Алгебраїчні структури

Алгебрична структура (алгебрична система) — в математиці це непорожня множина з заданим на ній набором операцій та відношень, що задовільняють деякій системи аксіом.

Алгебрична структура
Досліджується в	абстрактна алгебра і Універсальна алгебра
Алгебрична структура у Вікісховищі

Основним завданням абстрактної алгебри є вивчення властивостей аксіоматично заданих алгебричних систем.

Формально: об'єкт ${\displaystyle \langle A;\;\Omega _{F};\;\Omega _{R}\rangle ,}$ де:

• ${\displaystyle \ A}$ — непорожня множина,
• ${\displaystyle \ \Omega _{F}}$ — множина алгебричних операцій визначених на ${\displaystyle \ A,}$
• ${\displaystyle \ \Omega _{R}}$ — множина відношень визначених на ${\displaystyle \ A.}$

Множина ${\displaystyle \ A}$ називається носієм алгебричної системи. Множини ${\displaystyle \ \Omega _{F},\Omega _{R}}$ називається сигнатурою алгебричної системи.

Якщо алгебрична система не містить операцій, вона називається моделлю, якщо не містить відношень, то — алгеброю.

Якщо не розглядають ніяких аксіом, яким мають задовільняти операції, то алгебрична система називається універсальною алгеброю заданої сигнатури ${\displaystyle \ \Omega _{F}}$.

Для алгебричних структур визначають морфізми, як відображення що зберігають операції (дивись гомоморфізм). Таким чином визначають категорії.

Якщо множина має властивості топологічного простору і операції є неперервними, то таку алгебричну систему називають топологічною алгебричною системою (наприклад, топологічна група).

Не всі алгебричні конструкції описуються алгебричними системами, є ще коалгебри, , алгебри Хопфа і комодулі над ними і т. д

Алгебричні операції

Докладніше: Алгебрична операція

${\displaystyle \ n}$-арна операція ${\displaystyle \ f}$ на ${\displaystyle \ A}$ — це відображення прямого добутку ${\displaystyle \ n}$ екземплярів множини в саму множину ${\displaystyle \ f:A^{n}\to A}$. За визначенням, нуль-арна операція — це просто виділений елемент множини.

Найчастіше розглядають унарні і бінарні операції, як найпростіші. Але для потреб топології, алгебри, комбінаторики вивчають операції більшої арності, наприклад, теорія і алгебр над ними (мультиоператорних алгебр).

Список алгебричних систем

M = магма, Q = квазігрупа, S = напівгрупа,
L = Лупа, N = моноїд, G = група,
d = ділення, a = асоціативність,
e = з одиницею, i = існування оберненого

• Множина може вважатись виродженою алгебричною системою з порожньою сигнатурою.

Групо-подібні (одна бінарна операція)

• Магма (групоїд) — множина з однією бінарною операцією ${\displaystyle \ \cdot }$, зазвичай її називають множенням.
• Права квазігрупа — магма, в якому можливе праве ділення,

тобто рівняння ${\displaystyle x\cdot a=b}$ завжди має єдиний роз'вязок ${\displaystyle \forall a,b\in A.}$

• Квазігрупа — одночасно права і ліва квазігрупи.
  • Лупа(Петля) — квазігрупа з одиницею (унітарна квазігрупа): ${\displaystyle \exists e\in A:\;a\cdot e=e\cdot a=a.}$
• Напівгрупа — асоціативна магма: ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.}$
  • Моноїд — напівгрупа з одиницею (унітарна напівгрупа).
• Група — моноїд з діленням чи асоціативна лупа: ${\displaystyle \forall a\;\;\exists a^{-1}:\;\;a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e.}$
• Абелева група — комутативна група: ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a.}$

Операцію в абелевій групі часто називають додаванням (+) а нейтральний елемент — нулем.

Кільцеподібні (дві бінарні операції узгоджені дистрибутивністю)

• Півкільце — подібне до кільця, але без оберненості додавання (комутативний моноїд по додаванню і моноїд по множенню).
• Кільце — структура с двома бінарними операціями: абелева група по додаванню, моноїд по множенню,

виконується дистрибутивний закон: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$.

• Комутативне кільце — кільце з комутативним множенням.
  • Цілісне кільце — комутативне кільце без дільників нуля (добуток двох ненульових елементів не рівний нулю).
    • Булеве кільце — кільце, всі елементи якого є ідемпотентами. Воно є комутативним та немає дільників нуля.
• Кільце з діленням (чи Тіло) — кільце, де ненульові елементи утворюють групу по множенню.
• Поле — комутативне кільце з діленням.

Модулі (множення тільки на скаляр)

• Модуль над кільцем — абелева група по додаванню, з дистрибутивною унарною операцією «множення на скаляр» з кільця.
• Векторний простір — модуль над полем.

Алгебри (додавання, множення на скаляр, множення)

• Алгебра над кільцем (алгебра) — модуль над комутативним кільцем, що утворює кільце з білінійним множенням.
• Алгебра над полем — векторний простір с білінійною дистрибутивною операцією множення.
• Комутативна алгебра — алгебра з комутативним множенням.
• Асоціативна алгебра — алгебра з асоціативним множенням.
• Альтернативна алгебра — алгебра з тотожністю альтернативності для множення: ${\displaystyle \ (xx)y=x(xy),\quad y(xx)=(yx)x.}$
• Градуйована алгебра
• Алгебра Лі — алгебра з антикомутативним множенням (позначаємим ${\displaystyle \ [a,b]}$), що задовільняє тотожність Якобі ${\displaystyle \ [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0.}$
• Алгебра Йордана — комутативна алгебра з тотожністю слабої асоціативності: ${\displaystyle \ x^{2}(yx)=(x^{2}y)x}$
• Алгебра Мальцева — антикомутативна алгебра з тотожністю

${\displaystyle \ (xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x}$

• — одна з найзагальніших алгебричних систем. Сама грає роль сигнатури алгебри.

Решітки

• Напівґратка
  • Ґратка (Решітка) — структура с двома бінарними операціями ∨ і ∧, що є комутативними, асоціативними і задовільняють закон поглинання: a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a.
    • Алгебра Гейтінга
    • Дистрибутивна ґратка
      • Булева алгебра — доповнена дистрибутивна ґратка.
        • Алгебра логіки.

Див. також

• Ікосіани

Джерела

• Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)
• I. N. Herstein. Topics in Algebra. — 2. — John Wiley & Sons, 1975. — 388 с. — . (англ.)
• Joseph J. Rotman. Advanced Modern Algebra. — 3 (Graduate Studies in Mathematics). — AMS, 2015. — 709 с. — . (англ.)
• Thomas W. Hungerford. Algebra. — 8th Edition (Graduate Studies in Mathematics). — Springer, 2003. — Т. 73. — 504 с. — . (англ.)
• Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)

• Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)