Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Сферичний многогранник або сферична мозаїка — це мозаїка на сфері, в якій поверхню розділено великими дугами на обмежені ділянки, звані сферичними многокутниками. Значна частина теорії симетричних многогранників використовує сферичні многогранники.
Найвідомішим прикладом сферичного многогранника є футбольний м'яч, який можна розглядати як зрізаний ікосаедр.
Деякі «невласні» многогранники, такі як осоедри та двоїсті їм діедри, існують лише як сферичні многогранники і не мають аналогів із плоскими гранями. У таблиці з прикладами нижче {2, 6} — осоедр, а — {6, 2} двоїстий йому діедр.
Історія
Перші відомі зроблені людиною многогранники — це сферичні многогранники, висічені в камені. Чимало їх знайдено в Шотландії і датовано періодом неоліту.
За часів європейських «темних століть» ісламський учений Абу-ль-Вафа аль-Бузджані написав першу серйозну працю про сферичні многогранники.
На початку XIX століття Пуансо використав сферичні многогранники для виявлення чотирьох правильних зірчастих многогранників.
У середині XX століття Коксетер використав їх для перерахування всіх (за винятком одного) однорідних багатогранників, за допомогою калейдоскопічної побудови (побудова Вітгоффа).
Приклади
Усі правильні, напівправильні многогранники та двоїсті їм можна спроєктувати на сферу як мозаїку. У таблиці нижче наведено символи Шлефлі {p, q} та схеми вершинних фігур a.b.c. …:
| Символ Шлефлі | {p, q} | t{p, q} | r{p, q} | t{q, p} | {q, p} | rr{p, q} | tr{p, q} | sr{p, q} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Вершинна фігура | pq | q.2p.2p | p.q.p.q | p. 2q.2q | qp | q.4.p. 4 | 4.2q.2p | 3.3.q.3.p |
| Тетраедричні (3 3 2) |  33 |  3.6.6 |  3.3.3.3 |  3.6.6 |  33 |  3.4.3.4 |  4.6.6 |  3.3.3.3.3 |
 V3.6.6 |  V3.3.3.3 | V3.6.6 |  V3.4.4.4 |  |  V3.3.3.3.3 | |||
| Октаедричні (4 3 2) |  43 |  3.8.8 |  3.4.3.4 |  4.6.6 |  34 |  3.4.4.4 |  4.6.8 |  3.3.3.3.4 |
 V3.8.8 |  V3.4.3.4 | | V3.4.4.4 |  [en] |  | |||
| Ікосаедричні (5 3 2) | 53 |  3.10.10 |  3.5.3.5 |  5.6.6 |  35 |  3.4.5.4 |  4.6.10 |  3.3.3.3.5 |
 V3.10.10 |  V3.5.3.5 |  |  |  |  [en] | |||
| Діедричні приклади=6 (2 2 6) |  62 |  2.12.12 | 2.6.2.6 |  6.4.4 |  26 |  4.6.4 |  [en] |  3.3.3.6 |
| Клас | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Призма (2 2 p) |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Біпіраміда (2 2 p) |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Антипризма |  |  |  |  |  |  |  | |
| Трапецоедр | |  |  |  |  |  |  |  |
Невласні випадки
Сферичні мозаїки допускають випадки, які неможливі для многогранників, а саме — осоедри, правильні фігури {2,n}, та діедри, правильні фігури {n,2}.
| Малюнок |  |  |  |  |  |  |  |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шлефлі | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8}… |
| Коксетер |    |  |  |  |  |  |  |
| Грані та ребра | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Вершини | 2 | ||||||
| Малюнок |  |  |  |  |  |
| Шлефлі | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2}… |
|---|---|---|---|---|---|
| Коксетер | | | | | |
| Грані | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} |
| Ребра та вершини | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Зв'язок із мозаїками на проєктивній площині
Оскільки сфера є дволистим накриттям проєктивної площини, проєктивні многогранники відповідають подвійному накриттю сферичними многогранниками, які мають центральну симетрію.
Найвідомішими прикладами проєктивних многогранників є правильні проєктивні многогранники, утворені з центрально симетричних правильних многогранників, а також із нескінченних сімейств парних діедрів та осоедрів:
- [en], {4,3}/2
- [en], {3,4}/2
- Напівдодекаедр, {5,3}/2
- Напівікосаедр, {3,5}/2
- Напівдіедр, {2p,2}/2, p>=1
- Напівосоедр, {2,2p}/2, p>=1
Див. також
Примітки
- Кокстер, 1966, с. 547-552 §3 Правильные карты.
Література
- Peter McMullen, Egon Schulte. 6C. Projective Regular Polytopes // Abstract Regular Polytopes. — 1st. — Cambridge University Press, 2002. — .
- L. Poinsot. Memoire sur les polygones et polyèdres // J. de l'École Polytechnique. — 1810. — Вип. 9. — С. 16–48.
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вип. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — DOI:.
- H.S.M Coxeter. [en]. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc, 1973. — .
