bernshtejna stepenya n viznachayetsya formulami b k n x n k x k 1 x n k k 0 n displaystyle b k n x binom n k x k 1 x n k qquad k 0 ldots n de n k displaystyle binom n k binomialnij koeficiyent Bazisni polinomi Bernshtejna stepenya n utvoryuyut bazis dlya linijnogo prostoru P n displaystyle Pi n polinomiv stepenya n Linijna kombinaciya bazisnih polinomiv Bernshtejna B n f x B n x k 0 n f k n b k n x displaystyle B n f x B n x sum k 0 n f left frac k n right b k n x nazivayetsya polinomom Bernshtejna stepenya n Koeficiyenti f k n displaystyle f left frac k n right nazivayutsya koeficiyentami Bernshtejna Prikladibazisni polinomi Bernshtejna najmenshih stepeniv mayut viglyad b 0 0 x 1 displaystyle b 0 0 x 1 b 0 1 x 1 x displaystyle b 0 1 x 1 x b 1 1 x x displaystyle b 1 1 x x b 0 2 x 1 x 2 displaystyle b 0 2 x 1 x 2 b 1 2 x 2 x 1 x displaystyle b 1 2 x 2x 1 x b 2 2 x x 2 displaystyle b 2 2 x x 2 VlastivostiRozbittya odinici i 0 k B i n x 1 displaystyle sum i 0 k B i n x 1 Nevid yemnist na intervali vid 0 do 1 B k n x 0 0 1 displaystyle B k n x geq 0 in 0 1 Rekurentni vidnoshennya B k n x 1 x B k n 1 x x B k 1 n 1 x displaystyle B k n x 1 x B k n 1 x xB k 1 n 1 x Simetriya B k n x B n k n 1 x displaystyle B k n x B n k n 1 x Dobutok polinomiv B k n x B j m x displaystyle B k n x B j m x n k m j n m k j B k j n m x displaystyle frac n choose k m choose j n m choose k j B k j n m x Pohidna d d t B k n x n B k 1 n 1 x B k n 1 x displaystyle frac d dt B k n x n left B k 1 n 1 x B k n 1 x right de prijmayetsya B i n x 0 displaystyle B i n x 0 dlya i lt 0 displaystyle i lt 0 chi i gt n displaystyle i gt n Linijna kombinaciya polinomiv vishih poryadkiv B k n x n 1 k n 1 B k n 1 x k 1 n 1 B k 1 n 1 x displaystyle B k n x frac n 1 k n 1 B k n 1 x frac k 1 n 1 B k 1 n 1 x Lokalnij maksimum B k n x displaystyle B k n x maye lokalnij maksimum na promizhku 0 1 displaystyle 0 1 u tochci x i n displaystyle x frac i n Dane znachennya rivne n n n n n n n n n n displaystyle nu nu n n n nu n nu n choose nu dd Virazhennya x k displaystyle x k cherez polinomi BernshtejnaDlya virazhennya zvichajnih stepeniv cherez polinomi Bernshtejna spravedliva formula x k i k n i i 1 i k 1 n n 1 n k 1 B i n x n 3 displaystyle x k sum i k n frac i i 1 ldots i k 1 n n 1 ldots n k 1 B i n x n geq 3 Aproksimaciya neperervnih funkcijNehaj f x neperervna funkciya na intervali 0 1 Rozglyanemo polinomi Bernshtejna B n f x n 0 n f n n b n n x displaystyle B n f x sum nu 0 n f left frac nu n right b nu n x Todi lim n B n f x f x displaystyle lim n rightarrow infty B n f x f x rivnomirno na promizhku 0 1 Div takozhKriva Bez yeDzherelaKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros