Квазігрупа — алгебрична структура в абстрактній алгебрі, що подібна до групи тим, що в ній завжди можливе ділення (інших властивостей групи квазігрупа немає).
Квазігрупа з одиницею називається лупа (англ. loop — «петля»).
Визначення
Є два еквівалентні визначення:
Квазігрупа (Q, *) — це множина Q з бінарною операцією * : Q × Q → Q (тобто магма), такою що для довільних a, b ∈ Q існують і єдині x, y ∈ Q, що:
- a * x = b,
- y * a = b.
Розв'язки цих рівнянь записують так:
- x = a \ b,
- y = b / a.
Операції \ та / називають лівим та правим діленням. Якщо визначена тільки одна з операцій, то таку структуру називають ліва чи права квазігрупа, відповідно.
Квазігрупа (Q, *, \, /) — універсальна алгебра сигнатури (2,2,2), що задовільняє тотожності:
- y = x * (x \ y),
- y = x \ (x * y),
- y = (y / x) * x,
- y = (y * x) / x.
Якщо (Q, *) є квазігрупою за першим визначенням, тоді (Q, *, \, /) є еквівалентною квазігрупою в розумінні універсальної алгебри.
Лупа — квазігрупа з одиничним елементом e, тобто, таким що:
- x*e = x = e*x .
Приклади
- Група є частковим випадком квазігрупи, а саме — асоціативною квазігрупою з одиницею.
- Цілі числа з операцією віднімання (−) є квазігрупою.
- Ненульові раціональні числа (чи дійсні числа ) з операцією ділення (÷) є квазігрупою.
- Раціональні числа (чи дійсні числа ) з операцією x * y = (x + y) / 2 (середнє арифметичне) є ідемпотентною, комутативною квазігрупою.
- Множина {±1, ±i, ±j, ±k} де ii = jj = kk = +1 та всі інші добутки визначені як в кватерніонах, є лупою.
- Октави є неасоціативною лупою по множенню.
Властивості
Латинські квадрати
- Таблиця множення скінченної квазігрупи утворює латинський квадрат. І навпаки, довільний латинський квадрат може бути вибраний за таблицю множення, щоб утворити квазігрупу.
- Ліва квазігрупа є скорочуваною зліва якщо ∀a, b,c ∈ Q: з (ab = ac) слідує (b = c).
- Права квазігрупа є скорочуваною справа якщо ∀a, b,c ∈ Q: з (ba = ca) слідує (b = c).
- Квазігрупа є скорочуваною зліва та справа. Кажуть — має властивість скорочення.
Властивість обернення
Одиничний елемент лупи є єдиним, тому для кожного елемента лупи існує єдиний лівий та правий обернений елемент:
- a L = e / a, a L a = e,
- a R = a \ e, a a R = e.
Примітка: використали праве та ліве ділення.
- Лупа має обернення зліва якщо задовільняє тотожність xL (xy)=y, чи еквівалентну x\y=xL y.
- Лупа має обернення справа якщо задовільняє тотожність (yx)xR=y, чи еквівалентну y/x=y xR.
- Лупа має антиафтоморфне обернення якщо задовільняє тотожність (xy)L = yL xL, чи еквівалентну (xy)R = yR xR.
- Лупа має слабе обернення якщо задовільняє тотожність (xy)L x=yL, чи еквівалентну x(yx)R=yR.
Якщо лупа задовільняє дві з вищеперечислених властивостей, то вона задовільняє всі чотири властивості і кажуть — має властивість обернення. І тоді xL = xR для всіх елементів.
Морфізми
Гомоморфізм квазігруп чи луп це відображення f: Q → P таке що f(xy) = f(x)f(y). Воно зберігає ліве та праве ділення а також одиницю (якщо існує).
Гомотопія та ізотопія
- Гомотопія квазігруп з Q в P є трійка (α, β, γ) відображень з Q в P такі, що
Гомоморфізм квазігруп є гомотопією, де всі відображення збігаються.
- Ізотопія це гомотопія, в якій всі три відображення (α, β, γ) є бієктивними.
- Автотопія — це ізотопія квазігрупи в себе.
- Довільна квазігрупа ізотопна лупі. Якщо лупа ізотопна групі, тоді вона є групою. Хоча, квазігрупа, що ізотопна групі, може не бути групою.
