Hom set

Морфізм — структурозберігальне відображення між двома математичними структурами. Тобто, відображення між множинами що зберігає структури (так що структури визначені для першої множини відображаються на еквівалентні структури в другій множині).

Частковими випадками морфізму є:

• гомоморфізм — зберігає алгебраїчні структури;
• гомеоморфізм — зберігає топологічні структури;
• дифеоморфізм — зберігає диференціальні структури.

Наприклад:

• в теорії множин морфізмами є функції,
• в лінійній алгебрі — лінійні оператори,
• в теорії груп — гомоморфізм груп,
• в топології — неперервні функції.

Теорія категорій

Морфізм — основне поняття теорії категорії, яка не розглядає природу конкретних математичних структур. А вивчає (об'єктів, математичних структур) за допомогою комутативних діаграм (в яких морфізми зображаються стрілками).

Для морфізмів виконуються дві аксіоми:

• Існування одиниці: для довільного об'єкта X існує морфізм id_X : X → X називається тотожний морфізм на X, такий, що для кожного f : A → B отримаємо id_B o f = f = f o id_A.
• Асоціативність: h o (g o f) = (h o g) o f щодо операції композиції.

Ізоморфізм, ендоморфізм, автоморфізм

Морфізм ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$ називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} (B,A)}$, що ${\displaystyle g\circ f=id_{A}}$ та ${\displaystyle f\circ g=id_{B}}$. Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.

Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Безліч ендоморфізмів ${\displaystyle \ \mathrm {End} (A)=\mathrm {Hom} (A,A)}$ є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом ${\displaystyle \ id_{A}}$.

Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізмами, називаються автоморфізмами. Автоморфізми будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів ${\displaystyle \ \mathrm {Aut} (A)}$ по композиції.

Мономорфізм, епіморфізм, біморфізм

Мономорфізм — це морфізм ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A,B)}$ такий, що для будь-яких ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (X,A)}$ з ${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}}$ випливає, що ${\displaystyle \ g_{1}=g_{2}}$. Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.

Епіморфізм — це такий морфізм, що для будь-яких ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (B,X)}$ з ${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f}$ слідує ${\displaystyle \ g_{1}=g_{2}}$.

Біморфізм — це морфізм, що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізмом, але не будь-який біморфізм є ізоморфізмом.

Мономорфізм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'єктивного, сюр'єктивного і бієктивного відображення відповідно. Будь-який ізоморфізм є мономорфізмом і епіморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.

Див. також

• Ізогенія