- Г. С. М. Кокстер. Введение в геометрию. — М. : Наука, 1966.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Sferichnij mnogogrannik abo sferichna mozayika ce mozayika na sferi v yakij poverhnyu rozdileno velikimi dugami na obmezheni dilyanki zvani sferichnimi mnogokutnikami Znachna chastina teoriyi simetrichnih mnogogrannikiv vikoristovuye sferichni mnogogranniki Najvidomishij sferichnij mnogogrannik ce futbolnij m yach yakij ye sferichnim zrizanim ikosaedrom Cej plyazhnij m yach priklad osoedra zi shistma serpopodibnimi granyami yaksho vidaliti dva bili krugi na kincyah Najvidomishim prikladom sferichnogo mnogogrannika ye futbolnij m yach yakij mozhna rozglyadati yak zrizanij ikosaedr Deyaki nevlasni mnogogranniki taki yak osoedri ta dvoyisti yim diedri isnuyut lishe yak sferichni mnogogranniki i ne mayut analogiv iz ploskimi granyami U tablici z prikladami nizhche 2 6 osoedr a 6 2 dvoyistij jomu diedr IstoriyaPershi vidomi zrobleni lyudinoyu mnogogranniki ce sferichni mnogogranniki visicheni v kameni Chimalo yih znajdeno v Shotlandiyi i datovano periodom neolitu Za chasiv yevropejskih temnih stolit islamskij uchenij Abu l Vafa al Buzdzhani napisav pershu serjoznu pracyu pro sferichni mnogogranniki Na pochatku XIX stolittya Puanso vikoristav sferichni mnogogranniki dlya viyavlennya chotiroh pravilnih zirchastih mnogogrannikiv U seredini XX stolittya Kokseter vikoristav yih dlya pererahuvannya vsih za vinyatkom odnogo odnoridnih bagatogrannikiv za dopomogoyu kalejdoskopichnoyi pobudovi pobudova Vitgoffa PrikladiUsi pravilni napivpravilni mnogogranniki ta dvoyisti yim mozhna sproyektuvati na sferu yak mozayiku U tablici nizhche navedeno simvoli Shlefli p q ta shemi vershinnih figur a b c Simvol Shlefli p q t p q r p q t q p q p rr p q tr p q sr p q Vershinna figura pq q 2p 2p p q p q p 2q 2q qp q 4 p 4 4 2q 2p 3 3 q 3 p Tetraedrichni 3 3 2 33 3 6 6 3 3 3 3 3 6 6 33 3 4 3 4 4 6 6 3 3 3 3 3 V3 6 6 V3 3 3 3 V3 6 6 V3 4 4 4 V3 3 3 3 3 Oktaedrichni 4 3 2 43 3 8 8 3 4 3 4 4 6 6 34 3 4 4 4 4 6 8 3 3 3 3 4 V3 8 8 V3 4 3 4 V3 4 4 4 en Ikosaedrichni 5 3 2 53 3 10 10 3 5 3 5 5 6 6 35 3 4 5 4 4 6 10 3 3 3 3 5 V3 10 10 V3 5 3 5 en Diedrichni prikladi 6 2 2 6 62 2 12 12 2 6 2 6 6 4 4 26 4 6 4 en 3 3 3 6 Klas 2 3 4 5 6 7 8 10 Prizma 2 2 p Bipiramida 2 2 p Antiprizma TrapecoedrNevlasni vipadkiSferichni mozayiki dopuskayut vipadki yaki nemozhlivi dlya mnogogrannikiv a same osoedri pravilni figuri 2 n ta diedri pravilni figuri n 2 Simejstvo pravilnih osoedriv Malyunok Shlefli 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 Kokseter Grani ta rebra 2 3 4 5 6 7 8 Vershini 2 Pravilni diedri sferichni mozayiki Malyunok Shlefli 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 Kokseter Grani 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 Rebra ta vershini 2 3 4 5 6Zv yazok iz mozayikami na proyektivnij ploshiniOskilki sfera ye dvolistim nakrittyam proyektivnoyi ploshini proyektivni mnogogranniki vidpovidayut podvijnomu nakrittyu sferichnimi mnogogrannikami yaki mayut centralnu simetriyu Najvidomishimi prikladami proyektivnih mnogogrannikiv ye pravilni proyektivni mnogogranniki utvoreni z centralno simetrichnih pravilnih mnogogrannikiv a takozh iz neskinchennih simejstv parnih diedriv ta osoedriv en 4 3 2 en 3 4 2 Napivdodekaedr 5 3 2 Napivikosaedr 3 5 2 Napivdiedr 2p 2 2 p gt 1 Napivosoedr 2 2p 2 p gt 1Div takozhTeselyaciya Sferichna geometriya Sferichna trigonometriya Mnogogrannik en Toroyidalnij mnogogrannikPrimitkiKokster 1966 s 547 552 3 Pravilnye karty LiteraturaPeter McMullen Egon Schulte 6C Projective Regular Polytopes Abstract Regular Polytopes 1st Cambridge University Press 2002 ISBN 0 521 81496 0 L Poinsot Memoire sur les polygones et polyedres J de l Ecole Polytechnique 1810 Vip 9 S 16 48 H S M Coxeter M S Longuet Higgins J C P Miller Uniform polyhedra Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences The Royal Society 1954 T 246 vip 916 S 401 450 ISSN 0080 4614 DOI 10 1098 rsta 1954 0003 H S M Coxeter en 3rd edition New York Dover Publications Inc 1973 ISBN 0 486 61480 8 G S M Kokster Vvedenie v geometriyu M Nauka 1966