Література
- Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)
- Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)
- Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
- В.Д. Белоусов. Основы теории квазигрупп и луп. — Москва : Наука, 1967.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kvazigrupa algebrichna struktura v abstraktnij algebri sho podibna do grupi tim sho v nij zavzhdi mozhlive dilennya inshih vlastivostej grupi kvazigrupa nemaye Kubichna gratka algebrichnih struktur vid magmi do grupi Kvazigrupa z odiniceyu nazivayetsya lupa angl loop petlya ViznachennyaYe dva ekvivalentni viznachennya Kvazigrupa Q ce mnozhina Q z binarnoyu operaciyeyu Q Q Q tobto magma takoyu sho dlya dovilnih a b Q isnuyut i yedini x y Q sho a x b y a b Rozv yazki cih rivnyan zapisuyut tak x a b y b a Operaciyi ta nazivayut livim ta pravim dilennyam Yaksho viznachena tilki odna z operacij to taku strukturu nazivayut liva chi prava kvazigrupa vidpovidno Kvazigrupa Q universalna algebra signaturi 2 2 2 sho zadovilnyaye totozhnosti y x x y y x x y y y x x y y x x Yaksho Q ye kvazigrupoyu za pershim viznachennyam todi Q ye ekvivalentnoyu kvazigrupoyu v rozuminni universalnoyi algebri Lupa kvazigrupa z odinichnim elementom e tobto takim sho x e x e x PrikladiGrupa ye chastkovim vipadkom kvazigrupi a same asociativnoyu kvazigrupoyu z odiniceyu Cili chisla Z displaystyle mathbb Z z operaciyeyu vidnimannya ye kvazigrupoyu Nenulovi racionalni chisla Q displaystyle mathbb Q chi dijsni chisla R displaystyle mathbb R z operaciyeyu dilennya ye kvazigrupoyu Racionalni chisla Q displaystyle mathbb Q chi dijsni chisla R displaystyle mathbb R z operaciyeyu x y x y 2 serednye arifmetichne ye idempotentnoyu komutativnoyu kvazigrupoyu Mnozhina 1 i j k de ii jj kk 1 ta vsi inshi dobutki viznacheni yak v kvaternionah ye lupoyu Oktavi ye neasociativnoyu lupoyu po mnozhennyu VlastivostiLatinski kvadrati Tablicya mnozhennya skinchennoyi kvazigrupi utvoryuye latinskij kvadrat I navpaki dovilnij latinskij kvadrat mozhe buti vibranij za tablicyu mnozhennya shob utvoriti kvazigrupu Vlastivist skorochennya Liva kvazigrupa ye skorochuvanoyu zliva yaksho a b c Q z ab ac sliduye b c Prava kvazigrupa ye skorochuvanoyu sprava yaksho a b c Q z ba ca sliduye b c Kvazigrupa ye skorochuvanoyu zliva ta sprava Kazhut maye vlastivist skorochennya Vlastivist obernennya Odinichnij element lupi ye yedinim tomu dlya kozhnogo elementa lupi isnuye yedinij livij ta pravij obernenij element aL e a aL a e aR a e a aR e Primitka vikoristali prave ta live dilennya Lupa maye obernennya zliva yaksho zadovilnyaye totozhnist xL xy y chi ekvivalentnu x y xL y Lupa maye obernennya sprava yaksho zadovilnyaye totozhnist yx xR y chi ekvivalentnu y x y xR Lupa maye antiaftomorfne obernennya yaksho zadovilnyaye totozhnist xy L yL xL chi ekvivalentnu xy R yR xR Lupa maye slabe obernennya yaksho zadovilnyaye totozhnist xy L x yL chi ekvivalentnu x yx R yR Yaksho lupa zadovilnyaye dvi z visheperechislenih vlastivostej to vona zadovilnyaye vsi chotiri vlastivosti i kazhut maye vlastivist obernennya I todi xL xR dlya vsih elementiv MorfizmiGomomorfizm kvazigrup chi lup ce vidobrazhennya f Q P take sho f xy f x f y Vono zberigaye live ta prave dilennya a takozh odinicyu yaksho isnuye Gomotopiya ta izotopiya Gomotopiya kvazigrup z Q v P ye trijka a b g vidobrazhen z Q v P taki sho x y Q a x b y g x y displaystyle forall x y in Q alpha x beta y gamma xy Gomomorfizm kvazigrup ye gomotopiyeyu de vsi vidobrazhennya zbigayutsya Izotopiya ce gomotopiya v yakij vsi tri vidobrazhennya a b g ye biyektivnimi Avtotopiya ce izotopiya kvazigrupi v sebe Dovilna kvazigrupa izotopna lupi Yaksho lupa izotopna grupi todi vona ye grupoyu Hocha kvazigrupa sho izotopna grupi mozhe ne buti grupoyu LiteraturaKurosh A G Lekcii po obshej algebre 2 izd M Nauka 1973 400 s ros Malcev A I Algebraicheskie sistemy Moskva Nauka 1970 392 s ros Universalnaya algebra Moskva Mir 1968 351 s ros V D Belousov Osnovy teorii kvazigrupp i lup Moskva Nauka 1967